1、新人教版高中數學學問點總結 高中數學 必修 1 學問點 第一章 集合與函數概念 【 】集合的含義與表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有確定性,互異性和無序性 . （ 2）常用數集及其記法 N 表示自然數集, N 或 N 表示正整數集, Z 表示整數集, Q 表示有理數集, R 表示實數集. （ 3）集合與元素間的關系 對象 a 與集合 M 的關系是 aM,或者 aM,兩者必居其一 . （ 4）集合的表示法 自然語言法：用文字表達的形式來描述集合 . 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內表示集合 . 描述法： x | x 具有的性質 ,其中 x 為集合的代表元素 . 圖示法：用數

2、軸或韋恩圖來表示集合 . （ 5）集合的分類 含有有限個元素的集合叫做有限集 . 含有無限個元素的集合叫做無限集 . 不含有任何元素的集合叫做空集 . 第 1 頁,共 31 頁【 】集合間的基本關系 （ 6）子集,真子集,集合相等 名稱 記號 意義 性質 AB 示意圖 A 子 A B A 中的任一元 1A A B 2 A 集 （或 B A 素都屬于 B 3 如 A B 且 B C ,就 A C或 真 A B B A 4 如 A B 且 B A ,就 A B A B ,且 B （1） A（A 為非空子集） 子 （或 B 2 如 A B 且 B C ,就 A C中 至 少 有 一 集 元素不屬于

3、A A） A 中的任一元 集合 A B 素都屬于 B, 1A B AB 相等 B 中的任一元 2B A 素都屬于 A （ 7）已知集合 A 有 nn 1 個元素,就它有 2n 個子集,它有 2n 1 個真子集, 它有 n 21 個非空子 集,它有 2n2 非空真子集 . 【 】集合的基本運算 （ 8）交集,并集,補集 第 2 頁,共 31 頁名稱 記號 意義 B 性質 U示意圖 交集 AI B x | x A, 且 x （ 1） AI A A A B （ 2） AI 并集 AU B x | x A, 或 x B （ 3） AI B A A B AI B B （ 1） AU A A （ 2） A

4、U A 補集 Cu A x | x U , 且 x A （ 3） AU B A AU B B 1 A CUA 2 A CU A 【補充學問】含確定值的不等式與一元二次不等式的解法 （ 1）含確定值的不等式的解法 第 3 頁,共 31 頁不等式 解集 a | x | aa 0 x | ax | x | a a 0 x | x a 或 x a 把 ax b 看成一個整體,化成 | x | a , | ax b | c,| ax b | cc 0 | x | aa 0 型不等式來求解 （ 2）一元二次不等式的解法 判別式 000b24 ac 二次函數 y ax2bx ca 0 O 的圖象 一元二次方

5、程 0 x1,2 bb 2 2a 4ac x1 x2 b無實根 2 ax bx c 0 a 2a 的根 0 （其中 x1 x2 x | x b 2a R2 ax bx c 0 a x | x x1 或 x x2 的解集 0 x | x1 x x2 2 ax bx c 0a 的解集 函數及其表示 【 】函數的概念 第 4 頁,共 31 頁（ 1）函數的概念 設 A , B 是兩個非空的數集,假如依據某種對應法就 f ,對于集合 A 中任何一個數 x , 在集合 B 中都有唯獨確定的數 f x 和它對應, 那么這樣的對應 （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的對應法就 f ）叫做集合 A 到

6、B 的一個函數,記作 f : A B 函數的三要素 :定義域,值域和對應法就 只有定義域相同,且對應法就也相同的兩個函數才是同一函數 （ 2）區間的概念及表示法 設 a,b 是兩個實數,且 a b ,中意 a x b 的實數 x 的集合叫做閉區間,記做 a,b ； 中意 a x b 的實數 x 的集合叫做開區間,記做 a,b ；中意 a x b ,或 a x b 的實 數 x 的集合叫做半開半閉區間,分別記做 a, b ,a, b ；中意 x a, x a, x b, x b 的實 數 x 的集合分別記做 a, , a, , , b, , b 留意 ：對于集合 x | a x b 與區間 a,

7、b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需 a b （ 3）求函數的定義域時,一般遵循以下原就： f x 是整式時,定義域是全體實數 f x 是分式函數時,定義域是使分母不為零的一切實數 f x 是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合 對數函數的真數大于零, 當對數或指數函數的底數中含變量時, 底數大于零且不等于 1 y tan x 中, x k 2k Z 零（負）指數冪的底數不能為零 如 f x 是由有限個基本初等函數的四就運算而合成的函數時, 就其定義域一般是各基本 初等函數的定義域的交集 第 5 頁,共 31 頁對于求復合函數定義域問題,一般步驟是：如已知 f g

8、x 的定義域應由不等式 agx b 解出 f x 的定義域為 a,b ,其復合函數 對于含字母參數的函數,求其定義域,依據問題具體情形需對字母參數進行分類爭辯 （ 4）求函數的值域或最值 求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的事實上,假如在函數的值 域中存在一個最小（大）數,這個數就是函數的最小（大）值因此求函數的最值與值 域,其實質是相同的,只是提問的角度不同求函數值域與最值的常用方法： 觀看法 ：對于比較簡潔的函數,我們可以通過觀看直接得到值域或最值 配方法 ：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和, 然后依據變量的取值范疇確 定函數的值域或最值 判別式法 ：如函數 2

9、a y x y f x 可以化成一個系數含有 y 的關于 x 的二次方程 b y x c y 0 ,就在 a y 0 時,由于 x, y 為實數,故必需有 b 2 y 4a y c y 0 ,從而確定函數的值域或最值 不等式法 ：利用基本不等式確定函數的值域或最值 換元法 ：通過變量代換達到化繁為簡,化難為易的目的,三角代換可將代數函數的最值 問題轉化為三角函數的最值問題 反函數法 ：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值 數形結合法 ：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值 函數的單調性法 【 】函數的表示法 （ 5）函數的表示方法 第 6 頁,共 31 頁表示

10、函數的方法,常用的有解析法,列表法,圖象法三種 解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示 兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系 （ 6）映射的概念 設 A , B 是兩個集合,假如依據某種對應法就 f ,對于集合 A 中任何一個元素,在集合 B 中都有唯獨的元素和它對應,那么這樣的對應（包括集合 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,記作 f : A B A , B 以及 A 到 B 的對應法就 給定一個集合 A 到集合 B 的映射,且 a A,b B 假如元素 a 和元素 b 對應,那么我們把 元素 b 叫做元素 a 的象,元素

11、 a 叫做元素 b 的原象 函數的基本性質 【 】單調性與最大（小）值 第 7 頁,共 31 頁（ 1）函數的單調性 定義及判定方法 函數的 定義 圖象 判定方法 性 質 假如對于屬于定義域 I 內 某個區間上的任意兩個自 （1）利用定義 （2）利用已知函數的單調性 變量的值 x1,x2,當 x1x2 y y=fX fx2 x （3）利用函數圖象（在某個 時,都有 fx1fx2,那么 fx1 x 2 區間圖象上升為增） ox 1就說 fx 在這個區間上是 函數的 增函數 單調性 假如對于屬于定義域 I 內 某個區間上的任意兩個自 （4）利用復合函數 （1）利用定義 （2）利用已知函數的單調性

12、變量的值 x1,x2,當 x1fx2,那 ofx 區間圖象下降為減） x 1 么就說 fx 在這個區間上 是減函數 （4）利用復合函數 在公共定義域內,兩個增函數的和是增函數,兩個減函數的和是減函數,增函數減去一 個減函數為增函數,減函數減去一個增函數為減函數 對于復合函數 y f g x ,令 u g x ,如 y f u 為增, u g x 為增,就 y f g x 為增；如 y f u 為減, u g x 為減,就 y f g x 為增；如 y f u 為增, u g x 為 減,就 y f g x 為減；如 y f u 為減, u g x 為增,就 y f g x 為減 第 8 頁,共

13、 31 頁（ 2）打“”函數 f x x a a x 0 的圖象與性質 a , 0 , 0, a 上為減函數 f x 分別在 , a , a, 上為增函數,分別在 y o x （ 3）最大（小）值定義 一般地,設函數 y f x 的定義域為 I ,假如存在實數 M 中意： （1）對于任意的 x I ,都有 f x M ； （ 2）存在 x0 I ,使得 f x0 M那么,我們稱 M 是函數 f x 的最大值,記作 fmax x M 一般地,設函數 y f x 的定義域為 ,假如存在實數 m 中意： （ 1）對于任意的 x I ,都有 f x m ； （ 2）存在 x0 I ,使得 f x0 m

14、 那么,我們稱 m 是函數 x 的最小值,記作 f max x m 【 】奇偶性 （ 4）函數的奇偶性 第 9 頁,共 31 頁定義及判定方法 函數的 定義 圖象 判定方法 性 質 假如對于函數 fx 定義 域內任意一個 x,都有 f x=fx,那么函數 （ 1）利用定義（要先判定 定義域是否關于原點對稱） （ 2）利用圖象（圖象關于 函數的 fx 叫做奇函數 原點對稱） 奇偶性 假如對于函數 fx 定義 （ 1）利用定義（要先判定 域內任意一個 x,都有 fx=fx,那么函數 fx 定義域是否關于原點對稱） （ 2）利用圖象（圖象關于 叫做偶函數 x 0 處有定義,就 f 0 y 軸對稱）

15、如函數 x 為奇函數,且在 0 奇函數在 y 軸兩側相對稱的區間增減性相同,偶函數在 反 y 軸兩側相對稱的區間增減性相 在公共定義域內,兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數） ,兩個 偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數,一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇 函數 補充學問函數的圖象 （ 1）作圖 第 10 頁,共 31 頁利用描點法作圖： 確定函數的定義域； 爭辯函數的性質（奇偶性,單調性） ； 化解函數解析式； 畫出函數的圖象 利用基本函數圖象的變換作圖： 要精確記憶一次函數, 二次函數, 反比例函數, 指數函數, 對數函數,冪函數,三角函數等各種基本初等函數的圖象

16、 平移變換 y f x h0,左移 h個單位 y f x h y f x k 0,上移 k個單位 y f x k h 0,右移 | h|個單位 k 0,下移 | k|個單位 伸縮變換 y f x 01,伸y f x y f x 0 A 1,縮 y Af x 1,縮A 1,伸對稱變換 y f x xy f x y f x y 軸 y f x 軸 y f x y x y 1 f x 原點 y f x f x 直線 y y f x 去掉 y 軸左邊圖y f | x | 象 保留 y 軸右邊圖象,并作其關于 y軸對稱圖 象 y f x 保留 x 軸上方圖象 將 x 軸下方圖象翻折上去 y | f x

17、| （ 2）識圖 對于給定函數的圖象,要能從圖象的左右,上下分別范疇,變化趨勢,對稱性等方面爭辯 函數的定義域,值域,單調性,奇偶性,留意圖象與函數解析式中參數的關系 （ 3）用圖 其次章 基本初等函數 指數函數 第 11 頁,共 31 頁【 】指數與指數冪的運算 （ 1）根式的概念 假如 x n a, a R, x R, n 1 ,且 n N,那么 x 叫做 a 的 n 次方根當 n 是奇數時, a 的 n 次方根用符號 n a 表示；當 n 是偶數時,正數 a 的正的 n 次方根用符號 na 表示,負的 n次方根用符號 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0 ；負數 a 沒有 n 次方根

18、 n式子 a 叫做根式,這里 n 叫做根指數, a 叫做被開方數當 n 為奇數時, a 為任意實 數；當 n 為偶數時, a 0 n an n 根 式 的 性 質 ： a n a； 當 n為 奇 數 時 , ana ； 當 n為 偶 數 時 , n | a | aaa 0 a 0 （ 2）分數指數冪的概念 正數的正分數指數冪的意義是： mnm a a 0, m, n N , 且 n 1 0 的正分數指數 a n 冪等于 0 正數的負分數指數冪的意義是： am 1 mnan a 1ma0, m, n N , 且 n 1 0 的負 n分數指數冪沒有意義 留意口訣：底數取倒數,指數取相反數 （ 3）

19、分數指數冪的運算性質 aras ars a 0, r , s R R ars rs a a 0, r , s R abrr r a b a 0, b 0, r 【 】指數函數及其性質 （ 4）指數函數 第 12 頁,共 31 頁函數名稱 y 1函數 y x a a 指數函數 定義 0 且 a 1 叫做指數函數 圖象 a10a 1 ax y y y a x y y 10,1 0,1 定義域 O x O x R值域 0, 0 時, y 1 圖象過定點 0,1 ,即當 x 過定點 奇偶性 非奇非偶 在 R 上是減函數 單調性 在 R 上是增函數 函數值的 ax 1 x 0 ax 1 x 0 變化情形

20、 ax 1 x 0 ax 1 x 0 ax 1 x 0 ax 1 x 0 a 變化對 圖象的 在第一象限內, a 越大圖象越高； 在其次象限內, a 越大圖象越低 影響 對數函數 【 】對數與對數運算 第 13 頁,共 31 頁（ 1）對數的定義 如 ax N a 0,且 a 1 ,就 x 叫做以 a 為底 N 的對數,記作 x log N ,其中 a 叫做底數, N 叫做真數 負數和零沒有對數 對數式與指數式的互化： x log Nax N a 0, a 1, N 0 （ 2）幾個重要的對數恒等式 log a 1 0 , log a a 1 , loga abb （ 3）常用對數與自然對數

21、常用對數： lg N ,即 log 10 N ；自然對數： ln N ,即 log e N （其中 e log a M） （ 4）對數的運算性質 假如 a0, a 1,M 0, N 0 ,那么 加法： loga M log a N log a MN 減法： log a M log a N N數乘： n log a Mn log a M n R a log a N N0, 且 b 1 log M annlog a M b 0, n R 換底公式： log aNlogb N b blog a【 】對數函數及其性質 （5 ）對數函數 第 14 頁,共 31 頁函數 對數函數 名稱 定義 y 函數 y

22、 log a xa 0 且 a 1 叫做對數函數 log a x a10 a 1log x y x 1y x 1y 圖象 O 1,0 x 0, 1,0 x O 定義域 值域 在 0, R0 過定點 圖象過定點 1,0 ,即當 x 1y 奇偶性 時, 上是減函數 非奇非偶 上是增函數 在 0, 單調性 函數值的 0 x 1 loga x 0 x 1 loga x loga x 0 x 1 loga x 0 x 1 變化情形 loga x 00 x 1 loga x 00 x 1 a 變化對圖象 在第一象限內, a 越大圖象越靠低； 在第四象限內, a 越大圖象越靠高 的影響 6反函數的概念 設函

23、數 y f x 的定義域為 A ,值域為 C ,從式子 y f x 中解出 x ,得式子 x y 如 第 15 頁,共 31 頁果對于 y 在 C 中的任何一個值,通過式子 x y , x 在 A 中都有唯獨確定的值和它對應, 那么式子 x y 表示 x 是 y 的函數,函數 x y 叫做函數 y f x 的反函數,記作 x 1 f y ,習慣上改寫成 y f 1x （ 7）反函數的求法 確定反函數的定義域,即原函數的值域；從原函數式 y f x 中反解出 x f 1 y ； 將 x 1 f y 改寫成 y f 1 x ,并注明反函數的定義域 （8）反函數的性質 1原函數 y f x 與反函數

24、 y f x 的圖象關于直線 y x 對稱 1函數 y f x 的定義域,值域分別是其反函數 y f x 的值域,定義域 1如 P a,b 在原函數 y f x 的圖象上,就 P b,a 在反函數 y f x 的圖象上 一般地,函數 y f x 要有反函數就它必需為單調函數 冪函數 （ 1）冪函數的定義 第 16 頁,共 31 頁一般地,函數 y x 叫做冪函數,其中 x 為自變量, 是常數 （ 2）冪函數的圖象 （ 3）冪函數的性質 圖象分布：冪函數圖象分布在第一,二,三象限,第四象限無圖象 冪函數是偶函數時,圖 象分布在第一,二象限 圖象關于 y 軸對稱 ；是奇函數時,圖象分布在第一,三象

25、限 圖象關于 原點對稱 ；是非奇非偶函數時,圖象只分布在第一象限 過定點：全部的冪函數在 0, 都有定義,并且圖象都通過點 1,1 單調性：假如 0 ,就冪函數的圖象過原點,并且在 0, 上為增函數假如 0 ,就冪 函數的圖象在 0, 上為減函數,在第一象限內,圖象無限接近 x 軸與 y 軸 奇偶性：當 為奇數時,冪函數為奇函數,當 為偶數時,冪函數為偶函數當 q（其 pqp中 p,q 互質, p 和 q Z ）,如 p 為奇數 q 為奇數時,就 y x 是奇函數,如 p 為奇數 q 為偶數 q q時,就 y x p 是偶函數,如 p 為偶數 q 為奇數時,就 y x p 是非奇非偶函數 第

26、17 頁,共 31 頁圖象特點：冪函數 y x , x 0, ,當 1 時,如 0 x 1,其圖象在直線 y x 下方,x 1 ,其圖象在直線 y x 上方,當 1 時,如 0 x 1,其圖象在直線 y x 上方,如 x 1 , 如 其圖象在直線 y x 下方 補充學問二次函數 （ 1）二次函數解析式的三種形式 一般式： f x ax2bx ca 0 0 頂點式： f x ax 2 h ka 0 兩根式： f x ax x1 x x2 a （ 2）求二次函數解析式的方法 已知三個點坐標時,宜用一般式 已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時,常使用頂點式 如已知拋物線與 x 軸

27、有兩個交點,且橫線坐標已知時,選用兩根式求 f x 更便利 （ 3）二次函數圖象的性質 二次函數 f x ax 2bx ca 0 的圖象是一條拋物線,對稱軸方程為 x b, 頂點坐標是 2a 22 a b , 4ac b 4a 當 a 0 時,拋物線開口向上,函數在 , b 上遞減,在 b, 上遞增,當 x b2 a 2a 2a 時, fmin x 4ac b 2 ；當 a 0 時,拋物線開口向下,函數在 , b 上遞增,在 4a 2 a 2 b, 上遞減,當 x b 時, f max x 4ac b 2a 2a 4 a 2 2二次函數 f x ax bx ca 0 當 b 4ac 0 時,圖

28、象與 x 軸有兩個交點 M1x1,0,M2x2,0,|M1M2| | x1x2 | |a| 第 18 頁,共 31 頁（ 4）一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容,這部分學問在中學代數中雖有所涉及,但 尚不夠系統和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定 理）的運用,下面結合二次函數圖象的性質,系統地來分析一元二次方程實根的分布 2設一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的兩實根為 x , x ,且 x x 令 2 f x ax bx c ,從以下四個方面來分析此類問題： 開口方向： a 對稱軸位置： x

29、 b2a 判別式： 端點函數值符號 kx1x2f k .y x a0 x k x1 0y x bx 0 2a k x1 O x2 O x2 b.f k a 0 2a x1x2k a0y x f k 0ax1 y x bx 2a .x1 O x2 O x2 k k x x1kx2b0.f k 02a afk 0 第 19 頁,共 31 頁x1 O y .a0 x x1 y .f k 0 x k x2 0O k x2 f k a0k1x1x2k2y a0y x bx 2a .f k1 0f k2 0.x2 k 2 O k1 x1 x2 k 2 x O k1 x1 x b.f k1 00.f k2

30、0afk 1fk 2 0,并同時考慮 2a 有且僅有一個根 x1（或 x2 ）中意 k1 x1（或 x2）k2 fk1 =0 或 fk 2=0 這兩種情形是否也符合 y .f k1 .a0 x O y f k1 0 x 0 O x1 k 2 x2 0 x1 .x 2 k 2 k1 k1 .f k 2 f k2 a00k1x1k2p1x 2p2此結論可直接由推出 （ 5）二次函數 f x 2 ax bx ca 0 在閉區間 p, q 上的最值 p q q ,就 設 f x 在區間 p, q 上的最大值為 M ,最小值為 m ,令 x0 1 2（）當0 時（開口向上） 如 p bq ,就 m f

31、b 2 a 如 b 2a a bp ,就 m f p 如 2a 2a mf q 第 20 頁,共 31 頁如 bq f f q p f f f p p f f b 2a q f pb 2a f f b 2a q f b 2 a x0 ,就 Mx0 ,就 M2a f f x0q gf p x0 g f f b 2a f q pb 2a 當 a 0 時開口向下 如 b 2ap ,就 M f p 如 pb 2a q ,就 Mf b 2a q ff b 2a q ,就 M f q f 如 b 2a f b 2a b 2a f f p p 如 bx0 f f p f q q b 2a x0 ,就 m ,

32、就 m f q f p 2a f f b 2a f f b 2a x0 g q p x0 gf f q p 第 21 頁,共 31 頁第三章 函數的應用 一,方程的根與函數的零點 1 ,函數零點的概念：對于函數 f y f x x D ,把使 f x 0 成立的實數 x 叫做函數 x 的零點就是方程 f x 0 實數根,亦即函數 y f x 的 y f x x D 的零點； 2,函數零點的意義：函數 y 圖象與 x 軸交點的橫坐標；即： 方程 f x 0 有實數根 函數 y f x 的圖象與 x 軸有交點 函數 y f x 有零點 3,函數零點的求法： 求函數 y f x 的零點： y f x

33、 的圖象聯系起來 1（代數法）求方程 f x 0 的實數根； 2（幾何法）對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數 并利用函數的性質找出零點 4,二次函數的零點： 二次函數 y 2 ax bx ca 0 x 軸有兩個交點, 2 ）,方程 ax bx c 0 有兩不等實根,二次函數的圖象與 二次函數有兩個零點 ）,方程 ax 2bx c 0 有兩相等實根 （二重根）,二次函數的圖象與 x 軸有一 個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點 ）,方程 ax2bx c 0 無實根,二次函數的圖象與 x 軸無交點,二次函數無 零點 第 22 頁,共 31 頁高中數學 必修 4 學問點 第一章 三角函數

34、正角 : 按逆時針方向旋轉形成的角 1,任意角 負角 : 按順時針方向旋轉形成的角 零角: 不作任何旋轉形成的角 2,角 的頂點與原點重合,角的始邊與 x 軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,就稱 為 第幾象限角 第一象限角的集合為 o k 360 o k 360 o 90 , k r, 其次象限角的集合為 o k 360 o 90k 360o180o, k 第三象限角的集合為 o k 360 o 180 k o 360 o 270 , k 第四象限角的集合為 k 360o270ok 360o360o, k 終邊在 x 軸上的角的集合為 k 180o ,k 終邊在 y 軸上的角的集合為 k 1

35、80o90 o ,k 終邊在坐標軸上的角的集合為 o k 90 , k 3,與角 終邊相同的角的集合為 o k 360 , k 4,長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度 所對弧的長為 l ,就角 的弧度數的確定值是 l 5,半徑為 r 的圓的圓心角 r6,弧度制與角度制的換算公式： 2o o360 , 1 , 1 180 180 oo 7,如扇形的圓心角為 為弧度制 ,半徑為 ,弧長為 l ,周長為 C ,面積為 S ,就 l C2r l , S 1 lr 2 1r2 2第 23 頁,共 31 頁8 ,設 是一個任意大小的角, 的終邊上任意一點 的坐標是 x, y ,它與原點的距離是

36、y rr2 x 2 y 0 ,就 sin y , cos r x , tan r y x 0 x P T 9,三角函數在各象限的符號：第一象限全為正,其次象限正弦為正, 第三象限正切為正,第四象限余弦為正 O MA x 10 ,三角函數線： sin , cos , tan 2 ,cos 12 sin ； 11 , 角 三 角 函 數 的 基 本 關 系 ： 1 2 sin 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2sin tan sin tan cos ,cos sin cos tan 12 ,函數的誘導公式： 1 sin 2k sin , cos 2k cos , tan 2k tan

37、k 2 sin sin , cos cos , tan tan 3 sin sin , cos cos , tan tan 4 sin sin , cos cos , tan tan 口訣：函數名稱不變,符號看象限 5 sin 2cos , cos 2sin 6 sin 2cos , cos 2sin 口訣：正弦與余弦互換,符號看象限 13 ,的圖象上全部點向左 （右）平移 個單位長度, 得到函數 y sin x 的圖象； 再將函 數 y sin x 的圖象上全部點的橫坐標伸長（縮短）到原先的 1 倍（縱坐標不變）,得到函 數 y sin x 的圖象；再將函數 y sin x 的圖象上全部點的

38、縱坐標伸長（縮短）到 原先的 倍（橫坐標不變）,得到函數 y sin x 的圖象 第 24 頁,共 31 頁數 y sin x 的圖象上全部點的橫坐標伸長（縮短）到原先的 1 倍（縱坐標不變）,得到函數 y sin x 的圖象； 再將函數 y sin x 的圖象上全部點向左 （右）平移 個單位長度, 得到函 數 y sin x 的圖象；再將函數 y sin x 的圖象上全部點的縱坐標伸長（縮短）到 原先的 倍（橫坐標不變）,得到函數 y sin x 的圖象 14 ,函數 y sin x 0, 0 的性質： 振幅： ；周期： 2；頻率： f 1；相位： x ；初相： 2函數 y sin x ,當

39、 x x1 時,取得最小值為 ymin ；當 x x2 時,取得最大值為 ymax , 就 1 ymax ymin , 1 ymax ymin , x2 x1 x1 x2 2 2 215 ,正弦函數,余弦函數和正切函數的圖象與性質： 性 質 函數 y sin x y cosx y tan x 圖象 定義域 RRx x k 2, k 值域 1,1 k 當 x 1,1 R當 x 2k 22k k 時, 最值 時 , ymax 1； 當 ymax 1 ；當 x 2k 既無最大值也無最小值 x 2 k 21 k 時, ymin 1 k 時, ymin 第 25 頁,共 31 頁周期性 22奇函數 奇偶

40、性 奇函數 偶函數 單調性 在 2k 2, 2k 2在 2k ,2 k k 在 k 2, k 2k 上是增函數；在 上 是 增 函 數 ； 在 對稱性 2k 2, 2k 32k ,2 k k 上是增函數 2k 上是減函數 k 上是減函數 對稱中心 k ,0 k 對稱中心 k ,0 k 對 稱 中 心 對 稱 軸 k 2,0 k 2x k 2k 對稱軸 x k k 無對稱軸 其次章 平面對量 16 ,向量：既有大小,又有方向的量 有向線段的三要素：起點,方向,長度 單位向量：長度等于 1 個單位的向量 數量：只有大小,沒有方向的量 零向量：長度為 0 的向量 平行向量（共線向量） ：方向相同或相

41、反的非零向量零向量與任一向量平行 相等向量： 長度相等且方向相同的向量 17 ,向量加法運算： 三角形法就的特點：首尾相連 平行四邊形法就的特點：共起點 三角形不等式： ra r b ra r b ra r b 第 26 頁,共 31 頁運算性質：交換律： a rr b r b a ； rr 0 ra r a y2 結合律： ra r b rc ra r b rc r； a r 0 坐標運算：設 a rr x1 , y1 ,b r x2 , y2 ,就 a r b x1 x2 , y1 18 ,向量減法運算： 三角形法就的特點：共起點,連終點,方向指向被減向量 r 坐標運算：設 a x1 ,

42、y1 r,b r x2 , y2 ,就 a r b x1 x2 , y1 y2 設 , 兩點的坐標分別為 x1 , y1 , x2 , y2 uuur ,就 x1 x2 , y1 y2 19 ,向量數乘運算： r r 實數 與向量 a 的積是一個向量的運算叫做向量的數乘,記作 a ra ra ； 當 0 時, a 的方向與 a 的方向相同；當 r r 0 時, a 的方向 r a 的方向相反；當 r 0 時, 與 r ra 0 運算律： a r a ； r a r a r a ； r ra b r ra b r坐標運算：設 a r x, y ,就 a r x, y x, y 20 ,向量共線定

43、理：向量 a a r r 0 r與 b 共線,當且僅當有唯獨一個實數 r,使 b ra r設 a r x1 , y1 ,b rx2 , y2 ,其中 b r r0 ,就當且僅當 x1 y2 x2 y1 0 時,向量 a, b r r rb 0 共線 rur uur21 ,平面對量基本定理： 假如 e1 , e2 是同一平面內的兩個不共線向量, 那么對于這一平面內的 任意向量 a ,有且只有一對實數 r1 , 2 ,使 a r 1e1 ur 2 e2 uur 22 ,分點坐標公式：設點 是線段 1 2 上的一點, 1 , 2 的坐標分別是 x1, y1 , x2 , y2 ,當 uuur 1 u

44、uur 2 時,點 的坐標是 x x 2 , y 1 y 2（當 1 時,就為中點公1 1 式；） 第 27 頁,共 31 頁23 ,平面對量的數量積： a b r ra b cos r rra r0, b r0,0 r o180o零向量與任一向量的數量積為 0 性質：設 a 和 b 都是非零向量,就 a r r rb r ra b r0 當 a 與 b 同向時, r r ra b ra b r r； 當 a 與 b 反向時, r r ra b r ra b r； a r ra a r 2 ra 2或 a r a a rr ra b r ra b r 運算律： a b r rb ra ； ra

45、 r b ra b r ra r b r； a r b rc r a c r r b rc r坐標運算：設兩個非零向量 ra x1 , y1 , b rx2, y2 ,就 a rb rx1x2 y1 y2 如 a r x, y ,就 ra 2x 2y ,或 2 ra x 2y 2設 a rx1 , y1 , b rx2 , y2 ,就 a rb rx1x2 y1 y2 0 設 a , b 都是非零向量, r r ra x1, y1 , b rx2 , y2 , 是 a 與 b 的夾角, r r就 cos ra ra rb b rx 2 x1 x2 y 2 y1 y2 x 22y 2 第 28 頁,共 31 頁第三章 三角恒等變換 24 ,兩角和與差的正弦,余弦和正切公式： cos cos cos sin sin ； cos cos cos sin sin ； sin sin cos cos sin ； sin