1、大學數學教學應重視學生四種能力的培養摘要：數學教育在大學生基本素質培養方面發揮著不可替代的作用，教師在教學過程中不僅要做 好數學知識的傳授，而且應該注重學生綜合能力和素質的培養。數學具有鮮明的學科特點，需要 獨特的學習方法，教師應充分利用這些特點，在大學數學教學中重視學生抽象思維和邏輯推理、 分析問題和解決問題、自主學習、歸納總結和推廣四種能力的培養，為學生未來的發展打下堅實 的基礎。關鍵詞：大學數學教學；能力培養；抽象思維；邏輯推理；歸納總結和推廣Emphasizing Cultivation of Four Abilities in CollegeMathematics TeachingA

2、bstract: Mathematics education plays an irreplaceable role in the cultivation of College Students , basic quality. Teachers should not only impart mathematics knowledge, but also pay attention to the cultivation of students # comprehensive ability and quality in the teaching process. Mathematics has

3、 distinct disciplinary characteristics and unique learning methods. Teachers should make use of these characteristics and emphasize students # abstract thinking and logical reasoning, analysis and solution of problems ,independent learning , induction, summary and deduction in college mathematics te

4、aching. The cultivation of the four abilities lays a solid foundation for the future development of students.Keywords： college mathematics teaching; cultivation of ability; abstract thinking; logical reasoning; summary and deduction數學是高等學校理工經管等專業重要的學科基 礎課，具有學分高、學習周期長、學習難度大等顯 著特點。大學數學系列課程學習的效果對學生后續 相

5、關專業課程的學習及數學素質和能力的培養起決 定作用，關系到學生未來能否運用數學工具從事科 學研究，能否運用數學的思維方式解決工作中遇到 的實際問題。作者認為教師在大學數學教學過程 中，不僅要做好數學知識的傳授，更應該注重學生 綜合能力和素質的培養。近年來，圍繞大學數學教 學方法和內容的改革如火如荼，其核心就是要改變 傳統課堂上偏重于單向的知識傳授，重知識點和解 題技巧，而忽視學生綜合能力和素質培養的教學方 法和教學理念I。根據多年的教學實踐，作者總 結出在“高等數學“線性代數”和“概率論與數 理統計”等大學數學課程教學中，教師應注重學 生四種能力的培養，并舉例說明為達到培養目標應 采取的具體教

6、學方法。一、抽象思維和邏輯推理能力高度的抽象性和嚴密的邏輯性是數學課程的顯 著特點。與初等數學相比，這些特點在大學數學課 程中表現得更加突出。對于剛剛踏入大學校門，初 次接觸高等數學和線性代數課程的大一新生來說, 學習中難免會遇到困難，若沒有經過教師積極良好 的引導，久而久之，學生會養成死記硬背、不求甚 解等錯誤的學習習慣，甚至對自己喪失信心，對學 習產生消極和抵觸的心理，這樣既不能很好地達成 傳授知識的目的，更無法實現培養能力的效果。抽象思維和邏輯推理能力是學生今后從事更高 層次科學研究的重要基礎，也是現代大學生應該具 備的基本數學素養。將直觀具體的事物或現象提升 為一般抽象的普遍規律，再將

7、其應用于具體問題, 是人類認識世界和改造世界的重要手段，而嚴密的 邏輯推理也是學生正確分析問題和解決問題的重要 保證。教師應該充分利用數學課程的特點，培養好 學生的這種能力。在教學過程中，教師應做到循序漸進，啟發引 導。比如在講解基本概念和重要定理時，借助直觀 的幾何圖形和物理現象是非常必要的，這不僅對學 生理解概念和定理的論證有所幫助，也是培養學生 洞察問題本質，提升抽象能力的重要手段。以拉格 朗日微分中值定理的講解為例，可以首先畫出 其幾何圖形，然后引導學生觀察，根據學過的知識 將圖形用數學公式表達為：R 二頊 =n!)在對定理的證明過程中，關鍵是引入輔助函數(K ) =f( K )頊 $

8、)項00 頊 $) ( K $)0 $這樣的講解方式可以讓學生清楚地看出，數學家是 如何根據客觀實踐逐漸抽象出定理內容的，而這種 抽象又是定理證明不可缺少的。再比如極限概念的講授，更是培養學生抽象思 維和邏輯推理能力的好機會。雖然學生在中學學習 過極限，但只是一種描述性定義，談不上高度的抽 象和嚴謹的證明。大學數學教師應該首先告訴學 生，極限是從常量到變量研究的重要工具，缺少極 限工具就無法發展出高等數學，它是連接導數、積 分和級數等重要概念的紐帶。這樣可以讓學生初步 認識到極限概念在高等數學中的重要地位，引起學 生的重視。其次，可以鼓勵學生嘗試按自己的理解 來描述極限，并引導他們體會只有用嚴

9、謹的數學語 言才能深刻準確地刻畫變量之間的內在聯系，從而 引入#，L，8符號，而任給# 0,只要% L (0 K K% | 8)，就有 $% $ # ( f ( K) C #) 成立”這樣的數學語言也變得不再那么晦澀難懂。 由于極限概念的高度抽象性，加之運用概念證明極 限又是一個嚴謹的邏輯推理過程，有部分學生理解 困難也是正常現象。教師應及時根據學生學習情況 加以鼓勵和引導，還可以利用習題課討論、課外輔 導和布置思考題等方式逐步加深學生的理解，這正 是提高學生抽象思維和邏輯推理能力的過程。此 外，對于成績較優的學生，可以鼓勵其通過參加數 學競賽來進一步提高自己。二、分析問題和解決問題的能力大學

10、數學課程的教學目的是要讓學生在掌握數 學知識的同時，學會用數學方法去分析和解決實際 問題。數學從實際中來，又要返回到實際中去。離 開實際問題單純講授數學知識，不但無法調動學生 的學習積極性，更談不上提高學生的能力。這就要 求教師跳出教材的限制，在傳授知識的同時，講清 知識的來龍去脈，帶領學生重走發現之路，引導學 生站在數學家的角度去思考問題。比如在利用極限 講授導數和積分的概念時，要講清其本質是促進變 與不變、近似與精確的相互轉化。學生領悟到這一 點，就不難運用極限思想去解決瞬時速度和曲邊梯 形面積等問題。當/%0時，平均速度./的 極限即為該時刻的瞬時速度。當分割的細度%0 時，曲邊梯形面積

11、的近似值r:(&)的極 限即為曲邊梯形的精確面積。再比如概率論中對正態分布的講解，可以 從高斯對測量誤差的研究引入，結合學生的專業特 點，通過分析各種誤差或偏差的產生來說明正態分 布的特點，指出如果一個隨機變量受到大量相互獨 立的隨機因素共同影響，而每個因素在總影響中所 起的作用均不大，則這種隨機變量往往服從或近似 服從正態分布。而對正態分布更深一層的理解，則 放在中心極限定理的討論中。這就為學生揭示出正 態分布產生的源泉，使學生認識到正態分布在生產 生活中是極為常見的，很多自然群體的經驗頻率均 呈現出鐘形曲線。通過理解這些，最終達到讓學生 正確分析問題并利用正態分布解決實際問題的 目的。此外

12、，鼓勵和引導學生參加數學建模競賽也是 一種培養分析問題和解決問題能力的重要方 式笛頂。在課堂教學中，從實際問題引出抽象的數 學理論，讓學生充分了解數學概念、理論和方法產 生的淵源和發展的過程。而數學建模則需要學生運 用數學知識去解決現實世界中各領域的復雜問題, 這就形成了從具體到抽象、再到具體，從問題到知 識、再到問題的完整培養過程，有效地提高了學生 分析問題和解決問題的能力。三、自主學習能力自主學習能力是學生持續進步和提高自身能力 的重要素質，直接影響到學生今后的獨立工作和未 來發展。從中學教育到大學教育過渡的重要環節就 是培養學生從被動學習變為主動學習，從課堂學習 擴展到課后自學。教師的任

13、務不僅是教會學生知 識，更重要的是教會學生如何學習知識。學生在大 學學習到的知識可能會過時無用，但在大學中培養 起來的如何學習知識的能力卻是終身受用的。隨著 大學教學的深入，教師在課堂上更多起到的是引導 和示范作用，在將基本概念、課程定位、主要內容 和學習方法等傳遞給學生以后，應該積極引導學生 進行獨立拓展學習。教師可在教學中適當布置一些任務或思考題, 由淺入深，引導學生課后通過閱讀書籍和文獻自主 完成，逐步提高學習積極性，培養自主學習和解決 問題的能力。比如在線性代數的教學中，學生很難 理解行列式和線性變換這樣抽象的概念。可以啟發 學生思考其與空間解析幾何的聯系，并自主查閱文 獻和參考書來說

14、明行列式和線性變換的幾何意義。 再比如學生往往對線性代數中復雜的運算望而生 畏，對于自己的計算結果沒有把握。可以鼓勵學生 課后自學Excel、Mathematic等軟件的使用， 在獨立完成作業后借助這些軟件來檢查自己的計算 結果是否正確。這樣既提高了學生的學習積極性和 自覺性，又鍛煉了其自主學習能力。另外，參加數學競賽和數學建模競賽是培養學 生自主學習能力的有效手段。在準備競賽的過程 中，學生需要學習大量必修課程以外的數學知識。 在學習了高等數學、線性代數、概率論與數理統計 等課程的基礎上，學生通過旁聽、課下自學、小組 討論等多種形式進行自主學習，教師則以開展課外 主題講座和分組指導等形式輔助

15、學習。在此過程 中，學生學習到優化、科學計算、數據處理和微分 方程等數學知識以及這些知識可以解決什么樣的實 際問題。這極大地拓寬了學生的視野，讓學生認識 到課堂是有限的，更多的知識等待他們自己去探索 和發現，提高學習積極性的同時，又鍛煉了自主鉆 研和學習的能力。四、歸納總結和推廣能力歸納總結，由個別到一般，是學習數學的重要 方法，也是學生在未來的學習和工作中應該具備的 一種能力，教師應在數學教學中重視學生這方面能 力的培養。在教學中，教師應在每一章節結束后做 出小結，對不同知識點之間的聯系也要幫助學生進 行歸納總結。線性代數具有概念和定理繁多且高度 抽象的特點，不同章節的概念和定理往往存在緊密

16、 的聯系，但不易被學生發現。教學中應注意引導學 生進行歸納和比較。比如向量組的極大無關組、齊 次方程組的基礎解系、向量空間的基這三個重要概 念，雖然出現在不同章節，但它們卻具有相同的本 質，即：1）線性無關，表明在線性運算下無冗 余，不能互相表示，缺一不可；2）其余向量均可 由其線性表示，表明無缺失，具有代表性，是其中 的“骨干”。三個概念對應向量組、方程組和向量空間三個 不同對象，但其本質都是描述和揭示對象的線性結 構。基礎解系即為方程組解空間的基，向量空間的 基即為幾何中坐標系的抽象，這易使學生理解幾何 中為什么用兩個坐標軸描述平面，用三個坐標軸描 述空間。這就將不同概念通過相同的本質聯系

17、起 來，以統一的觀點來描述它們的實質。這樣的歸納 總結可以幫助學生深入理解抽象的概念，同時啟發 學生探究不同概念和結論之間的聯系，培養歸納總 結的能力。再比如“概率論與數理統計”課程中對隨機變量的教學，教師可引導學生對離散和連續隨機變面進行總結比較，讓學生通過思考以后填寫表1的量從可能取值、性質、分布函數和取值特點四個方內容。表1離散隨機變量和連續隨機變量的比較Tab. 1 Comparison between discrete random variable and continuous random variable比較項目離散隨機變量連續隨機變量可能取值數軸上離散的點連續變動的點性質Ov

18、&，Ov 11/(對 &。，L:( k)9K=1分布函數K) =，單調不減右連續的階梯函數，在K處有間斷K)=偵/) d/，單調不減的連續函數取值特點* $ + N，M = $未必為零* $ + R，P = $ = 0離散隨機變量較為直觀和容易理解，同時也更 能體現概率分布的思想性，即隨機變量以不同的概 率分布在所有可能的取值上。而連續隨機變量可以 看作是借助微積分對離散情形的推廣。通過讓學生 對二者進行多方面的總結比較，可以幫助學生通過 離散來理解連續情形，同時培養學生歸納總結的能 力。在對一維隨機變量學習的基礎上，教師可以引 導學生思考二維情形的聯合分布函數、聯合分布律 以及聯合概率密度的形式，而從二維到多維的情形 學生則可以很自然地完成。這種在教學中使用的歸 納和推廣的方法，充分體現了人們對世界的認知規 律和提出并發展相應理論的過程，既能促進學生學 習效果的提升，又