1、信號與系統Signals and System第三章 周期信號的傅立葉級數表示9/24/20221本章內容：. 周期信號的頻域分析. LTI系統的頻域分析. 傅立葉級數的性質9/24/202223.0 引言 Introduction 時域分析方法的基礎：信號在時域的分解。LTI系統滿足線性、時不變性。2.具有普遍性，能夠用以構成相當廣泛的信號。 1.本身簡單，且LTI系統對它的響應能簡便得到。 從分解信號的角度出發，基本信號單元必須滿足兩個要求：9/24/202233.1歷史的回顧 （A Historical Perspective） 任何科學理論, 科學方法的建立都是經過許多人不懈的努力而得

2、來的, 其中有爭論, 還有人為之獻出了生命。 歷史的經驗告訴我們, 要想在科學的領域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學習的傅立葉分析法，也經歷了曲折漫長的發展過程，剛剛發布這一理論時，有人反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領域已發揮了巨大的作用。9/24/202241768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可以用正弦函數的級數來表示”拉格朗日反對發表1822年首次發表“熱的分析理論”1829年狄里赫利第一個給出收斂條件傅里葉生平176818309/24/20225傅里葉的兩個最重要的貢獻“周期信號都可以表示為成諧波關系的正弦信 號的加權和”傅里葉的第一個主

3、要論點“非周期信號都可以用正弦信號的加權積分來表示”傅里葉的第二個主要論點9/24/20226由時域分析方法有，3.2 LTI系統對復指數信號的響應The Response of LTI Systems to Complex Exponentials 考查LTI系統對復指數信號 和 的響應9/24/20227 可見LTI系統對復指數信號的響應是很容易求得的。這說明 和 符合對單元信號的第一項要求。特征函數 (Eigenfunction) 如果系統對某一信號的響應只不過是該信號乘以一個常數，則稱該信號是這個系統的特征函數。系統對該信號加權的常數稱為系統與特征函數相對應的特征值。9/24/2022

4、8結論： 只有復指數函數才能成為一切LTI系統的特征函數。 復指數函數 、 是一切LTI系統的特征函數。 、 分別是LTI系統與復指數信號相對應的特征值。對時域的任何一個信號 或者 ,若能將其表示為下列形式：9/24/20229利用系統的齊次性與疊加性同理：即：*問題：究竟有多大范圍的信號可以用復指數信號的線性組合來表示？所以有由于9/24/202210Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals3.3 連續時間周期信號的傅里葉級數表示如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，一. 連續時間傅里葉級數 成諧波關

5、系的復指數信號集: ，其中每個信號都是以 為周期的，它們的公共周期為 ，且該集合中所有的信號都是彼此獨立的。 9/24/202211例1： 顯然 也是以 為周期的。該級數就是傅里葉級數， 稱為傅立葉級數的系數。 這表明用傅里葉級數可以表示連續時間周期信號，即: 連續時間周期信號可以分解成無數多個復指數諧波分量。有9/24/202212例2： 顯然該信號中，有兩個諧波分量， 為相應分量的加權因子，即傅立葉系數。 在該信號中，有四個諧波分量，即時對應的諧波分量。傅里葉級數表明：連續時間周期信號可以按傅立葉級數分解成無數多個復指數諧波分量的線性組合。9/24/202213二.頻譜（Spectral）

6、的概念 在傅里葉級數中，各個信號分量（諧波分量） 間的區別也僅僅是幅度（可以是復數）和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應的頻率。 信號集 中的每一個信號，除了成諧波關系外，每個信號隨時間 的變化規律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。9/24/202214分量 可表示為 因此，當把周期信號 表示為傅里葉級數 時，就可以將 表示為這樣繪出的圖稱為頻譜圖表示為9/24/202215 頻譜圖其實就是將 隨頻率的分布表示出來，即 的關系。由于信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為頻域表示法。三.傅里葉級數的其它形式 或

7、若 是實信號,則有，于是9/24/202216若令，則 為實數。于是即：表明 的模關于 偶對稱，幅角關于 奇對稱。9/24/202217 傅里葉級數的三角函數表示式 若令則9/24/202218因此即 的實部關于 偶對稱，虛部關于 奇對稱。 傅里葉級數的另一種三角函數形式將此關系代入，可得到9/24/202219四.連續時間傅里葉級數系數的確定對兩邊同時在一個周期內積分，有則有如果周期信號 可以表示為傅里葉級數9/24/202220即 在確定此積分時，只要積分區間是一個周期即可，對積分區間的起止并無特別要求，因此可表示為是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。9/24/202221五.周期性

8、矩形脈沖信號的頻譜其中9/24/202222 根據 可繪出 的頻譜圖。 稱為占空比9/24/202223不變 時9/24/202224不變 時9/24/202225周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 離散性 2. 諧波性 3. 收斂性 考查周期 和脈沖寬度 改變時頻譜的變化：當 不變，改變 時，隨 使占空比減小，譜線間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡的形狀不變，包絡主瓣內包含的諧波分量數增加。2. 當 改變， 不變時，隨 使占空比減小，譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡改變，包絡主瓣變寬。主瓣內包含的諧波數量也增加。9/24/202226當 時，有當 時，有表明：奇信號的 是關于 的奇函數、虛函

9、數。表明：偶信號的 是關于 的偶函數、實函數。信號對稱性與頻譜的關系：9/24/2022273.4 連續時間傅里葉級數的收斂 這一節來研究用傅氏級數表示周期信號的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數。一. 傅里葉級數是對信號的最佳近似若 以 為周期用有限個諧波分量近似 時，有Convergence of the Fourier series9/24/202228誤差為 以均方誤差作為衡量誤差的準則，其均方誤差為于是：9/24/202229結論：在均方誤差最小的準則下，傅里葉級數是對周期信號的最佳近似。 在均方誤差最小的準則下，可以證明，此時應滿足：這就是傅氏級數的系數其中9

10、/24/202230二. 傅里葉級數的收斂傅里葉級數收斂的兩層含義： 是否存在? 級數是否收斂于 ? 兩組條件： 1.平方可積條件： 如果 則 必存在。 在一個周期內能量有限， 一定存在。9/24/202231 2. Dirichlet條件： ，在任何周期內信號絕對可積。 在任何有限區間內，只有有限個極值點，且極值為有限值。 在任何有限區間內，只有有限個第一類間斷點。因此，信號絕對可積就保證了 的存在。9/24/202232這兩組條件并不完全等價。它們都是傅里葉級數收斂的充分條件。相當廣泛的信號都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里葉級數表示周期信號具有相當的普遍適用性。幾個不滿足Dirich

11、let條件的信號9/24/202233三.Gibbs現象 滿足 Dirichlet 條件的信號，其傅里葉級數是如何收斂于 的。特別當 具有間斷點時，在間斷點附近，如何收斂于 ?9/24/2022349/24/2022359/24/202236 用有限項傅里葉級數表示有間斷點的信號時，在間斷點附近不可避免的會出現振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取項數的增加而減小。只是隨著項數的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少。Gibbs現象表明：9/24/202237Properties of Continuous-Time Fourier Series3.5 連續時間傅里葉級數的性

12、質學習這些性質，有助于對概念的理解和對信號進行級數展開。一. 線性：若 和 都是以 為周期的信號，且則9/24/202238二.時移:三.反轉:若 是以 為周期的信號，且則若 是以 為周期的信號，且則四.尺度變換:若 是以 為周期的信號，且則 以 為周期，于是9/24/202239令 ，當 在 變化時， 從 變化，于是有：五. 相乘:若 和 都是以 為周期的信號，且則也即9/24/202240六.共軛對稱性:若 是以 為周期的信號，且則由此可推得，對實信號有： 或時有：當9/24/202241七.Parseval 定理：表明：一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和.* 掌握表

13、3.1對實信號，當 時，（實偶函數）當 時，（虛奇函數）時有：當9/24/202242例1：-T1T010-TT例2：周期性矩形脈沖將其微分后，可利用例1表示為9/24/202243設由時域微分性質有根據時移特性，有由例1知109/24/202244Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals一.離散時間傅里葉級數（DFS） Discrete-Time Fourier Series 考察成諧波關系的復指數信號集: 該信號集中每一個信號都以 為周期，且該集合中只有 個信號是彼此獨立的。 3.6 離散時間周期信號的傅

14、里葉級數表示9/24/202245 這個級數就稱為離散時間傅里葉級數（DFS），其中 也稱為周期信號 的頻譜。二. 傅里葉級數系數的確定給 兩邊同乘以 ，得： 將這 個獨立的信號線性組合起來，一定能表 示一個以 為周期的序列。即：其中 為 個相連的整數9/24/202246而 顯然 仍是以 為周期的，對兩邊求和9/24/202247即或對實信號同樣有： 顯然上式滿足 ，即 也是以 為周期的，或者說 中只有 個是獨立的。9/24/202248三.周期性方波序列的頻譜9/24/202249 顯然 的包絡具有 的形狀。時9/24/202250周期性方波序列的頻譜9/24/202251 當 不變、 時

15、，頻譜的包絡形狀不變，只是幅度減小，譜線間隔變小。 當 改變、 不變時，由于 的包絡具有 的形狀，而 ，可知其包絡形狀一定發生變化。當 時，包絡的第一個零點會遠離原點從而使頻譜主瓣變寬。這一點也與連續時間周期矩形脈沖的情況類似。9/24/202252三. DFS的收斂 DFS 是一個有限項的級數，確定 的關系式也是有限項的和式，因而不存在收斂問題，也不會產生Gibbs現象。 周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性，當在 區間 考查時，也具有收斂性。不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有周期性。 9/24/2022531. 相乘 2. 差分周期卷積Properties of Discrete-Time

16、 Fourier Series 3.7 DFS的性質DFS有許多性質，這里只選幾個加以討論。9/24/2022543. 時域內插若 以N為周期，則 以mN為周期。令令 ，則有時9/24/2022554. Paseval定理 左邊是信號在一個周期內的平均功率，右邊是信號的各次諧波的總功率。 這表明：一個周期信號的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。9/24/2022563.8 傅里葉級數與LTI系統Fourier Series and LTI Systems LTI系統對復指數信號所起的作用只是給輸入信號加權了一個相應的特征值。對連續

17、時間系統對離散時間系統、 被稱為系統的系統函數。9/24/202257如果則被稱為連續時間LTI系統的頻率響應如果則稱為離散時間LTI系統的頻率響應對 而言，是以 為周期的。如果一個LTI系統輸入周期性信號 或 9/24/202258則* 可見，LTI系統對周期信號的響應仍是一個周期信號，LTI系統的作用是對各個諧波頻率的信號分量進行不同的加權處理。9/24/202259例：某離散時間LTI系統， 輸入為 ，求輸出 。即：9/24/202260由得9/24/2022613.9 濾波1.頻率成形濾波器（改變各分量的幅度與相位）2.頻率選擇性濾波器（去除某些頻率分量）The Ideal Frequ

18、ency-Selective Filters一. 濾波 通過系統改變信號中各頻率分量的相對大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱為濾波。濾波器可分為兩大類：9/24/202262二. 理想頻率選擇性濾波器的頻率特性 理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個（或幾個）頻段內，頻率響應為常數，而在其它頻段內頻率響應等于零。理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻。 濾波器允許信號完全通過的頻段稱為濾波器的通帶（pass band ），完全不允許信號通過的頻段稱為阻帶（stop band）。9/24/202263連續時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性低通高通帶阻帶通9/24/202264離散時間理

19、想頻率選擇性濾波器的頻率特性高通-低通2-帶通-0帶阻-9/24/202265 各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。離散時間理想濾波器的特性在 區間上，與相應的連續時間濾波器特性完全相似。三.理想濾波器的時域特性以理想低通濾波器為例連續時間理想低通濾波器19/24/202266 各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。離散時間理想濾波器的特性在 區間上，與相應的連續時間濾波器特性完全相似。三.理想濾波器的時域特性以理想低通濾波器為例連續時間理想低通濾波器19/24/202267由傅里葉變換可得:9/24/202268對離散時間理想低通濾波器有：9/24/202269如果理想低通濾波器具

20、有線性相位特性則9/24/202270理想低通濾波器的單位階躍響應令正弦積分9/24/202271由于9/24/202272對離散時間理想低通濾波器，相應有：從理想濾波器的時域特性可以看出：9/24/2022733.在工程應用中，當要設計一個濾波器時，必須對時域特性和頻域特性作出恰當的折中。1.理想濾波器是非因果系統。因而是物理不可實現的；2.盡管從頻域濾波的角度看，理想濾波器的頻率特性是最佳的。但它們的時域特性并不是最佳的。 h(t)或h(n)都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想濾波器的時域特性與頻域特性并不兼容。9/24/202274非理想濾波器 The Nonideal Filters 對理

21、想特性逼近得越精確，實現時付出的代價越大，系統的復雜程度也越高。 由于理想濾波器是物理不可實現的，工程應用中就必須尋找一個物理可實現的頻率特性去逼近理想特性，這種物理可實現的系統就稱為非理想濾波器。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。9/24/202275非理想濾波器特性1.通帶絕對平坦，通帶內衰減為零。理想濾波器特性2.阻帶絕對平坦，阻帶內衰減為 。通帶內允許有起伏，有一定衰減范圍3.無過渡帶。阻帶內允許有起伏，有一定衰減范圍有一定的過渡帶寬度9/24/202276 通常將偏離單位增益的 稱為通帶起伏（或波紋）， 稱為阻帶起伏（或波紋）， 稱為通帶邊緣， 為阻帶邊緣， 為過渡帶。非理想低通濾波器的容限9/24/202277它們都從幅頻特性出發逼近理想低通的模特性。工程實際中常用的逼近方式有：1.Butterworth濾波器：通帶、阻帶均呈單調衰減，也稱通帶最平伏逼近；2.Chebyshev濾波器：通帶等起伏阻帶單調，或通帶單調阻帶等起伏；3.Cauer濾