1、3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用高二數(shù)學 選修2-3 第三章 統(tǒng)計案例授課教師：胡周明獨立性檢驗本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢驗問題。在日常生活中，我們常常關心分類變量之間是否有關系：例如，吸煙是否與患肺癌有關系？ 性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。吸煙有害健康！正常人的肺吸煙者的肺 吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差

2、異，吸煙者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個頻數(shù)的相對大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關： 上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題。 現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患

3、肺癌有關”，為此先假設 H0：吸煙與患肺癌沒有關系.不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表 用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關系”等價于“吸煙與患肺癌獨立”，即假設H0等價于 P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱； |ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強。不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率

4、，所以在H0成立的條件下應該有在H0成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率 即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。 也就是說，在H0成立的情況下，對隨機變量K2進行多次觀測，觀測值超過6.635的頻率約為0.01。思考 答：判斷出錯的概率為0.01。判斷 是否成立的規(guī)則如果 ，就判斷 不成立，即認為吸煙與患肺癌有關系；否則，就判斷 成立，即認為吸煙與患肺癌有關系。獨立性檢驗的定義 上面這種利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法，稱為兩個分類變量的獨立性檢驗。在該規(guī)則下，把結(jié)論“ 成立”錯判成“ 不成立”的概率不會差過即有99%

5、的把握認為 不成立。獨立性檢驗的基本思想（類似反證法）(1)假設結(jié)論不成立,即 “兩個分類變量沒有關系”.(2)在此假設下我們所構(gòu)造的隨機變量 K2 應該很小,如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到K2的觀測值k很大,則在一定可信程度上說明 不成立.即在一定可信程度上認為“兩個分類變量有關系”；如果k的值很小，則說明由樣本觀測數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對 的充分證據(jù)。(3)根據(jù)隨機變量K2的含義,可以通過評價該假設不合理的程度,由實際計算出的,說明假設不合理的程度為1%,即“兩個分類變量有關系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.思考： 利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的等高條形圖中看出兩個分類變量是否相關呢？表1-11 2x

6、2聯(lián)表 一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d 若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：2、可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。1、通過等高條形圖，可以粗略地判斷兩個變量是否有關系,但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。 在等高條形圖中， 主對角線上兩個柱形高度的乘積ad與副對角線上兩個柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大。 隨機變量-卡方統(tǒng)

7、計量獨立性檢驗0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828臨界值表0.1%把握認為A與B無關1%把握認為A與B無關99.9%把握認A與B有關99%把握認為A與B有關90%把握認為A與B有關10%把握認為A與B無關沒有充分的依據(jù)顯示A與B有關，但也不能顯示A與B無關第一步：設H0： 吸煙和患病之間沒有關系 患病不患病總計吸煙aba+b不吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d第二步：列出22列聯(lián)表 獨立性檢驗的步驟第三步：計算第四步：查對臨界值表，

8、作出判斷。P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828反證法原理與假設檢驗原理反證法原理： 在一個已知假設下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設不成立。假設檢驗原理：在一個已知假設下，如果一個與該假設矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設不成立。 小試牛刀1、在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是 （ ） A. 若k2=6.635,則有99%的把握認為吸煙與患肺病有關，那么100名吸煙 者中，有99個患肺病. B. 從獨

9、立性檢驗可知,有99%的把握認為吸煙與患肺病有關時,可以說某人吸煙,那么他有99%的可能性患肺病. C. 若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關，是指有5%的可能性使推斷出現(xiàn)錯誤. D. 以上三種說法都不對.2、在獨立性檢驗時計算的的觀測值 =3.99，那么我們有（ ）的把握認為這兩個分類變量有關系 （ ） A90% B95% C99% D以上都不對3、在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查1768人，經(jīng)計算的k2=27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認為打鼾與患心臟病是_ 的.(填“有關”“無關”)DD有關例1.在500人身上試驗某種血清預防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另

10、外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。未感冒感冒合計使用血清252248500未使用血清224276500合計4765241000試畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過圖形判斷這種血清能否起到預防感冒的作用？并進行獨立性檢驗。解：設H0：感冒與是否使用該血清沒有關系。因當H0成立時，K26.635的概率約為0.01，故有99%的把握認為該血清能起到預防感冒的作用。P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(kk0)0.500

11、.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828有效無效合計口服584098注射643195合計12271193解：設H0：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關系。因當H0成立時，K21.3896的概率大于15%，故不能否定假設H0，即不能作出藥的效果與給藥方式有關的結(jié)論。例2：為研究不同的給藥方式（口服與注射）和藥的效果（有效與無效）是否有關，進行了相應的抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果列在表中，根據(jù)所選擇的193個病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果和給藥方式有關的結(jié)論？例4 為考察高中

12、生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，在某城市的某校高中生中隨機抽取300名學生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程總計男3785122女35143178總計72228300由表中數(shù)據(jù)計算K2的觀測值k 4.514。能夠以95%的把握認為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系嗎？請詳細闡述得出結(jié)論的依據(jù)。因此， 越大， “性別與喜歡數(shù)學課程之間有關系”成立的可能性就越大。另一方面，在假設“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關系”的前提下，事件 的概率為因此事件A是一個小概率事件。而由樣本數(shù)據(jù)計算得 的觀測值k=4.514,即小概率事件A發(fā)生。因此應該斷定“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關系”成立，并且這種判斷結(jié)果出錯的可能性約為5%。所以，約有95%的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關系”。例5、某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分