1、利用基本不等式求最值的種類及方法利用基本不等式求最值的種類及方法4/4利用基本不等式求最值的種類及方法利用基本不等式求最值的種類及方法一、幾個重要的基本不等式：a2b22ababa2b2(a、bR)，2當且僅當a=b時，“=號”成立；ab2ab2abab(、bR)，2a當且僅當a=b時，“=號”成立；a3b3c33abcabca3b3c3(、R)，3abc當且僅當a=b=c時,“=號”成立；3abc33abcabcabc(a、b、cR),當且僅當a=b=c時,“=號”成立.3注：注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”；222熟悉一個重要的不等式鏈：ababab。1122

2、ab二、函數f()axb(、0)圖象及性質xxaby(1)函數f(x)axba、b0圖象如圖：bx2abxaob2abb(2)函數f(x)axa、b0性質：ax值域：(,2ab2ab,)；3x1x111)21315，3222(x22當且僅當x112(x1)即x2時，“=”號成立，故此函數最小值是5。22(x1)2評析：利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，要點在于構造條件，使其積為常數。平時要經過增加常數、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構造。種類：求幾個正數積的最大值。例2、求以下函數的最大值：yx2(32x)(0 x3)ysin2xcosx(0 x)322解析：0 x0，,32x23)

3、xx(32x)3yx2(32x)(0 xxx(32x)1，當且僅當x32x即x123時，“=”號成立，故此函數最大值是1。0 x2,sinx0,cosx0，則y0，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。y24222212221sin2xsin2x2cos2x34sinxcosxsinxsinxcosx(sinxsinx2cosx)(3),222722x)tanx2，即xarctan2時“=”號成立，故當且僅當sinx2cosx(0223此函數最大值是。評析：利用均值不等式求幾個正數積的最大值，要點在于構造條件，使其和為常數。平時要經過乘以或除以常數、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構

4、造。種類：用均值不等式求最值等號不成立。單調遞加區間：(,b，b,)；單調遞減區間：(0,b，b,0).aaaa三、用均值不等式求最值的常有種類種類：求幾個正數和的最小值。例1、求函數yx1(x1)的最小值。22(x1)解析：yx11)(x1)1x1x111(x1)2(x21(x1)24例3、若x、yR，求f(x)x(0 x1)的最小值。x解法一：（單調性法）由函數f(x)axb(a、b0)圖象及性質知，當4xf(x)xx1,x2(0,1且0 x1x21，則是減函數。證明：任取xf(x1)f(x2)(x1x2)(44)(x1x2)4x2x1(x1x2)x1x2x1x2x(0,1時，函數x1x2

5、4，x1x22(x1)2(x1)222(x1)0 x1x21，x1x20,x1x240，則f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，x1x2即f(x)x4x1f(x)x4上有最小值5。在上是減函數。故當時，在x(0,1x(0,1解法二：（配方法）因0 x1，則有f(x)x4(2x)24，xx易知當0 x1時，2x0且單調遞減，則f(x)(2x)24在(0,1上也是減函數，xx即f(x)x4在(0,1上是減函數，當x1時，f(x)x4在(0,1上有最小值5。xx解法三：（拆分法）f(x)x4(0 x1)(x1)32x135，xxxx1當且僅當x1時“=號”成立，故此函數最小值是5。評析：求解此

6、類問題，要注意靈便采用方法，特別是單調性法擁有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔合用得方法。種類：條件最值問題。例4、已知正數x、y滿足811，求x2y的最小值。xy解法一：（利用均值不等式）x2y(81)(x2y)10 x16y102x16y18,xyyxyx811xy當且僅當即x12,y3時“=”號成立，故此函數最小值是18。x16yyx解法二：（消元法）由811得yx，由y0 x0又x0 x8，則xyxx88x2yx2xx2(x8)16x216(x8)16102(x8)161018。x8x8x8x8x8當且僅當x816即x12,此時y3時“=”號成立，故此函數最小值是18。x88sin2

7、xx8解法三：（三角換元法）令x則有sin2x12y1ycosxcos2x則：x2y828csc2x2sec2x8(1cot2x)2(1tan2x)108cot2x2tan2xsin2xcos2x10222，易求得x12,此時y3時“=”號成立，故最小值是18。(8cotx)(2tanx)18評析：此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生寬泛有這樣一種錯誤的求解方法：x2y(81)(x2y)281x2y8。原因就是等號成立的條件不一致。xyxy種類：利用均值不等式化歸為其他不等式求解的問題。例5、已知正數x、y滿足xyxy3，試求xy、xy的范圍。解法一：由x0,y0，則xyxy3xy3x

8、y2xy，即(xy)22xy30解得xy1(舍)或xy3，當且僅當xy且xyxy3即xy3時取“=”號，故xy的取值范圍是9,)。又xy3xy(xy)2(xy)24(xy)120 xy2(舍)或xy6，2當且僅當xy且xyxy3即xy3時取“=”號，故xy的取值范圍是6,)。解法二：由x0,y0，xyxy3(x1)yx3知x1，則：yx3，由y0 x30 x1，x1x1則：xyxx3x23x(x1)25(x1)4(x1)452(x1)459，x1x1x1x1x1當且僅當x1x4(x0)即x3，并求得y3時取“=”號，故xy的取值范圍是9,)。1x3xx14x41(x1)4426，xyxx1x1

9、x1x22(x1)11x當且僅當x1x4(x0)即x3，并求得y3時取“=”號，故xy的取值范圍是9,)。1評析：解法一擁有寬泛性，而且簡潔合用，易于掌握，解法二要求掌握構造的技巧。四、均值不等式易錯例析：例1.求函數yx4x9的最值。x錯解：yx4x9x213x3613x36132x3625xxxx當且僅當x36即x6時取等號。所以當x6時，y的最小值為25，此函數沒有最大值。x解析：上述解題過程中應用了均值不等式，卻忽略了應用均值不等式求最值時的條件以致錯誤。因為函數yx4x9的定義域為，00，所以須對x的正負加以分類談論。x正解：1）當x0時，y13x363625132xxx當且僅當x3

10、6即x6時取等號。所以當x6時，ymin25x2）當x0時，x0，36x36236120，xxxx當且僅當x36，即x6時取等號，所以當x6時，ymax13121.x9例2.當x0時，求y4x的最小值。x2錯解：因為x0，y4x924x96x22xx所以當且僅當4x9即x39時，ymin62318。x24x解析：用均值不等式求“和”或“積”的最值時，必定分別滿足“積為定值”或“和為定值”，而上述解法中4x與9的積不是定值，以致錯誤。2正解：因為x0，y4x993933362x2x32x2xx2x2x2當且僅當2x9，即x336時等號成立，所以當x336時，ymin3336。x222例3.求yx

11、25(xR)的最小值。x24錯解：因為yx25x24142x24x142，所以ymin2x24x22解析：忽略了取最小值時須x2414成立的條件，而此式化解得x23，無解，所x2以原函數y取不到最小值2。正解：令tx24t2，則yt1(t2)t又因為t1時，yt1是遞加的。所以當t2，即x0時，ymin5。t2例4.已知x,yR141，求uxy的最小值.且yx錯解：144xy4,uxy2xy8,u的最小值為8.1yxyx解析：解題時兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為14y，而這兩個式子不能夠同x和xy時成立，故取不到最小值8.正解：u(xy)(14)54xy549xyyx當且僅當4xy即x

12、3,y6時等號成立.u的最小值為9.yx綜上所述，應用均值不等式求最值要注意：一要正：各項或各因式必定為正數；二可定：必定滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子構造，若是找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；三能等：要保證等號確能成立，若是等號不能夠成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：湊項例1：已知x54x1的最大值。，求函數y244x5解：因4x50，所以第一要“調整”符號，又(4x2)1不是常數，所以對4x2要進行4x5拆、湊項，x5,54x0，y4x2154x13231，44x554x當且僅當54x1，即x1時，上式等號成立，故當x1時，ymax

13、1。4x5技巧二：湊系數例2.當時，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必定和為定值或積為定值，注意到2x(82x)8為定值，故只需將yx(82x)湊上一個系數即可。當，即x2時取等號當x2時，yx(82x)的最大值為8。技巧三：分別例3.求yx27x10(x1)的值域。x1解：本題看似無法運用基本不等式，不如將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分別。當,即時,y2（x1)4（當且僅當x1時取“”號）。59x1技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分別求最值。(A)22(B)2(C)2(D)13、已知以下不等式：x332x(x

14、R)；a5b5a3b2a2b22(ab1).其中正確的個數是()(A)0個(B)1個(C)2個(D)3個4、設a,bR，則以下不等式中不成立的是()(A)(a114(B)a2b22ab(C)ab1b)()ababab5、設a,bR且2ab1,S2ab4a2b2的最大值是(a2b3(a,bR)；22ab(D)abab)當,即t=時,y2t459（當t=2即x1時取“”號）。t技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數f(x)xa的單調性。x例：求函數x25y的值域。x24解：令x24t(t2)，則yx25x241t1(t2)x24x24t因t0,t11，但t1解得t1不在區間2,，故等號不成立，考慮單調性。tt因為yt11,單調遞加，所以在其子區間2,為單調遞加函數，故y5在區間。t25所以，所求函數的值域為,。2技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x0,y0191，求xy的最小值。，且yx解：x0,y19，xyxy19y9x10610160,1xyxyxyy9x191，可得x4,y12時，xymin16