1、對流擴散方程的離散格式1第1頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.1 對流項離散格式的重要性及兩種離散方式一、對流項離散格式的重要性 1、數值解的準確性（假擴散） 2、數值解的穩定性 3、數值解的經濟性二、構造離散格式的兩種方式 1、Taylor展開法 2、控制容積積分法 兩種定義截差階數一致，但截差首項系數有所不同。2第2頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.2 對流項的中心差分與迎風格式一、一維對流-擴散問題模型方程的精確解邊界條件：3第3頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、一維對流-擴散問題模型方程的精確解（續）Pecl

2、et數：Pe表示對流與擴散作用的相對大小。004第4頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、對流項的中心差分對方程 采用控制容積積分法記：F = ru 通過界面的流量。 界面上單位面積擴散阻力的倒數(擴導)。5第5頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、對流項的中心差分（續）在數值計算過程中，如果連續性方程始終得到滿足，則： 在求解過程中，始終保持連續性方程滿足非常重要。常物性條件下均分網格：6第6頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、對流項的中心差分（續）例：在一維模型方程離散求解的均分網格中，已知fW =100， fE =200

3、。試對PD =0，1，2及4四種情況按中心差分格式計算fP之值。負系數會導致物理上不真實的解。7第7頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、對流項的迎風格式Taylor展開法控制容積積分法 e界面 w界面8第8頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、對流項的迎風格式（續） e界面 w界面9第9頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、對流項的迎風格式（續）迎風格式離散形式：10第10頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、中心差分與一階迎風格式的討論1、對流項中心差分在不發生振蕩的參數范圍內，比一階迎風格式的誤差更小

4、。2、一階迎風格式離散方程系數永遠大于零，不會引起解的振蕩，得到物理上看似合理的解。3、一階迎風格式截差階數低，除非采用相當密的網格，否則計算結果的誤差較大。4、一階迎風格式的啟示：應當在迎風方向取更多的信息構造格式，更好地反映對流過程的物理本質。5、在調試程序或計算的中間過程仍可以采用一階迎風格式。11第11頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.3 對流-擴散方程的混合格式及乘方格式一、系數aE與aW 之間的內在聯系 aE(i)與aW (i+1)共享同一個界面。對流項中心差分：對流項一階迎風：12第12頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、混合格式

5、(Spalding,1971)13第13頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、指數格式利用精確解得到相鄰節點間符合精確解的關系式。14第14頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、指數格式（續）15第15頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、乘方格式(Patankar,1979)16第16頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、5種3點格式系數匯總只需給出 定義式格式定 義中心差分迎風格式混合格式乘方格式指數格式17第17頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.4 對流-擴散方程5種3點格式

6、系數特性的分析總通量密度J：單位時間內、單位面積上由擴散及對流作用而引起的某一物理量的總轉移量。一、通量密度及其離散表達式18第18頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、通量密度及其離散表達式（續）J*的離散表達式： Behind Ahead 界面后的項 界面前的項以坐標軸正方向為依據的“前”、“后”。19第19頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、系數A、B間的關系1、和差特性 當 時，界面上的擴散通量為零，于是：20第20頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、系數A、B間的關系（續）2、對稱特性坐標系I：坐標系II：因為：于

7、是：21第21頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、系數A、B間的關系（續）指數格式系數A、B間的關系22第22頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、系數特性的重要推論和差特性：對稱特性：重要推論： 對5種3點格式的任何一種，若在PD0時，A(PD)的計算式為已知，則在 的范圍內A(PD)、 B(PD)的計算式均可得出。23第23頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、系數特性的重要推論（續）證明：24第24頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、aE、aW的通用表達式J通量密度守恒方程25第25頁，共59頁，

8、2022年，5月20日，2點10分，星期三四、aE、aW的通用表達式（續）不同格式的區別僅在于 的計算式不同。26第26頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、5種3點格式的格式中心差分迎風格式1混合格式乘方格式指數格式27第27頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、5種3點格式的 （續）28第28頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三1、從一維到多維的推廣 在每一個坐標方向上都按一維問題處理。2、所得出的系數表達式便于編制通用性程序，由專用模塊處理 。3、利用aE(i)與aW (i+1)間的關系，可以節省計算系數的工作量。六、關于格

9、式定義與系數特性的說明29第29頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.5 關于對流項離散格式假擴散特性的討論一、假擴散的含義本來含義：對流-擴散方程中一階導數項的離散格式的截斷誤差小于二階而引起較大數值計算誤差。分析：純對流方程，顯式，FUD30第30頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、假擴散的含義（續）假擴散系數31第31頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、假擴散的含義（續）拓寬含義：由以下三種原因引起的數值計算誤差。 1、非穩態項或對流項采用一階截差的格式 2、流動方向與網格線呈傾斜交叉（多維問題）。 3、建立差分格式時

10、沒有考慮到非常數源項的影響。32第32頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、由于一階導數截差階數低而引起的假擴散一維無源項穩態模型方程33第33頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、由于一階導數截差階數低而引起的假擴散（續）一維非穩態對流問題流向擴散34第34頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、流速與網格線傾斜交叉引起的假擴散物理問題不考慮擴散作用的結果交叉擴散35第35頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、由非常數源項引起的假擴散帶源項的模型方程兩點邊值問題36第36頁，共59頁，2022年，5月20日

11、，2點10分，星期三五、低階格式引起顯著數值計算誤差的例子Smith-Hutton問題出口截面結果乘方格式 QUICK格式37第37頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、低階格式引起顯著數值計算誤差的例子(續)FUD HD PLD QUICK方腔自然對流寬高比：33Grashof數：950038第38頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.6 可以克服或減輕假擴散的格式或方法一、采用高階格式以有效地克服流向擴散 1、二階迎風格式（SUD） 2、三階迎風格式（TUD） 3、QUICK格式 4、SGSD格式二、減輕或克服交叉擴散的方法 1、對一階迎風格式采

12、用有效擴散系數 2、采用自適應網格技術 3、采用斜中心差分39第39頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三1、二階迎風格式（SUD）二階精度，絕對穩定40第40頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三2、三階迎風格式（TUD）三階精度，條件穩定41第41頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三3、QUICK格式三階精度，條件穩定三階迎風格式修正系數為1/642第42頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三4、SGSD格式 Stability-Guaranteed Second-order Difference scheme至少二

13、階精度，絕對穩定=0，二階迎風=1，中心差分=3/4，QUICK對一維模型方程，當=2/3時，離散方程本身具有三階截差。 43第43頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5、采用高階格式時近邊界點的處理(1)在邊界上采用二次插值，設虛擬節點0，滿足：(2)采用一階迎風或混合格式處理。44第44頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三6、高階格式所形成的離散方程的求解方法(1)交替方向五對角陣算法(PDMA)。(2)延遲修正方法。45第45頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.7 對流-擴散方程離散形式的穩定性分析一、數值計算常見的不穩定性

14、問題 1、代數方程迭代求解過程的不穩定性 2、初值問題顯式格式的不穩定性 3、對流項離散格式的不穩定性二、分析對流項離散格式不穩定性的方法 1、正型系數法 2、離散方程精確解分析法 3、反饋靈敏度分析法 4、“符號不變”原則46第46頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、“符號不變”原則的基本思想1、穩態非線性問題迭代一個層次相當于線性非穩態問題前進一個時層。2、穩定性是格式的固有屬性。3、用所研究的格式離散對流項，擴散項采用中心差分，時間坐標采用顯式格式。4、采用離散擾動分析法。47第47頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、“符號不變”原則的實施

15、對流項取三階迎風（設u 0）對節點i+1，不計擴散項計入擴散項 滿足：48第48頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、“符號不變”原則的實施（續）對節點i-1，不計擴散項計入擴散項要求：49第49頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、穩定性分析結果的討論1、如果對流項離散格式具有遷移特性，則該格式絕對穩定。2、如果離散格式的表達式含有下游節點的值，則該格式不具有遷移特性，且是條件穩定的。3、下游節點的系數越小，則其臨界Peclet數越大。一般是系數的倒數。 臨界Peclet數一階迎風 絕對穩定中心差分 2二階迎風 絕對穩定三階迎風 3QUICK 8/

16、3SGSD 絕對穩定一維，線性，無源項，兩點邊值問題，均勻網格50第50頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三六、對流項離散格式性能小結1、截差越高的格式解的精度越高。2、準確的格式往往條件穩定。3、基于5個假設得到的穩定性條件較苛刻。4、選用格式的建議： (1)調試程序可以用FUD、PLD（乘方格式） (2)不太復雜的問題用QUICK、SGSD (3)復雜問題用高階組合（高分辨率）格式（MUSCL、SMART、SECBC、STOIC等）51第51頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.8 多維對流-擴散方程的離散及邊界條件的處理一、二維對流-擴散方程的離

17、散質量守恒方程 1 0 0動量守恒 u方程 v方程 w方程能量守恒方程52第52頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、二維對流-擴散方程的離散（續）53第53頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三3種二維坐標系中界面流量、擴導的計算式54第54頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三納入高階格式的方法55第55頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、三維對流-擴散方程的離散56第56頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三維直角坐標系中界面流量、擴導的計算式57第57頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、邊界條件的處理進口邊界：給定u,