1、2018年高考數學一輪復習 熱點難點精講精析 3.1三角函數部門： xxx時間： xxx制作人：xxx整理范文，僅供參考，勿作商業用途2018 年高考一輪復習熱點難點精講精析：3.1 三角函數一、任意角和弧度制及任意角的三角函數1、三角函數的定義相關鏈接1）已知角 終邊上上點 P 的坐標，則可先求出點 P 到原點的距離 r，然后用三角函數的定義求解；2）已知角 的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數的定義來求相關問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的 b5E2RGbCAP注：若角 的終邊落在某條直線上，一般要分類討論。例題解讀例已知角 的

2、終邊落在直線 3x+4y=0 上，求 sin ,cos ,tan 的值。思路解讀：本題求 的三角函數值，依據三角函數的定義，可在角 的終邊上任意一點P，求出r，由定義得出結論。p1EanqFDPw解答：角 的終邊在直線 3x+4y=0 上，在角 的終邊上任取一點P，則x=4t,y=-3t.,DXDiTa9E3dr=5|t|,當 t0 r=5t,sin = =當 t0 時 ， r=-5t ， sin =。,，；，=，綜 上 可 知 ， sin =，； 或 sin =,.2、象限角、三角函數值符號的判斷相關鏈接1）熟記各個三角函數在每個象限內的符號是關鍵；2）判斷三角函數值的符號就是要判斷角所在的

3、象限；3）對于已知三角函數式的符號判斷角所在象限，可先根據三角函數式的符號確定三角函數值的符號，再判斷角所在象限。RTCrpUDGiT例題解讀例1）如果點 Psin cos ,2cos ）位于第三象限，試判斷角 所在的象限；2）若 是第二象限角，則的符號是什么？思路解讀：1）由點 P 所在的象限，知道 sin ，2cos 的符號，從而可求 sin 與 cos ,cos(sin2 的符號可定。5PCzVD7HxA解答：1）因為點 Psin cos ,2cos ）位于第三象限，所以sin cos 0，2cos 0，即2 2k +1cos 0,4k + 2 4k +2 ,-所以 為第二象限角。jLB

4、HrnAILg ,-）1sin2 0,號是負號。xHAQX74J0X0,的符3、已知 所在象限，求所在象限相關鏈接1）由 所在象限，確定 所在象限的方法由 的范圍，求出 的范圍；通過分類討論把角寫成 +k3600的形式，然后判斷 所在象限。2）由 所在象限，確定 所在象限，也可用如下方法判斷：畫出區域：將坐標系每個象限二等分，得8個區域；標號：自 x 軸正向逆時針方向把每個區域依次標上，如圖所示）；確定區域：找出與角 所在象限標號一致的區域，即為所求。3）由 所在象限，確定 所在象限，也可用如下方法判斷：畫出區域：將坐標系每個象限三等分，得到12 個區域；標號：自 x 軸正向逆時針方向把每個區

5、域依次標上，如圖所示）：確定區域：找出與角 所在象限標號一致的區域，即為所求。例題解讀例若 是第二象限角，試分別確定2 、 、 的終邊所在位置思路分析：寫出 的范圍 求出 、 、 的范圍 分類討論求出2 、 、 終邊所在位置。解答： 是第二象限角，900+k3600 ,(11800+2k36002 ,故2 是第三或第四象限角，或 的終邊在y軸的非正半軸上。2）450+k1800 ,當k=2n(nZ時，450+n3600 ,當k=2n+1(nZ時, 2250+n3600 , 是第一或第三象限角。3）300+k1200 ,當k=3n(kZ時，300+n3600 ,當k=3n+1(kZ時, 1500

6、+n3600 ,當k=3n+2(kZ時, 2700+n3600 , 是第一或第二或第四象限角。4、同角三角函數關系的應用例12分）已知 是三角形的內角，且sin +cos = .1）求tan的值；2）把思路分析：1）由sin +cos = 及sin2 +cos2 =1,可求sin , cos的值；用tan 表示出來，并求其值。LDAYtRyKfE2）sin2 +cos2 =1，分子、分母同除以cos2 即可。解答：2=( 2，即(sin -cos 2=sin 0,cos 0,sin - cos = ,由tan =2）tan =注：2=12 sin cos ;2）關于 sin ， 的齊次式，往往

7、化為關于tanx的式子。Zzz6ZB2Ltk5、扇形的弧長、面積公式的應用例已知一扇形的圓心角是 ，所在圓半徑是R。1）2）若 =600R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積。若扇形的周長是一定值C0），當 是多少弧度時，該扇形有最大面積？思路分析：1）利用弧長、面積公式求解；2）把扇形面積用 表示出來，或用弧長表示出來，然后求出函數的最值。dvzfvkwMI1解答：1）設弧長為 ，弓形面積為 ，2）方法一：扇形周長C=2R+ =2R+ R,R=當且僅當，即 =2 =-2舍去）時，扇形面積有最大值 。方法二：由已知2R+ =C,當時，此時當=2弧度時，扇形面積有最大值 。注：合理選擇變

8、量，把扇形面積表示出來，體現了函數的思想，針對不同的函數類型，采用不同的方法求最值，這是解決問題的關鍵。rqyn14ZNXI二、三角函數的誘導公式1、三角函數式的化簡相關鏈接1）， ，的三角函數值是化簡的主要工具。使用誘導公式前，要正確分析角的結構特點，然后確定使用的誘導公式；EmxvxOtOco2）不能直接使用誘導公式的角通過適當的角的變換化為能使用誘導公式的角，如：注：若等。出現時，要分 為奇數和偶數討論。3）誘導公式的應用原則是：負化正，大化小，化到銳角為終了。特殊角能求值則求值；4）化簡是一種不能指定答案的恒等變形，化簡結果要盡可能使項數少、函數的種類少、次數低、能求出值的要求出值、無

9、根式、無分式等。SixE2yXPq5例題解讀例化簡：思路分析：化簡時注意觀察題設中的角出現了 ，需討論 是奇數還是偶數。解答：當時，當綜上，原式=-12、三角函數的求值相關鏈接1）六個誘導公式和同角三角函數的關系是求值的基礎；=sin( - ，cosA=cos( - 求 ABC 的三內角。kavU42VRUs思路分析：本題首先利用誘導公式把所給兩個等式化簡，然后利用，求出 cosA的值，再利用A+B+C= 進行計算。y6v3ALoS89解答：由已知得，化簡得即1）當時，又 A、B 是三角形內角，A= ，B= ，又 AB 是三角形內角，A= ，B= ，C=sin( -C=sinC;cos(A+B

10、=cos( -C=-cosC;tan(A+B=tan( -C=-tanC;sin(2A+2B=sin(2 -2C=-sin2C;cos(2A+2B= -2C=cos2C;tan(2A+2B=tan(2 -2C=-tan2C;sin(cos(=sin(=cos(=cos ;=sin .以上結論應在熟練應用的基礎上加強記憶。例 2是否存在 ， ）， = cos( - , cos(- =cos( 同時成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，請說明理由。M2ub6vSTnP思路分析：要想求出 ， 的值，必須知道 ， 的某一個三角函數值，因此，解決本題的關鍵是由兩個等式消去 或 的同名三角函數值。0Yu

11、jCfmUCw解答：假設存在 ， 使得等式成立，即有化簡得，繼續化簡可得。又 = 或 = 。將 = 代入得 cos = .可知符合。eUts8ZQVRd得 cos = .又 0， ）， = 代又 0， ）， = ，代入將 = 代入入可知不符合。綜上可知，存在 = ， = 滿足條件。注：已知角 的三角函數值求角 的一般步驟是：1）由三角函數值的符號確定角 所豐的象限；2）據角 所在的象限求出角 的最小正角；3）最后利用終邊相同的角寫出角 的一般表達式。三、三角函數的圖象與性質1、與三角函數有關的函數的定義域相關鏈接1）與三角函數有關的函數的定義域與三角函數有關的函數的定義域仍然是使函數解讀式有意

12、義的自變量的取值范圍；求此類函數的定義域最終歸結為用三角函數線或三角函數的圖象解三角不等式。a(cosxa的方法找出使sinx=a(cosx=a的兩個x 值的終邊所豐位置；根據變化趨勢，確定不等式的解集。a(cosxa，tanxa的方法作直線 y=a，在三角函數的圖象了找出一個周期內的x 值，寫出解集。注：關于正切函數的不等式tanxatanxa,常用圖象求解。例題解讀例求下列函數的定義域：的定義域；2）求函數的定義域。思路分析：1）第cosx 的 x 的集合，可用圖象或三角函數線解決；2）第2）小題實際就是求使成立的 x 的值，可用圖象或三角函數線解決。sQsAEJkW5T解答：0方法一：利

13、用圖象。在同一坐標系中畫出02 上 y=sinx 和 y=cosx 的圖象，如圖所示：在0，2 內，滿足 sinx=cosx 的 x 為 ， ，再結合正弦、余弦函數的周期是2 ，所以定義域為方法二、利用三角函數線，如圖，MN 為正弦線，OM 為余弦線，要使 sinxcosx,即 MNOM，則。定義域為GMsIasNXkA方法三：sinx-cosx= sin(x- 0,將 x- 視為一個整體，由正弦函數y=sinx 的 圖 象 和 性 質 可 知 2k x-2k + x +2k ,kZ.定義域為 +2k , 解 得TIrRGchYzg2 ） 要 使 函 數 有 意 義 ， 必 須 有， 即， 解

14、 得，故所求函數的定義域為2、三角函數單調區間的求法1）準確記憶三角函數的單調區間是求復合三角函數單調區間的基礎；(A0,0的函數的單調區間，基本思路是把x+ 看作一個整體，由求得函數的增區間，由求得函數的減區間。7EqZcWLZNX(A0,0的函數，可先利用誘導公式把 x 的系數變為正數，得到 y=-Asin(x- ，由得到函數的減區間，由得到函數的增區間。lzq7IGf02E注：對于函數 y=Acos(x+ ,y=Atan(x+ 產單調區間的求法與y=Asin(x+ 的單調區間的求法相同。zvpgeqJ1hk例題解讀例1）求函數2）求的單調遞減區間；的周期及單調區間。思路解讀：題目所給解讀

15、式中 x 的系數都為負，把 x 的系數變為正數，解相應不等式求單調區間。解答： 1）由得，由得又x , ,-x 的單 x.函數調遞減區間為- ，0時，利用最值求 ab a0，則；若a或 y=Acos(x+ 的最值，再由方程的思想解決問題。1nowfTG4KI例2求函數的值域思路解讀：1）因xR時，cos-1,1,可利用分離參數法求解；2）利用cosx的有界性，把cosx用 y表示出來解。解答：方法一：函數的定義域為 R，y=1+,1cosx1,當;當 cosx=1時，2-cosx有最,函數的值域為 ，2fjnFLDa5Zo方 法 二 ： 由 解 出 cosx 得cosx=-1時，2-cosx有

16、最大值3，此時小值 1，此時。 -1cosx1,即， 即,函數的值域為 ，2tfnNhnE6e5，也即兩邊同時平方得0,注：求三角函數的值域主要有三條途徑：,再由|sinx|1得到一個關于y 的不等式|f(y|1，從而求得y的取值范圍；HbmVN777sL2）將 y用 sinx或 cosx來表示，或配方或換元或利用函數的單調性或基本不等式來確定y的取值范圍；3）利用數形結合或不等式法求解。在解答過程中，注意化歸思想的應用以及應用過程中的等價轉化。四、函數的圖象及三角函數模型的簡單應用的圖象1、函數相關鏈接1）“五點作圖法” 當 畫 函 數在 xR 上 的 圖 象 時 ， 一 般 令即可得到所畫

17、圖象的特殊點坐標，其中橫坐標成等差數列，公差為 ；當畫函數在某個指定區間上的圖象時，一般先求出的范圍，然后在這個范圍內，選取特殊點，連同區間的兩個端點一起列表。V7l4jRB8Hs2）圖象變換法、平移變換沿x 軸平移，按“左加右減”法則；沿y 軸平移，按“上加下減”法則。、伸縮變換沿 x 軸伸縮時，橫坐標 x 01）或縮短為原來的 倍縱坐標 y ;沿 y 軸伸縮時，縱坐標 y 伸長1）或縮短0A1）為原來的 A 橫坐標 x 不變）。注：在實際畫圖象時，我們一般用“五點作圖”法，而不使用圖象變換法。例題解讀例已知函數。1）在給定的坐標系中，作出函數在區間上的圖象2）求函數在區間上的最大值和最小值

18、。思路解讀：1）把象；2）先求出x+ 在解答：的形式，然后列表，畫圖上的范圍，然后根據單調性求解。83lcPA59W9=cos2x-sin2x= cos(2x+ .列表：01001圖象如圖：2）- x0,2x+ ,當 2x+ =，即 x=- 時，有最小值，max= ,即2、函數min=-1,當 2x+ =0，即 x= 時，有最大值，在- ，0上的最小值為-1，最大值為 。mZkklkzaaP+b 的解讀式相關鏈接確定+b 的解讀式的步驟：1）求，b確定函數的最大值M 和最小值m，則A=，b=。2）求，確定函數的周期T，則3）求 ，常用方法有：；、代入法：把圖象上的一個已知點代入此時，A、b 已

19、知）或代入圖象與直線 y=b 的交點求解。此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上）；AVktR43bpw、五點法：確定 值時，往往以尋找“五點法”中的第一零點 ，0）作為突破口。具體如下：第一點即圖象上升時與 x 軸的交點）為點”）為 ；第三點即圖象下降時與 x 軸的交點）為點即圖象的“谷點”）為 ；第五點為 ORjBnOwcEd；第二點=Asin(x+ ,xR(其中 A0,0,0 的圖象與 x 軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為M( ,-2.2MiJTy0dTT(1求f(x的解讀式；(2當x , 時，求f(x的值域.思路解讀：由與 x 軸的交點中相鄰兩交點的距離為

20、 可得，從而得T= ，即可得 由圖象最低點得 A 及 的值，從而得函數 f(x的解讀式，進而得 f(x.gIiSpiue7A解答：(1由最低點為 M( ,-2,得 A=2.由 x 軸上相鄰兩個交點之間的距離為 ,得,即 T= ,=2.由點 M( ,-2在圖象上得2sin(2 + =-2,即 sin( + =-1,uEh0U1Yfmh故取得最大值2;當 2x+ = ,即 x= 時,f(x取得最小值-1,故f(x的值域為-1,2.3、函數y=Asin(x+ 的圖象與性質的綜合應用相關鏈接的圖象向左右）平移 k 個單位，得到的圖象解讀式為y=Asinxk）+ .IAg9qLsgBX伸縮變換：把函數

21、y=Asin(x+ 的圖象上各點的橫坐標變為原來的 M倍，縱坐標不變，得到的函數的圖象解讀式為 y=Asin ）+ 。WwghWvVhPE的圖象的對稱問題 函 數 y=Asin(x+ 的 圖 象 關 于 直 線 x=xk的圖象關于點成中心對稱圖形，也就是說函數圖象與 x 軸的交點= sin(x+ -cos(x+ (0 0為偶函數，且函數y=f(x圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 。BkeGuInkxI的值；的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g(x的圖象，求g(x的單調遞減區間。PgdO0sRlMo思路解讀： 由奇偶性和周期性求 和 求

22、f( ；的圖象 得到g(x的解讀式 求 g(x的單調減區間。3cdXwckm15解答：=sin(x+ -cos(x+ =2sin(x+ -cos(x+ =2sin(x+ - .因為 f(x為偶函數，所以對 -x=f(x恒成立，因此，sin(-x+ - =sin(x+ - ,即-sinxcos( -+cosxsin( - =sinxcos( - +cosxsin( - ,整理得sinxcos( - =0,因為0.且xR,所以cos( - =0,又因為0 =2sin(x+ -2cosx.由題意得=2，故f(x=2cos2x,因此f( =2cos = .h8c52WOngM，所以的圖象向右平移 個單

23、位后，得到 f(x- 的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不為，得到f( - 的圖象。所以g(x= f( - =2cos2( - =2cos(當2k 2k + (kZ,v4bdyGious即4 k + x4 + (kZ時，g(x單調遞減。因此g(x的單調遞減區間為4 k + ，4 k + (kZ。4、函數y=Asin(x+ +b模型的簡單應用例如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為 4.8m,圓上最低點與地面距離為0.8m,60秒轉動一圈,圖中OA與地面垂直,以OA與地面垂直,以OA,逆時針轉動 角到OB,設B點與地面距離是h J0bm4qMpJ9）求h 與 間的函數關系式；

24、）設從OA 開始轉動，經過t 秒后到達OBh 與之間的函數關系式,并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？XVauA9grYP思路分析：）以圓心為原點建立平面直角坐標系，利用三角函數的定義求出點的縱坐標，則h 與 之間的關系可求）把 用t 表示出來代入h 與 的函數關系即可bR9C6TJscw解答：）以圓心為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則以x 為始邊，為終邊的角為 - ,故點的坐標為,4.8sin( - ）,h=5.6+4.8sin( - .pN9LBDdtrd.t0,+.到達最高點時，h=10.4m，由 sin( t-=1 得 t- ，t=30,DJ8T7nHuGT纜車到達最高點時，

25、用的時間最少為30 秒注：面對實際問題時,能夠迅速地建立數學模型是一項重要的基本技能.這個過程并不神秘,比如本例題,在讀題時把問題提供的” 條件”逐條地“翻譯”成“數學語言”，這個過程就是數學建模的過程，在高考中，將實際問題轉化為與三角函數有關的問題的常見形式有：求出三角函數的解讀式；畫出函數的圖象以及利用函數的性質進行解題。QF81D7bvUA將實際問題轉化為三角函數有關問題應注意以下幾點：審題：把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數學語言”；描點畫圖，建立數學模型；求出三角函數解讀式；利用函數的性質進行解題。五、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1、三角函數式的化簡、求值相關鏈接1）三角函

26、數式的化簡要遵循“三看”原則一看“角”，這是最重要的一環，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們打到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等。2）根式的化簡常常需要升冪去根號，在化簡中注意角的范圍以確定三角函數值的正負號；3）對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有：化為特殊角的三角函數值；化為正、負相消的項，消去求值；化分子、分母出現公約數進行約分求值。例題解讀例1）化簡2）求值思路解讀：1）從把角 變為 入手，合理使

27、用公式；2）應用公式把非 角轉化為 的角，切化弦。解答）原式=2、三角函數的給值求值問題相關鏈接三角函數的給值求值問題解決的關鍵在于把“所求角”用“已知角”表示。1）當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示兩個“已知角”的和或差的形式；2）當“已知角”有一個時，此時應 著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”。4B7a9QFw9h3）常見的配角技巧例題解讀例已知，求的值。思 路 解 讀 ： 比 較 題 設 中 的 角 與 待 求 式 中 的 角 ， 不 難 發 現， 再 由求解。解 答 ： 方 法 一 ： 。又，又方法二：3、三角函數的給值求角問題

28、相關鏈接1）通過先求角的某個三角函數值來求角，在選取函數時，遵照以下原則：已知正切函數值，選正切函數；已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數。若角的范圍是，選，選正正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍為弦較好。ix6iFA8xoX2）解給值求角問題的一般步驟為：求角的某一個三角函數值；確定角的范圍；根據角的范圍寫出所求的角。例題解讀例 1如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，以 Ox 軸為始邊作兩個銳角 ， ，它們的終邊分別與單位圓交于 A、B 的橫坐標分別為、wt6qbkCyDE的值； 求tan( +2 求 的范圍 求 +2 的值。Kp5zH46zRk解答：由已知條件得：例2思路解

29、讀解答：注：已知三角函數值求角，一般分兩步：“恰當”地根據角的范圍選擇一個三角函數值；根據角的范圍與三角函數值確定該角的值。4、三角函數的綜合應用例已知 、 為銳角，向量1）2）若若，求角的值；，求 tan 的值。思路解讀：1）由的坐標，可求出關于 、 的三角函數值，進而求出角；2）由可求出關于 、 的三角恒等式，利用方程的思想解決問題。解答：1）由得，由得由 、 為銳角， = 。從而=注：1）已知三角函數值求角，一定要注意角的范圍； 的解讀式通通過三角恒等變換可轉化為 y=asinx+bcosx+k 的形式，則函數 f(x的解讀式可化為 f(x=cos = ,sin = Yl4HdOAA61

30、sin(x+ +k(其中注：解讀式與三角函數有關的函數若求函數的周期、單調區間、對稱軸、值域等問題時，一般要轉化為y=Asin(x+ +k 的形式。ch4PJx4BlI例題解讀例已知函數化簡成Asin(x+ +B(A0,0,的值域。的形式；思路解讀 ：1）利用平方關系式；的變形將根式化為有理2）利用三角函數的單調性及借助于三角函數的圖象確定值域。解答：2、三角函數的證明相關鏈接1）證明三角恒等式的方法觀察等式兩邊的差異角、函數、運算的差異），從解決某一差異入手同時消除其他差異），確定人該等式的哪邊證明 也可兩邊同時化簡），當從解決差異方面不易入手時，可采用轉換命題法或用分析法等。qd3YfhxCzo2）證明三角條件等式的方法首先觀察條件與結論的差異，從解決這一差異入手，確定從結論開始，通過變換，將已知表達式代入得出結論，或通過變換已知條件得出引