1、基于多新息最小二乘算法的非線性系統(tǒng)辨識摘要：針對最小二乘算法辨識性能較差問題，將最小二乘算法中的單新息通過利用P組數(shù)據(jù)拓展到多新息向量，提出了多新息最小 二乘算法。與最小二乘相比，所提出的算法不僅利用了當前的系統(tǒng)信息，而且利用了過去的系統(tǒng)信息，進一步提高了參數(shù)辨識的精度 和收斂速度。在所提出的算法中，為了減少冗余的參數(shù)辨識和算法計算量，利用關(guān)鍵性分離技術(shù)構(gòu)造整體辨識模型。設計了輔助模 型來替代系統(tǒng)中未知的中間變量，提高了參數(shù)估計的精度。對比仿真結(jié)果表明，所提出的算法具有比遞歸最小二乘算法更高的辨識 精度和收斂速度。關(guān)鍵詞：最小二乘；多新息；輔助模型；關(guān)鍵性分離技術(shù)；多新息向量；參數(shù)辨識；算法計

2、算量；MATLABNonlinear System IdentificationBased on Multi-Innovation Least Squares AlgorithmAbstract: In view of the poor identification performance of the least square algorithm，the multi -innovation least squares algorithm is proposed by expanding the single innovation to multi-innovation. Compared w

3、ith least squares algorithm，the proposed algorithm can use not only the current system information but also the past system information，which improves the convergence rate and identification accuracy. In order to decrease the redundant parameter estimation and computational burden，the key separation

4、 technology is used to establish the identification model. An auxiliary model is designed to replace the unknown intermediate variables in the system，which improves the accuracy of parameter estimation. The comparative simulation shows that the proposed algorithm has higher identification accuracy a

5、nd convergence speed than the recursive least squares algorithm.Keywords: Least squares; Multi-innovation; Auxiliary model; identification； Algorithmic computation amount； MATLAB4引言最小二乘遞推算法(recursive least square，RLS)是 為解決傳統(tǒng)最小二乘算法計算量大且不能在線辨識而 產(chǎn)生的。其具有易于在線辨識，計算量小且簡單易用 的優(yōu)點，備受學者和工程師的關(guān)注1-21 &在線性系統(tǒng)和 非線性系統(tǒng)

6、的參數(shù)辨識中是應用較多的一種辨識算 法&文獻3利用一階線性濾波技術(shù)對系統(tǒng)輸入輸出 數(shù)據(jù)進行濾波，獲得有效的辨識數(shù)據(jù)&通過采用遞歸 最小二乘算法，辨識偽線性ARMA系統(tǒng)的各個參數(shù)& 仿真結(jié)果表明了算法的有效性&文獻4利用輔助模Key separation technology； Multi-innovation vector； Parameter型設計了變遞推間隔分解最小二乘算法&對比仿真結(jié) 果證明了提出算法明顯優(yōu)于目前存在的一些算法&文 獻5針對輸出誤差模型辨識過程中計算負擔大的缺 點,利用分解技術(shù)將多變量系統(tǒng)分解為多個子系統(tǒng)辨 識模型，然后通過對三個子系統(tǒng)分別設計遞推最小二 乘算法辨識各個子

7、系統(tǒng)的參數(shù)&文獻6提出的算法 與常規(guī)的辨識模型不同，它利用裝置瞬時能量狀態(tài)而 不是電荷狀態(tài)作為燃料表的狀態(tài),然后構(gòu)建辨識模型， 利用遞歸最小二乘算法辨識超級電容器的電容和電阻 值&試驗驗證了提出算法的合理性和有用性&從上述文獻可知，由于遞推最小二乘法在每次參 數(shù)更新時僅僅利用當前的系統(tǒng)信息，導致辨識精度較 低和收斂速度慢，且遞歸最小二乘法應用于線性系統(tǒng) 的辨識居多,用于非線性系統(tǒng)的辨識文獻有限。因為 遞歸最 小二乘法(auxiliary model based least squares algorithm，AM-RLS)是根據(jù)線性系統(tǒng)的線性回歸形式 發(fā)展而來的,所以適用于處理線性系統(tǒng)。為此，

8、多新息 最小二乘法(multi-innovation least squares，MILS)通過 利用P組數(shù)據(jù)改善了遞推最小二乘的辨識性能。將多 新息最小二乘算法嘗試用于處理含輸入非線性項的非 線性系統(tǒng)辨識。在該算法中，利用關(guān)鍵項分離技術(shù)獲 得線性分離的辨識模型,減少了冗余的參數(shù)估計和計 算負擔。利用建立輔助模型解決內(nèi)部變量未知問題， 提高了辨識的精度。非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中頂(-)為 多項式非線性子環(huán)節(jié);：(-)為動態(tài)線性子系統(tǒng);認t) 為系統(tǒng)外加的噪聲項；產(chǎn)(-J), ;( )( 2) 1 1為了建立辨識模型，需要將非線性項代入線性子 系統(tǒng)。如果直接代入，將導致辨識模型對各個參數(shù)

9、是 復合的，增加多余的參數(shù)估計。為此，當非線性項代入 到線性項時，利用關(guān)鍵項分離技術(shù)7-10可以減少冗余 的參數(shù)估計數(shù)量，同時減少了算法的計算負擔。為獲 得唯一的辨識模型,一般設1=1。將式(1)代入式(2)，結(jié)合關(guān)鍵項分離技術(shù)，可得： TOC o 1-5 h z 8( t)=慶&(- 1) ,&(- 1) 2 , #,- 1) ? ,2&( - 2) ,3&( -3), #,*&( -*)-=18( - 1) _=28(- 2)-#_=*8( - *=) ,;()( 3)將式(3)化為緊湊的形式，表達式為：8( = ( ) # , ;( t)( 4)其中，系統(tǒng)信息向量(t)的表達式為：(t)

10、 = ( & t - 1 ,&( t - 1) 2 ,&( t - 1) ? ,&( t - 2) ,&( t - 3) ,&( t - ) , - 8( t - 1),-8( t - 2)，8( t - *=) H( 5)被估計參數(shù)向量!為：! = 1A 1，A，/1/?23，!,* ,=1，=2，!,=*,H ( 6)1辨識算法根據(jù)辨識模型(4)，構(gòu)造目標函數(shù)( !)=偵t)-妒(t) 0W2 ,通過利用目標函數(shù)/對參數(shù)向量! 求偏導，獲得RLS&!(t) = !(t -B) , C( t) (t) e( t)( 7)e( t) =8( t)-妒(t) !( t - 1)( 8)pT (t

11、) =pT (t - 1) , (t)妒(t) C( 0) =P/ ( 9) 在RLE算法中,e( t)為單新息。參數(shù)更新時僅僅 利用了當前系統(tǒng)信息，這使得參數(shù)辨識性能不夠理想& 為了提高RLS的辨識性能，利用p組數(shù)據(jù)構(gòu)造多新息 向量。為此,定義：(p,t) = (t) ,( t - 1) ,(t -p , 1) T ( 10) 8(P、t) = 8( t)，8( t- 1)，!，8( t -P , 1) T ( 11)則多新息向量E(p,t)可以表示為: TOC o 1-5 h z E( P，) = 8(P，)-妒(p,t) #( p,t) #( t - 1)( 12)當p$2時，MILS算

12、法表述為：#( t) = #( t - B) , P( t) (p,t) E(p,t)( 13)E(P，t) = 8( P，t) - T( P，t) #( t - 1)( 14)PT ( t) = PT ( t - 1 ) , ( p,t)(p,t)( 15)為了避免求矩陣的協(xié)方差矩陣，結(jié)合矩陣求逆原 理和式(13)-式(15)，可以獲得下式的多新息最小二 乘法算法：#(t) = #(t -1) +：(0 Mp, -T(p,t)#t-1 ,:t) =P(t -1)(p,t)/-T(p,t)P(t -1)(p,0 (16) .P(t) =P( t -1) +以 t)T(p,t)P(t -1)由于

13、信息矩陣中含有未知的變量&( t)，會使得辨識 算法無法實施。為此，利用輔助模型辨識思想11，構(gòu)造 如下的輔助模型。利用輔助模型的輸出替代未知的變 量，使辨識算法可順利實施。輔助模型的表達式為：&見()=)( 17) 1為便于后續(xù)仿真對比，將提出的算法稱為基于輔助 模型的多新息最小二乘辨識算法(auxiliary model based multi innovation least squares algorithm，AM-MILS) %當新息長度p = 1時，MILS簡化為最小二乘的形 式，即：#() = #(t -T) +：(i) M1，)-(,)#(t - I)C(t 1偵)也(1，)

14、C( t -1)戒 1,，)( 18)P(t) =P(t -1) +以t)(1,t)C(t-1),C(0) =poi2仿真結(jié)果為了驗證提出算法的優(yōu)勢，將基于輔助模型的 AM-RLS12作為對比仿真2仿真結(jié)果考慮系統(tǒng)為：&( t) = 0. 5 ( t) + 0. 22 ( t) + 0. 13 ( t)8( t) = ( t - 1) + 0. 21 = 1，2 =0. 2，=1 = 0. 6，=2 = 0. 45 & 本文的目標 是利用可測的輸入輸出數(shù)據(jù)，設計辨識算法，以辨識這 些真實的參數(shù)值，并驗證辨識算的有效性。AM-MILS 的初始參數(shù)為： = 104，# ( 0 )= 0. 001，

15、0. 001，0. 001，0. 001，0. 001，0. 001 T，G = 2 000,p =4,噪聲為白噪聲，輸入幅值為1的隨機序 列。對比算法AM-RLS的初始值參數(shù)和AM-MILS 一 樣。不同算法多項式參數(shù)估計曲線、不同算法線性子 系統(tǒng)系數(shù)參數(shù)估計曲線如圖2、圖3所示圖2圖2不同算法多項式參數(shù)估計曲線Fig. 2 Polynomial parameter estimation curvesof different algorithms知右坦赧機膏折從圖2、圖3可以看出，在參數(shù)估計的初始階段, 兩種辨識算法的估計曲線都快速向真實值靠攏，在參 數(shù)估計的后期階段，隨著數(shù)據(jù)的增加，被估計

16、的參數(shù)能 夠收斂于真實值或其附近值。這說明兩種辨識算法對 這類非線性系統(tǒng)是有效的。但是從圖2、圖3中也可 以看出，AM-RLS參數(shù)估計結(jié)果有明顯的震蕩，且收斂 速度明顯低于AM-MILS算法，這主要得益于AM- MILS通過利用p組系統(tǒng)信息，不僅利用了當前的數(shù)據(jù) 而且利用過去的信息，提高了辨識的性能。0.70.60.50.40.30.20.10.0知右坦ag螺隅卬起都圖3 不同算法線性子系統(tǒng)參數(shù)估計曲線Fig- 3 Linear subsystem paramete restimation curvesof different algorithms5 0 52 0402 0802 1202 1

17、602 200數(shù)據(jù)長度(b)輸出誤差0.70.60.50.40.30.20.10.0知右坦ag螺隅卬起都圖3 不同算法線性子系統(tǒng)參數(shù)估計曲線Fig- 3 Linear subsystem paramete restimation curvesof different algorithms5 0 52 0402 0802 1202 1602 200數(shù)據(jù)長度(b)輸出誤差Fig-4圖4 AM-RLSFig-4圖4 AM-RLS模型驗證結(jié)果Verification results of AM-RLS model圖5 AM-MILS模型驗證結(jié)果Fig- 5 Verification results o

18、f AM-MILS model從圖4和圖5可知，基于兩種辨識的算法建立的 估計模型都能有效地跟蹤實際模型的輸出。這說明辨識結(jié)果是正確的、有效的?；贏M-MILS算法的模 型相對于AM-RLS算法而言能夠以較小的輸出誤差 跟蹤實際模型的輸出，這說明AM-MILS的辨識性能 高于AM-RLS算法，這和參數(shù)估計結(jié)果圖2、圖3是 一致的。參數(shù)估計誤差曲線11-131如圖6所示。圖6顯示兩 種辨識算法的參數(shù)估計結(jié)果都是隨著數(shù)據(jù)的增加而 逐漸減少的，最后趨向于一個較小的平穩(wěn)值。但是 圖6也反映了 AM-MILS算法比AM-RLS算法有更高 的估計精度和收斂速度，側(cè)面證明了 AM-MILS的 優(yōu)勢。加入多新息后，設計的辨識算法的辨識性能變得更加 優(yōu)異。圖6參數(shù)估計誤差曲線Fig. 6 Parameter estimation err