1、精品文檔2221、（I）請你根據中的面積寫出它所能說明的乘法公式（a+b）=a+2ab+b . （II）如圖（2）所示是2002年8月20日在北京召開的國際數學家大會的會標.它是由四個 全等的如圖（1）所示的直角三角形（每個直角三角形兩直角邊分別是a和b,斜邊長為c）與 中間的小正方形拼成的一個大正方形.請你根據圖（2）中的面積寫出它所能說明的等式，并寫出推導過程.妥二考點：完全平方公式的幾何背景。專題：常規題型。分析（1）根據大正方形的面積等于被分成的四部分的面積的和進行解答；（2）先根據圖（2）表示出中間小正方形的邊長，然后根據大正方形的面積等于四個直角三角 形的面積加上中間小正方形的面積

2、列出等式，然后整理即可得解.2解答：解：（1）大正方形的面積為：（a+b）,22四個部分的面積的和為：a+2ab+b,222.能說明的乘法公式是：（a+b） =a+2ab+b； 222 =a+b. 2 （）它能說明的等式為：c a）,推導如下：中間小正方形的邊長為（b- .大正方形1的面積可表示為：巴22 ）, b - ac=4Xab+ （222，整理得，c=2ab+b - 2ab+a222即c=a+b.根據同 一個圖形的面積的不同表示相等進行列式本題考查了完全平方公式的幾何背景，點評：是解題 的關鍵.、用四個相同的長方形與一個小正方形無重疊、無縫隙地拼成一個大正方形的圖案（如圖）2222-

3、b a （1 ）若長方形的長為，寬為b，則小正方形面積為（a -）或（a2ab+b）；222 ; 2ab+b=aba 2 （）根據圖案，利用面積關系，你能得到一個等式為（-），每個長方形的面積為16）若這個大正方形邊長為（363,求小正方形的邊長.精品文檔.精品文檔考點：完全平方公式的幾何背景。）根據圖形先求出小正方形的邊長即可得到面積，或者先求出 大正方形的面積，然（1分析：后再減去四個長方形的面積；2）根據同一個小正方形的面積， 利用兩種不同的求法得出，應該相等即可得到等式；（3）代入等式計算求解即可.（），a-b 解答：解：（1）小正方形的邊長為：（2，-b）.面積為（a222，-2ab

4、+b）-4Xab= （a=小正 方形的面積=大正方形的面積-4X長方形的面積（a+b222 ； 2ab+b） b）或（a-.L小正方形面積 為：（a -）.小正方形的面積是同一個圖形的面積，（2222 ； -2ab+b-b） =a.（a2，- 4X63=256 - 252=4 （3）小正方形的面積為：16 . .L小正方形的邊長為2222222 2. 3 - 2ab+b； （）-2ab+ba-）； （2） （ab） =a）（故答案為：（1） a-b或（結本題考查了完全平方公式的幾何 解釋，根據同一個圖形的面積利用不同的方法求解，點評：果相等解答即可，難度不大.bcm 寬為acm某鎮正在建造的文

5、化廣場工地上，有兩種鋪設廣場地面的材料，一種是長為，3、）， 另一種是邊長為ccm的正方形地磚（如圖的矩形板材（如圖）（寫出所示的正方形地磚能拼出一個新的正方形？并寫出新正方形的面積）1用幾塊如圖（； 一個符合條件的答案即可）的大矩形，中間分別空的大正方形或如圖（2）用如圖所示的 四塊矩形板材鋪成如圖出一個小正方形和小矩形（即圖中陰影部分）；中陰影部分的面積； 和圖b請用含a、的代數式分別表示圖中陰影部分的面積哪個大？大多少？試比較圖 和圖：完全平方公式的幾何背景。考點）四塊正方形，即可拼成一個大的正方形；（分析：1精 品文檔.精品文檔（2）根據矩形以及正方形的面積公式即可表示，然后利用兩個的

6、差與0的大小關系即可判斷大 小關系.2 4c.）能四塊即可拼成一個邊長的2c的正方形，則面積是解答：解：（12 b）；的面積是：圖（a-（2） 2b），的面積是：a （a-圖 22222 0，-a-2b）=a2ab+b- a+2ab=b-（a - b） a （2 .-b） a （a - 2b）則：（a的面積較大.故圖 本題主要考查了 圖形面積的表示，比較兩個式子的大小關系可以利用求差的方法.點評：14、我們已經知道，利 用圖形面積可以解釋代數恒等式的正確性.如完全平方公式可以用圖的面積表示.22 ；）（a+b） （1（）根據圖2寫出一個代數恒等式2a+3ab+b=2a+b，并且滿1、n、（2）

7、其實圖形的面積也可以解釋不等式的正確性.如已知正數a、bc和m2請你畫 的正確性.al+bm+cn足a+m=b+n=c+1=k.試構造邊長為k的正方形，利用其來說明V k出圖形，旦._旦._baa bb旦并簡單解釋.圖1穿 考點：完全平方公式的幾何背景；多項式乘多項式。專題：幾何圖形問題。分析:本題根據幾何圖形來進行代數恒等式的推導，要注意圖形各部分面積和=整個圖形的面積.22 ）, （2a+b） （a+b12a1解答：解：（）圖2的面積為：+3ab+b=圖的面積為：22 ）. a+b （.L可得：2a+3ab+b=2a+b）（是圖中三個矩形的面積和.（2）根據圖形al+bm+cn2是正方形的

8、面積.大小關系顯而易見.k而 11關系顯而易見.k而 11b精品文檔.精品文檔點評：利用幾何圖形推導代數恒等式，要注意幾何圖形整體面積與各部分面積的關系.5、（1）在下列橫線上用含有a, b的代數式表示相應圖形的面222 （ a+b） 2abba）通過拼圖，你發現前三個圖形的面積與第四個圖形面積之間有什么關系？請用數學式子2 （222 . = （a+b） 表達：a+2ab+b 2 ）的結論計算99+198+1的值.（3）利用（2考點：完全平方公式的幾何背景。：幾何圖形問題。專題）根據正方形、長方形面積公式即可解 答；（1分析：）前三個圖形的面積之和等于第四個正方形的面積；（2 ）借助于完全平方

9、公式 解答即可.（3222 ）；、（a+b1）a、2ab、b 解答：解：（222 a+b）； = （2） a+2ab+b （22 =10000. ） 99+198+1=（99+1） （32222 ； （a+b）. ） a故答案為：、2ab、b、（a+b注意掌握幾種特殊幾何圖形的點評：難面積表達式.干若與圖動手剪了如所易程度適中，本題主要考查了完全平方公式及其應用 示的正方形長方形紙片剛6、小同學易程度適中，本題主要考查了完全平方公式及其應用 示的正方形長方形紙片剛6、小同學觀察與操作：（1）他拼成如圖所示的正方形，根據四個小紙片的面積之和等于大正方形的面積，得到： 22222a+2ab+b=

10、（a+b），驗證了完全平方公式；即：多項式a+2ab+b分解因式后，其結果表示正 方形的長（a+b）與寬（a+b）兩個整式的積.22 （2）當他拼成如圖所示的矩形，由面積相等又得到：a+3ab+2b= （a+2b） （a+b），即：多22 項式a+3ab+2b分解因式后，其結果表示矩形的長（a+2b）與寬（a+b）兩個整式的積.問題解決：22（1）請你依照小剛的方法，利用拼圖分解因式：a+4ab+3b.（畫圖說明，并寫出其結果）22（2）試猜想面積是2a+5ab+3b的矩形，其長與寬分別是多少？（畫圖說明，并寫出其結果） 考點：完全平方公式的幾何背景。22分析（1）先將a+4ab+3b分解，然

11、后可得出矩形的邊長，從而利用等面積法可畫出圖形. 精品文檔.精品文檔從而利用等面積法可畫出圖形.22，所畫圖形如下：（2a+3b）的）2a+5ab+3b= （a+b）22 （從而利用等面積法可畫出圖形.22，所畫圖形如下：（2a+3b）的）2a+5ab+3b= （a+b）點評：本題考查運用正方形或長方形的面積計算推導相關的一些等式；運用圖形的面積計算的不 同方法得到多項式的因式分解.7、先閱讀后作答：我們已經知道，根據幾何圖形的面積關系可以說明完全平方公式，實際上還 有一些等式也可以用這種方式加以說明，例如：22 (2a+b) (a+b) =2a+3ab+b,就可以用圖1的面積關系來說明.22

12、根據圖 2 寫出一個等式：(a+2b) (2a+b) =2a+5ab+2b ；2，請你畫出一個相應的幾何圖形加以說明.)x+pqx+q () =x+ (p+q (已知等式：x+p): 完全平方公式的幾何背景。考點：作圖題；閱讀型。專題利用長方形的面積公式即可證明.分 析：的長方形即可，寬為畫一個長為x+px+q22 +5ab+2b=2a； ) (a+2b解答：解：()2a+b畫 出的圖形如下：精品文檔.精品文檔精品文檔(答案不唯一，只要畫圖正確即得分)應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式點評：本題 主要考查了完全平方公式的幾何背景，的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析，的矩形 ABCD2a，

13、寬為2b8、通常，我們把長方形和正方形統稱為矩形.如圖1，是一個長為的形狀拼成 一個正方形塊小長方形，然后按照圖2若把此矩形沿圖中的虛線用剪刀均分為4 . MNPQ2) (a+b (1)分別從整體和局部的角度出發，計算圖2中陰影部分的面積，可以得到等式2=4ab . -(a-b) 選不同.(相同，面積MNPQ (2)仔細觀察長方形ABCD與正方形，可以發現它們的周長”)”或“面積“填周長米的面積最大的矩形的面積是81米，籬笆圍成一個矩形養雞場，可以有許多不)根據上述發現，猜想結論：用總長為36 (32 .面積最大的矩形的面積是81米，考點：完全平方公式的幾何背景。專題：計算題。)整體上求出內部

14、的小正方形的邊長，然后 用大正方形的面積減去小正方形的面積(1分析：就是陰影部分的面積，從局部考慮，求出四 個小矩形的面積就是陰影部分的面積；1的面積大里面小正方形的面積考慮；)從圖2的面積比 圖(2)的結論，周長相等的情況下，正方形的面積比矩形的面積大，所以圍成的正2)根據(3 方形的面積最大，然后根據正方形進行計算即可.，a-b解答：解：(1)整體考慮：里面小正 方形的邊長為22，b) a+b)-(a-.陰影部分的面積=(，局部考慮：陰影部分的面積=4ab22=4ab； a - b).(a+b)-(,2a+2b) =4a+4b2 ()圖 1 周長為：2 (，面積為：4ab =4a+4b,

15、4 (a+b) 2 圖周長為：22 ,34aba (-b) =4ab+a+b面積為()a=b當且僅當時取等號；.周長相同，面積不相同； 精品文檔.精品文檔(3)根據(2)的結論，圍成正方形時面積最大，此時，邊長為36：4=9米，22 .面積=9=81 米 22 . (3) 81b) =4ab； (2)周長，面積；1 故答案為：()(a+b)-(a -根據 面積找出里面的規律是解結合圖形的特點，點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，題的 關鍵.的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后2n是一個長為2m、寬為9、如mm圖1上的形狀拼成一個正方形.2按圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于多

16、少？ (1)你認為圖 n m圖1請用兩種不同的方法求圖14中陰影部分的面積.2方法 1：(m+n)- 4mn 2方法 2：(m - n)22 (3)觀察圖2你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎？代數式：(m+n)，(m-n)，22mn.(m+n) = (m - n) +4mn 2 (4)根據(3)題中的等量關系，解決如下問題：若a+b=7，ab=5，則(a-b) =29 . 考點：完全平方公式的幾何背景。專題：圖表型。分析(1)觀察圖2,陰影部分的邊長就是矩形的長與寬的差，即(m-n)；(2)本題可以直接求陰影部分正方形的邊長，計算面積；也可以用正方形的面積減去四個小長 方形的面積，得陰影部

17、分的面積；由(2)即可得出三個代數式之間的等量關系；2 (4)將a+b=7, ab=5,代入三個代數式之間的等量關系即可求出(a-b)的值.解答：解：(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于(m-n)；2 ； - 2m?2nm+n (2)方法一、陰影部分的面積=()2 . nm -) =m方法二、陰影部分的邊長 -n；故陰影部分的面積(22 ) -()(3()三個代數式之間的等量關系是：m+n=mn+4mn；精品文檔.精品文檔22 -4ab=29. b) = (a+b) (4) a - 2222 29. - n)+4mn； m+n - n)；() = (m(故答案為：(m+n)-4mn、m如何

18、準確地確定三個代數式之間的等量關系是解題點評：本題主要考查我們的公式變 形能力，的關鍵.、我們已經知道，完全平方公式可以用幾何圖形的面積來說明，實際上還有許 多代數的恒1022 +3ab+b就可以用圖1所示的面積來說明.等式也可以用圖形來說明，例如：(2a+b)(a+b) =2a22 .) (a+2b) (2a+b=2a+5ab+2b2 (1)請寫出圖所說明的代數恒等式:考點：完全平方公式的幾何背景。ab泌屈考點：完全平方公式的幾何背景。ab泌屈a2圖122 .(形面積為：a+5ab+6b3)專題：數形結合。分析(1)本題根據幾何圖形來進行代數恒等式的推導，要注意圖形各部分面積和=整個圖形的

19、面積這樣可以得到滿足條件的等式.(2)可使長方形的長為(a+2b)，寬為(a+3b)這樣可以得到滿足條件的等式.22解答：解：(1) (a+2b) (2a+b) =2a+5ab+2b.(2)長方形的邊長分別為(a+2b)及(a+3b)點評：本題考查完全平方公式的幾何背景，難度不大，注意利用幾何圖形推導代數恒等式，要注 意幾何圖形整體面積與各部分面積的關系.11、如圖，大正方形是由兩個小正方形和兩個長方形拼成的.請你用兩個不同形式的代數式表示這個大正方形的面積；22 (2)由(1)可得到關于a、b的等式，利用得到的這個等式計算：4.323+2 X4.323 X0.677+0.677.精品文檔.精

20、品文檔考點：完全平方公式的幾何背景。專題：圖表型。分析(1)根據正方形的面積公式利用大正方形的邊長解答，兩個陰影部分長方形的面積加上兩 個正方形的面積進行表示；根據大正方形的面積相等可得關于a、b的等式，利用等式代入數據進行計算即可求解.2 , a+b)解：(1)大正方形的面積為：(解答：22 ； a+2ab+b四部分的面積的和為：222 , =a+2ab+b (2)等式為:(a+b) 22 +2X4.323X0.677+0.677A4.3232 4.323+0.677)= (2=5 4 分)=25.(根據同一個圖形的面積的不同表示方法得到等式點評：本題考查了完全平方公式的幾 何背景，是解題的

21、關鍵.，現用這些長方形可以拼所示的長方形和正方形卡片(代號為1,11, III) 12、有多張如圖222 )的正方形，以驗證公式(a+b=a+2ab+b.成如圖22) +5ab+2b= (2a+b 請你選擇圖中相應種類的卡片若干張，拼成一個長方形，用以驗證：2a標上每一張卡片的代號.，并仿照圖？號.，并仿照圖？(a+2b)宓考點：完全平方公式的幾何背景。分析：等式右邊(2a+b)?(a+2b)可理解為要做一個幾何圖形它的長和寬分別是(2a+b)(a+2b)， 而左邊代表的是分別要用的幾個不同小圖形的個數.b b)=(2a+b? (a+2b+5ab+2b 解：如圖所示：解答：2a“點評：本題考查

22、的是對完全平方公式的理解應用程度，用幾何圖形推導代數恒等式時要注意整體 圖形面積與部分圖形面積之間的關系.13、如圖，求兩個圖形中草坪的面積，比較它們的大小，你發現了什么？精品文檔.精品文檔:完全平方公式的幾何背景。考點222.而圖）20-a-20aX2+a,而圖的面積可以表示為（圖 分析：的面積可以表示為20 一的面積通過切割法可以變為圖二的模樣，所以他們的面積相 等.22 , - 20aX2+a 解答：解：圖202 . a）圖（20 - 222 . a） = （20 -發現 20 - 20aX2+a 要求我們具備一定的平面幾何點評:這里是考查我們從幾何意義上去證明推導完全平方公式，形 想象

23、能力去結合幾何面積去推出完全平方公式.222時，了解了一下它的幾何背景，即通過圖來 =a+2ab+b14、我們在學習完全平方公式（a+b） 2,你能將知識進行遷移，從幾）”計算：（a+b+c 說明上式成立.在習題中我們又遇到了題目“2 ）嗎？何背景說明（大致畫出圖形即可）并計算（a+b+c 二一.成：:完全平方公式的幾何背景。考點2的幾）a+b+c）的正方形，畫出符合（a+b+c分析：結合原 題中的幾何背景，添加為邊長為（何背景，2222 . +c+2ab+2ac+2bc說明（a+b+c） =a+b22 ），） 的幾何背景如圖，整體的面積為：（a+b+c （解答：解：a+b+c2222，+b+

24、c+2ab+2ac+2bc）用各部分的面積之和表示為：（a+b+c=a2222 +2ab+2ac+2bc. +c 所以（a+b+c） =a+b一.、“-倍，就構成了本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2點評：一 個完全平方式.用圖表法求解，一般用整體的面積等于各部分的面積之和表示.222） 10ba=2ab+b）、 還記得完全平方公式（15a+b=a嗎？當，時，完全平方公式可以用圖（精品文檔.精品文檔2（1）對圖（2）進行適當的分割，猜想出（a+b+c）的展開形式，并給出其推導過程；（2）通過求解

25、本題，你有哪些收獲？考點：完全平方公式的幾何背景。專題：探究型。分析（1）畫出邊長為a+b+c的正方形，表示出整體的面積和各部分的面積之和，讓它們相等即 可（2）可得到多個數和的平方的簡便求法.2222 解答：解：（1） （a+b+c） =a+b+c+2ab+2ac+2bc.圖中正方形的邊長為：a+b+c,2那么面積可表示為：（a+b+c）,222各部分的面積之和表示為：a+b+c+2ab+2ac+2bc,2222.（ a+b+c） =a+b+c+2ab+2ac+2bc.（2）任幾個數的和的平方，等于這幾個數的平方和加上它們兩兩乘積的2點評：采用圖表法求解是數學中常用的思路.16、如圖是用四張

26、相同的長方形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫考點：完全平方公式的幾何背景。專題：開放型。分析：空白部分為一個正方形，找到邊長，表示出面積；也可用大正方形的面積減去4個矩形的 面積表示，然后讓這兩個面積相等即可.2解答：解：空白部分為正方形，邊長為：（a-b），面積為：（a-b）.精品文檔.精品文檔2空白部分也可以用大正方形的面積減去4個矩形的面積表示：（a+b）-4ab.22.（a - b） = （a+b）- 4ab.點評：本題考查了完全平方公式的幾何意義，用不同的方法表示相應的面積是解題的關鍵.17、（1）圖（1）是一個長為2m，寬為2n的矩形，把此矩形沿圖中虛線用剪

27、刀均分為四個小長 方形，然后按圖（2）的形狀拼成一個正方形，請問：這兩個圖形的什么量不變所得的正方22=m） m -nn形的面積比原矩形的面積多出的陰影部分的面積用含m，的代數式可表示為（2 ； - 2mn+n 時，面積最大；長和寬相等（2）由（1）的探索可得出的結論是：在周長一定的矩形中，則當邊長為多少時，該圖形的面積最大？最大面積是多少？ 24cm （3）若矩形的周長為爪己 考點：完全平方公式的幾何背景。專題：探究型。2分析：觀察圖形，可得圖中陰影正方形的邊長=(m-n),因此面積可表示為(m-n).222解答：解：(1)根據面積公式可得：周長不變，(m-n) =m-2mn+n；(2)長和

28、寬相等；2 (3)當邊長為6cm時，最大面積為36cm.點評：本題考查對完全平方公式幾何意義的理解應用能力，對幾何圖形的整體分析，對完全平方 公式的靈活應用變形整理是解此題的關鍵.18、如圖，已知大正方形的邊長為a+b+c，利用圖形的面積關系可得：(a+b+c)2222=a+b+c+2ab+2bc+2ac.當大正方形的邊長為a+b+c+d時，利用圖形的面積關系可得：22222(a+b+c+d) =a+b+c+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd .一般地，n 個數的和的平方等于這 n 個數的 平方和加上它們兩兩乘積的2倍.考點：完全平方公式的幾何背景；完全平方公式。222分析(1

29、)把式子a+b+c=6兩邊平方后，再把a+b+c=14代入求ab+bc+ac的值； 精品文檔.精品文檔(2)利用(1)的計算過程來計算.解答：解：(1)式子a+b+c=6兩邊平方得，2222 +b+c+2ab+2bc+2ac=36，(a+b+c) =a222 14)2=11； a+b+c) ：2= (36-.ab+bc+ac=36-( ，-1+3+5=1 (2)V- 4 - 2222222 +3+5+2m=55+2m=1，-.兩邊平方后得，(-4 - 21+3+5)=4+2+1 .- 2755.m= (1-)：2= - 54：2=222個數的和的平方等于的拓展延伸：一般地，n=a 點評：本題是

30、完全平方公式(a+b) +2ab+b 2倍.這n個數的平方和加上它們兩兩乘積的的長方 形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，2n、寬為19、如圖1，是一個長為2m的形狀 拼成一個正方形.然后按圖22 m1)圖2中陰影部分的面積為(-n) ； ( 22m(mn之間的等量關系式：m(mn之間的等量關系式：m-n)、(2)觀察圖2,請你寫出三個代數式(m+n)(22；)+4mn= (m+n)- +4mn= (m+n)- n_x+y=6, xy=2.75，貝U x - y=5 .-(3)根據(2)中的結論，若)m+n)()有許多代數恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖(43，它表示7(2m+n222

31、2 =m) +4mn+3n. =2m+3mn+n .試畫出一個幾何圖形，使它的面積能考點：完全平方公式的幾何背景。專題：常規題型。分析(1)可直接用正方形的面積公式得到.數量掌握完全平方公式，并掌握和與差的區別.此題可參照第二題.可參照圖3進行畫圖.2解答：解：(1) (m - n) (3 分)22 (2) (m - n) +4mn= (m+n) (3 分)5 (3 分)答案不唯一：(4分)例如：精品文檔.用不同的解題關鍵是認真觀察題中給出的圖示，點評：本題考查了完全平方公式的背景知識，形 式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進行變式.222 . a+2ab+b= (a+b) 20、利用右

32、圖 可以證明等式：222,從a+b，又可以表示為：()(1)圖中大正方形的面積既可以表示為：a+2ab+b而證明222 = (a+b)； a+2ab+b2 a+b+c).(在圖上標注必要的字母)(2)請畫出一個圖形來計算:考點：完全平方公式的幾何背景。專題：數形結合。）圖中大正方形的面積可以用正方形的面積公式來求，也可把正方形分成四個小圖（1分析：222 2ab+b；）=a - b形分別求出面積再相加，從而得出（a - 2222 成立.+b+c+2ab+2bc+2ac=a （2）直接作圖即可得出（a+b+c） 2 ； b） aa - b）的正方形的面積可以直接由正方形面積公式表示為（-解：解答

33、（1）邊長為（的bb的長方形面積，加上邊長為2個長為a,寬為的正方形的面積，減去又可以用邊長為a正方形的面積，22在 b -ga.2ab+b；a.2ab+b；的式子表示為a - b結果用含a，222 ）、（a+b故答案為a+2ab+b混abac北beatbea+b+c，（2）已知大正方形的邊長為2222 . +b+c+2ab+2bc+2ac）利用圖形的面積關系可得： （a+b+c=a222） a+b+c2ab+b=aba點評：本題考查了完全平方公式的幾何意義，是對（-）-和（精 品文檔.精品文檔2222=a+b+c+2ab+2bc+2ac 的幾何證明.21、如圖是由兩個大小不同的正方形與兩個全

34、等的長方形拼成的一個大正方形，請用兩種不同的 方法表示圖中空白正方形的面積；222由此驗證了乘法公式：（a - b） =a - 2ab+b . 考點：完全平方公式的幾何背景。專題：圖表型。分析：由于空白正方形的邊長為（a-b），長方形的長為（a-b），寬為b，利用面積的割補法即 可得到完全平方公式的形式.解答：解：空白正方形的邊長為（a-b），長方形的長為（a-b），寬為b，2， - b）第一種方法得空白正方形面積=（a2222， - 2ab+b） b - b=a第一種方法得空白正方形 面積=a - 2 （a - b222 2ab+b -.- b） =a.（a222 2ab+b. b） =a

35、-故答案為:（a-此題主要考查 了完全平方公式的幾何背景，解題的關鍵是會利用面積的割補法得到公式.點評：2b的長方形， 沿圖中虛線剪開，可分成四塊小長方形.是一個長為2a，寬為22、圖1的長方形面積；）求出 圖（11的正方形.利用陰影部分面積的不同表示方法，直接寫出2 （2）將四塊小長方形拼成一 個圖22之間的等量關系；、aba、(-b)代數式(a+b),未被覆蓋的部分用陰影表)把四塊小長 方形不重疊地放在一個長方形的內部(如圖3 (3的代數式表示).、示.求兩塊陰影部分的周長和(用含mn 攵-M名 考點：完全平方公式的幾何背景；列代數式；矩形的性質；正方形的性質。分析(1)長方形的面積為長X

36、寬，從而得解.可以直接求出小正方形的面積，可以用大正方形的面積減去周圍四個小長方形的面積.求出上面部分陰影的周長和下面部分陰影的周長，從而求出和.解答：解：(1) (a+a) (b+b) =4ab (3 分)22 分)()-()(2() a+b=ab+4ab6精品文檔.精品文檔(3)上面部分的陰影周長為：2 (n - a+m - a)(7分)下面部分的陰影周長為：2 (m - 2b+n - 2b)(8分)總周長為：4m+4n - 4a - 8b (9分)又 a+2b=m (11 分)總周長為4n (12分)點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，列代數式和矩形的性質和正方形的性質等知識點.23

37、、如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線BD上一點，過P點作直線MN和EF，分別平行 于AB、BC，交兩組對邊于點M、N、E、F，則四邊形PFDN、PEBM都是正方形，四邊形PEAN、PFDN的邊長為a，正方形bPMCF都是矩形，設正方形PEBM的邊長為(aVb).用代數式分別表示正方形PEBM和正方形PFDN的面積之和以及矩形PEAN與矩形PMCF的 面積之和，并判定兩個面積之和的大小.當點P在什么位置時，它們的面積之和相等？用含a、b的代數式表示S. emd考點：完全平方公式的幾何背景。專題：計算題。分析(1)根據正方形及矩形的面積公式即可得出答案；當a=b時面積相等；根據直角三角形面積

38、公式即可求解.22解答：解：(1)正方形PEBM和正方形PFDN的面積之和為：a+b；矩形PEAN與矩形PMCF的 面積之和為：ab+ab=2ab；222a+b - 2ab=(a - b)0,.正方形PEBM和正方形PFDN的面積之和大于矩形PEAN與矩形PMCF 的面積之和；(2)當點P在中點時，它們的面積之和相等；2112 (a+b) S) = (a+b - b) (3EMD222 - =a+ab+babb - * *2 a=+ab. 點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，屬于基礎題，關鍵是圍繞圖形面積展開分析.24、動手操作： 的長方形，沿圖中的虛線剪開分成四個大小相等的長方形，2a是

39、一個長為如圖，寬為2b精品 文檔.精品文檔然后按照圖所示拼成一個正方形.提出問題：觀察圖，請用兩種不同的方法表示陰影部分的面積；22，ab之間的)，(a - b)出(2)請寫三個代數式(a+b一個等量關系.問題解決：根據上述(2)中得到的等量關系，解決下列問題：2的值.y) xy=3, 求：(x -已知：x+y=6 :完全平方公式的幾何背景。考點：幾何圖形問題。 專題個小長方形面積，第二種表示方法為：陰影部分41)第一種方法為：大正方形面積-分析:(正方形的面積；22 -ab)可求解.(2)利用(a+b)-4ab=(解答：提出問題：22 - b) (a+b - 4ab 或(a 解：(122 4

40、mn= (m - n) - (2) (m+n)問題解決：224xy - (x+y) x (3) (-y) = .，xy=3 Vx+y=62 . 9=25 .(x-y) =36 -找到所求的量的等解決問題的關鍵是讀懂題意，點評：本題考查了完全平方公 式的幾何背景.量關系.本題更需注意要根據所找到的規律做題.25、閱讀材料并解答問題: 22,可+3ab+ba+b) =2a)很多代數原理，可以用幾何模型來表示.例如：代數恒等式(2a+b ( 2 等圖形的面積表示.1以用圖或圖22 =2a2a+b)(所表示的代數恒等式：)請寫出圖(13 a+2b () +5ab+2b 精品文檔.精品文檔22 (2)試

41、畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：(a+b) (a+3b) =a+4ab+3b下列有幾張如圖所示的卡片，用它們拼一些新的圖形，驗證下列兩個公式:22222=4ab-(a)- b (=a - 2ab+b 2) (a+b) (1) a - b考點：完全平方公式的幾何背景。分析：(1)根據圖形的總面積等于各個部分的面積的和，即可寫出；根據圖形的總面積等于各個部分的面積的和，可以作一個一邊是a+b，另一邊是a+3b的矩形；同理即可作出圖形.b b bb22解答：解：（1）答案是：（a+2b） （2a+b） =2a+5ab+2b1 .)2 ( 3分)(3)每個圖點評：本題主要考查了乘法公式的幾何表示，

42、正確理解例題的意義：根據圖形的總面積等于各個 部分的面積的和，是解題的關鍵.26、在數學課的學習中，我們已經接觸了很多代數恒等式，知道可以用圖形的面積來解釋這22些代數恒等式.如圖可以解釋恒等式(2b) =4b；精品文檔.精品文檔 己2222 . a+b)(1)如圖可以解釋恒等式a+2ab+b=( 利用面積關系寫出一個b的長方形紙片圍成的正方形，)如圖是由4個長為a，寬為2 (2222=4abb) +4ab 或(a+b)-(a -代數恒等式： a+b) = (a - b) 22 .) = (a+b)- 4ab b 或(a- 都是正數，結果可b若長方形紙片的面積為1，且長比寬長3,求長方形的周長

43、(其中a、.保留根號)：完全平方公式的幾何背景；完全平 方式。考點)根據圖形面積可以得出公式；分析( 12222=4ab)-(a-b) b根據面積關系可以 得出公式(a+b) = (a -) +4ab 或(a+b(2 ) 22 4ab； a+b)-或(a - b)=(關系求出即可.a， b，長比寬長再利用長方形紙片的面積為13,得出2 ) (a+b，解答：解：(1) 222222 4ab -；-(a+b) a - b) =4ab 或(ab) = (a+b) (2)a+b) =a - b+4ab 或22，b) +4abaa+b得：()=(-由(2)22，(ab=1， a+b) =3+4X 1=1

44、3b=3 依題意得 a -， a .、b都是正數，0 .a+bLi3 a+b=.應從整體和部分兩方面來理解完全平方公點評：此 題考查了對完全平方公式幾何意義的理解，式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分 析.222 . =aa+b、27 (I)請你根據中的面積寫出它所能說明的乘法公式()+2ab+b 日在北京召開的國際數學家大會的會標.它是由四20820022(II)如圖()所示是年月，斜 邊長為a)所示的直角三角形(每個直角三角形兩直角邊分別是(個全等的如圖1b和)中的面 積寫出它所能說明的)與中間的小正方形拼成的一個大正方形.請你根據圖c(2等式，并寫 出推導過程.精品文檔.:常規題型。專題

45、）根據大正方形的面積等于被分成的四:常規題型。專題）根據大正方形的面積等于被分成的四部分的面積的和進行解答；分析（1）表示出中間小正方形的邊長，然后根據大正方形的面積等 于四個直角2）先根據圖（2三角形的面積加上中間小正方形的面積列出等式，然后整理即 可得解. 2 , a+b）解：（1）大正方形的面積為：（解答：22 , a+2ab+b四個部分的面積的和為： 222 ； =a+2ab+b.能說明的乘法公式是：（a+b）222 . =a+b （2）它能說明的等式為：c , a）推導如下：中間小正方形的邊長為（b- 大正方104形的面積可表示為：22 ）, （b - ac=4Xab+222 2ab

46、+a,整理得，c=2ab+b - 222 +b即c=a.根據同 一個圖形的面積的不同表示相等進行列式點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，是解題 的關鍵.、先閱讀后作答：我們已經知道，根據幾何圖形的面積關系可以說明完全平方公式，實 際2822,就可以用圖=2a+3ab+b （2a+b） a+b）上還有一些等式也可以用這種方式加以說明，例 如：）2a+b等寫根來系說明.據圖2出一個式（）（2b+a關面2的積0422 +5ab+2b. =2a:完全平方公式的幾何背景。考點再表示出每一再根據矩形的面積公式寫出等式的左邊，分析：根據數據表示出矩形的長與寬，小部分的矩形的面積， 然后根據面積相等即可寫

47、出等式.，2b+a）（解答：解：根據題意，大矩形的面積為：2a+b （） 精品文檔.精品文檔22又各部分的面積之和=2a+5ab+2b，22.等式為（ 2a+b）（2b+a）=2a+5ab+2b.22故答案為：（2a+b） （2b+a） =2a+5ab+2b.點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出 面積，然后再根據同一個圖形的面積相等即可解答.29、用四個相同的長方形與一個小正方形無重疊、無縫隙地拼成一個大正方形的圖案（如圖）222 ） ； -b）或（a-2ab+b （1）若長方形的長為a，寬為b，則小正方形面積為（a 222 ； -b） =a -

48、 2ab+b）根據圖案，利用面積關系，你能得到一個等式為（2 S63,求小正方形的邊長.（能得到一個等式為（2 S個大正方形邊長為16,每個長方形的面積為 考點：完全平方公式的幾何背景。分析（1）根據圖形先求出小正方形的邊長即可得到面積，或者先求出大正方形的面積，然后再減去四個長方形的面積；（2）根據同一個小正方形的面積，利用兩種不同的求法得出，應該相等即可得到等式；（3）代入等式計算求解即可.解答：解：（1）小正方形的邊長為：（a-b），2.面積為（a - b），222小正方形的面積=大正方形的面積-4X長方形的面積=（a+b）-4Xab= （a - 2ab+b），222.小正方形面積為：（

49、a-b）或（a-2ab+b）；（2）V小正方形的面積是同一個圖形的面積，222.（a - b） =a - 2ab+b； 2，- 252=4）小正方形的面積為：16 - 4X63=2563（ 2. .L小正方形的邊長為222222 . ）（322ab+bb）； （2 （a -） =a -；）-或（ba）（故答案為：1（-） a2ab+b結根據同一個圖形的面積利用不同的 方法求解，點評：本題考查了完全平方公式的幾何解釋，果相等解答即可，難度不大.，寬為、 某鎮正在建造的文化廣場工地上，有兩種鋪設廣場地面的材料，一種是長為acm30 ）的正方形 地磚（如圖，另一種是邊長為bcm的矩形板材（如圖）cc

50、m 精品文檔.（寫出所示的正方形地磚能拼出一個新的正方形？并寫出新正方形的面積用幾塊如圖（1） 一 個符合條件的答案即可）；的大矩形，中間分別空的大正方形或如圖）用如圖所示的四塊矩 形板材鋪成如圖（2出一個小正方形和小矩形（即圖中陰影部分）；中陰影部分的面積；b 的代數式分別表示圖和圖請用含a、中陰影部分的面積哪個大？大多少？試比較圖 和圖考點：完全平方公式的幾何背景。1）四塊正方形，即可拼成一個大的正方形；分析（的 大小關系即可判斷）根據矩形以及正方形的面積公式即可表示，然后利用兩個的差與0 （2大小 關系.2 4c.）能四塊即可拼成一個邊長的2c的正方形，則面積是解答：解：（12 b）；圖

51、的面積是：（a-） （2 2b），的面積是：a （a -圖 22222 0，2ab+b - a+2ab=b） b -a （a-2b） =a-（a-2 ）. （a - 2b貝U： （a - b）a的面積較大.故圖 本題主要考查了圖 形面積的表示，比較兩個式子的大小關系可以利用求差的方法.點評：的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然2n剪刀平均分成四塊小長方形，然2n是一個長為2m,寬為12、圖的形狀拼成一個正方形.后2 ； n中的陰影部分的面積為(m -) 1 ()圖222+4mn=m - n)之間的等量關系是，)(m-n), mn (2) 觀察圖，三個代數式(m+n 2 ；)(m+

52、n ；- 5 ，則-(3)若x+y=6, xy=2.75x - y=5 ，你 能得到怎樣的代數恒等式呢？)觀察圖4 (22 =m+4mn+3n.) (m+n5 ()試畫出一個幾何圖形， 使它的面積能表示()m+3n :完全平方公式的幾何背景。考點1 (分析：)可直接用正方形的 面積公式得到.精品文檔.精品文檔數量掌握完全平方公式，并掌握和與差的區別.此題可參照第二題.可利用各部分面積和=長方形面積列出恒等式.可參照第四題畫圖.2解答：解：(1) (m - n) (3 分)22 (2) (m - n) +4mn= (m+n) (3 分)(3)5 (3 分)22 (3 分)(2m+n) =2m+3

53、mn+n (4) m+n) (4 分)(5)答案不唯一：例如: 點評:解題關鍵是認真觀察題中給出的圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式， 并能進行變式.13、閱讀材料并回答問題：22；)=2a+5ab+2b 3)所表示的代數恒等式：(2a+b) (a+2b (1)請寫出圖22(22 ；) =a+4ab+3b)試畫一個幾何圖形，使它的面積表示：2 (a+b) (a+3b (的代數恒等式，并畫出與它對應的幾何圖形.a, b (3)請仿照上述 方法另寫一個含有：完全平方公式的幾何背景。考點：閱讀型。專題=)中長方形的面積本題 考查用平面幾何圖形的面積來表示一些代數恒等式，如圖(3分析：

54、即，相加的小圖形面積個可 的，)寬X =(2a+b(a+2b)長方形面積還以把幾長 222222 . +b+ab+ab+ab+ab+ab+b=2a+5ab+2ba+a22 ； =2aa+2b) (1 解：解答()2a+b () +5ab+2b 精品文檔.精品文檔)(答案不唯一)；(222 (3)恒等式是(a+2b) (a+b) =a+3ab+2b，如圖所示.(答案不唯一)點評：本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個 完全平方式.注意積的2倍的符號，避免漏解.14(答案不唯一)點評：本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了

55、一個 完全平方式.注意積的2倍的符號，避免漏解.14、閱讀材料并解答問題：我們已經知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些代數等式也22可以用這種形式表示.例如：(2a+b) (a+b) =2a+3ab+b就可以用圖或圖等圖形的面積22 (1)請寫出圖所表示的等式:(a+2b)(2a+b)=2a+5ab+2b ；22 (2)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：(a+b) (a+3b) =a+4ab+3b(請仿照圖或圖在幾何圖形上標出有關數量).考點：完全平方公式的幾何背景。專題：閱讀型。分析：本題主要考查完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，根據圖形先用不同的形

56、式 表示圖形的面積，再由面積不變，列出等式即可.22解答：解：(1)(a+2b) (2a+b) =2a+5ab+2b；ahahFab(2)如圖所示.精品文檔.精品文檔點評：本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個 完全平方式.注意積的2倍的符號，避免漏解.25、(1)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示.用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；我們知道：同一個長方形的面積是確定的數值.22由此，你可以得出的一個等式為：(a+1) =a+2a+1 . 考點：完全平方公式的幾何背景；作圖一代數計算作圖。專題：閱讀型。分析

57、：根據長方形的面積公式=長乘以寬，長方形的長和寬都是a+1，可求出其面積.所拼成的 圖形的面積等于幾個長方形和正方形的面積之和，可以推導出完全平方公式.22解答：解：(1)長方形的面積=(a+1)X(a+1) = (a+1 )或a+2a+1，2疼(a+1) =a+2a+1；（2）如下圖， 精品文檔.2 a+b）；把該長方形視為一個邊長為a+b的正方形時，其面積為（的正方形，以及兩a和b該長 方形可視為四個長方形的拼圖.四個長方形指兩個邊長分別為22）（a+ba+2ab+b,由此，可推導 出個相同的小長方形（長和寬分別為a和b）.此時，其面積為222 +2ab+b. =a點評：解決本題 的關鍵是

58、根據面積公式來求.）示意圖，現準ba+b是校園內一塊邊長為的正方形土地（其中a 16、如圖，四邊形ABCD的小正方形花壇，其余的部分為空地留作道b備在這塊正方形土地的正 中修建一個邊長為a-路.）畫出花壇的示意圖，并寫出圖中各部分面積的表達式；（122. （a+b） -4ab） （2）用等式表示大，小正方形及空地的面積關系，（a-b=:完全平方公式的幾何背景。考點:完全平方公式的幾何背景。考點的正方形后， 作一個邊長為）如圖：（1解答：解：2） a+b4ab，寫出各個面積的表達式. a-b分析：在圖中 原正方形土地的面積是（留作道路的空地的面積是正中小正方形的面積是（a - b），2 ； 22

59、 4ab.22 4ab成立.a+bb （a -）=（）-本題通過數形結合得到：點評：型是長aACBA17、如圖，有、 三種不同型號的卡片若干，其中型是邊長為的正方形，B精品文檔.精品文檔為b，寬為a的矩形.C型是邊長為b的正方形.（1）請你選取相應型號和數量的卡片，在下圖中的網格中拼出（或鑲嵌）一個符合乘法公式222+2ab+b，這個乘法公式是（a+b） =a的圖形（要求三種型號的卡片都用上） 個卡片中拿掉一個卡片，176個，C型卡片10個，從這（2）現有A型卡片1個，B型卡片余下的卡片全用上，能拼出（或鑲嵌）一個矩形（或正方形）的都是哪CC些情況？請你通過運算說明理由.I I I I I I

60、 I考點：完全平方公式的幾何背景。專題：網格型。分析：本題考查對完全平方公式幾何意義的理解應用能力：22（1）中因為三種卡片的面積分別為a，ab，b，因此可向完全平方公式靠攏分析；（2）中可根據所拿出卡片的不同，分三種情況討論分析.222解答：解：（1）乘法公式是（a+b） =a+2ab+b，拼成乘法公式的圖形如圖所示.（2分）（2）從三種卡片中拿掉一個卡片，會出現三種情況：26ab+10b.2由得6ab+10b=2b （3a+5b）知用6個B型卡片，10個C型卡片，可拼成長為3a+5b，寬為2b或長為2 （3a+5b），寬為b的矩形.（6分）22 +6ab+9b.a222型卡片，可拼成邊C型