1、5.2 中心極限定理中心極限定理的客觀背景:常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的綜合影響。在實(shí)際問題中，自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見。 第五章 則一般都服從或近似服從正態(tài)分布。觀察表明：如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響X 中所起的作用不大。而總影響 X 是這些隨機(jī)變量的總和:在概率論中，中心極限定理就是處理和的分布收斂于正態(tài)分布這類問題。研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)的分布函數(shù)的極限。由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不變量：正態(tài)分布。這就是下面要介紹的中心極限定理。 可以證明：滿足一定的條件

2、，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)定理1（獨(dú)立同分布的中心極限定理）則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，有設(shè) 獨(dú)立同分布，且有相同的數(shù)學(xué)期望和方差表明：無論原來服從什么分布，當(dāng)n充分大時(shí)，其和總可以近似服從正態(tài)分布。 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布。現(xiàn)隨機(jī)抽取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率。由題知，Xi 相互獨(dú)立，且16只元件的壽命的總和為解：設(shè)第i 只元件的壽命為Xi ,i=1,2, ,16.E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000則E(Y )=1600,D(Y )=160000例1近似服從N (0,1)，故有依題意，所求

3、概率為PY 1920，根據(jù)中心極限定理定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有證明：由于故有其中相互獨(dú)立，且都服從（0-1）分布，故由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得注意：正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n 充分大時(shí)，可以利用正態(tài)分布計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。從而有推論：設(shè)隨機(jī)變量當(dāng)n充分大時(shí)有注意：該公式給出了n 較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。某單位有200臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話。假定每臺(tái)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？解：設(shè)有X 臺(tái)分機(jī)同時(shí)使用外線，則有設(shè)有N 條外線。由題意有其中例2故 N 應(yīng)滿足條件查表得即至少要安裝14 條外線。由德莫佛-拉普拉斯定理得利用 契比雪夫不等式 中心極限定理分別確定投擲一枚均勻硬幣的次數(shù)，使得出現(xiàn)“正面向上”的頻率在0.4到0.6之間的概率不小于0.9。解：設(shè) X 表示正面出現(xiàn)的次數(shù)（n 次試驗(yàn)），則故例3由契比雪夫不等式所以 利用契比雪夫