1、 思想方法：一次試驗就出現的 事件有較大的概率 例如: 有兩外形相同的箱子,各裝10個球 第一箱 9個白球 1 個紅球 第二箱 1 個白球 9個紅球現從兩箱中任取一箱, 并從箱中任取一球,結果所取得的球是白球.答: 9/10.試估計所取箱中的白球比例。2. 極大似然估計1 原則： 以樣本X1,X2, . Xn的觀測值x1, . xn來估計參數 若選取 使觀測值出現的概率最大, 把 作為參數 的估計量。極大似然估計法2第七章 參數估計 2 極大似然估計記：發生的概率為：3第七章 參數估計 2 極大似然估計4第七章 參數估計 2 極大似然估計5第七章 參數估計 2 極大似然估計6第七章 參數估計

2、2 極大似然估計7第七章 參數估計 2 極大似然估計（似然方程組）（對數似然方程組）8試求參數p的極大似然估計量。故似然函數為第七章 參數估計 2 極大似然估計9與矩估計量相同。第七章 參數估計 2 極大似然估計1011似然函數為：第七章 參數估計 2 極大似然估計11第七章 參數估計 2 極大似然估計12 極大似然估計的不變性設 是 的極大似然估計, u=u( )是 的函數, 且有單值反函數： = (u), 則 是 u( ) 的極大似然估計. 13第七章 參數估計 2 極大似然估計14第七章 參數估計 2 極大似然估計15第七章 參數估計 2 極大似然估計16X的概率密度為：第七章 參數估計

3、 2 極大似然估計矩估計：17似然方程組無解.直接從似然函數本身考慮求最大值.第七章 參數估計 2 極大似然估計18 第七章 參數估計 3 估計量評選標準1920212223 第七章 參數估計 3 估計量評選標準3. 估計量的評選標準需要討論以下問題:問題的提出 從前面可見, 對同一個參數, 用不同的估計法求出的估計量可能不同。(1)對于同一個參數究竟哪一個估計量好?(2)評價估計量的標準是什么?24 常用的幾條標準是：1無偏性2有效性3一致性 第七章 參數估計 3 估計量評選標準25一、無 偏 性 第七章 參數估計 3 估計量評選標準我們不可能要求每一次由樣本得到的估計值與真值都相等，但可以

4、要求這些估計值的平均值與真值相等.定義的合理性26證例. 第七章 參數估計 3 估計量評選標準27特別： 樣本二階矩是總體是總體均值 =E( X ) 樣本均值的無偏估計量.的無偏估計量.二階矩 第七章 參數估計 3 估計量評選標準28證例 第七章 參數估計 3 估計量評選標準29因而 第七章 參數估計 3 估計量評選標準30(這種方法稱為無偏化). 第七章 參數估計 3 估計量評選標準31例. 設總體 X 的密度函數為為常數為 X 的一個樣本. 證明：與都是 的無偏估計量.證 故是 的無偏估計量.32令即故 nZ 是 的無偏估計量.33一個參數往往有不止一個無偏估計, 若和都是參數 的無偏估計

5、量，可以比較 第七章 參數估計 3 估計量評選標準以方差小為好, 這就引進了有效性這一概念 . 34D( ) D( )則稱 較 有效 .都是參數 的無偏估計量，若對任意n，設和二、有效性35 第七章 參數估計 3 估計量評選標準例. 設總體 X 的密度函數為為 X 的一個樣本. 36證明： 第七章 參數估計 3 估計量評選標準37 設總體 X，且 E( X )= , D( X )= 2 為總體 X 的一個樣本證明是 的無偏估計量(2) 證明比更有效證 (1) 例(1) 設常數38(2) 結論 算術均值比加權均值更有效.而39例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是樣本.都是

6、 的無偏估計量所以最有效.40定義 設 是總體參數 則稱是總體參數 的一致估計量.的估計量. 若當n 時, 依概率收斂于 , 即三、一致性41關于一致性的兩個常用結論 1. 樣本 k 階矩是總體 k 階矩的一致性估計量. 是 的一致估計量.由大數定律證明用切貝雪夫不 等式證明矩法得到的估計量一般為一致估計量2. 設 是 的無偏估計 量, 且 , 則42則 是 的一致估計量.證: 例.所以 是 的一致估計量, 證畢.434. 區 間 估 計 區間估計：根據樣本給出未知參數的一個范圍，并保證真參數以指定的較大概率屬于這個范圍。(一) 單正態總體情形441. 置信區間與置信度第七章 參數估計 4.區

7、間估計45第七章 參數估計 4.區間估計通常，采用95%的置信度，有時也取99%或90%46 2. 反映了估計的可靠度, 越小, 越可靠.1. 置信區間的長度 L 反映了估計精度, 越小, 1- 越大, 估計的可靠度越高,但 3. 確定后, 置信區間 的選取方法不唯一, 常選長度最小的一個. 幾 點 說 明 L 越小, 估計精度越高.這時, L 往往增大, 因而估計精度降低.47第七章 參數估計 4.區間估計2. 正態總體，求均值的區間估計(1). 已知方差，估計均值48即： 對稱區間最短第七章 參數估計 4.區間估計49得到的置信區間為：第七章 參數估計 4.區間估計區間的長度為 達到最短5

8、0取 = 0.051-1-51例. 已知幼兒身高服從正態分布，現從5歲的幼兒 中隨機地抽查了9人，其高度分別為： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;第七章 參數估計 4.區間估計52(2). 未知方差，估計均值第七章 參數估計 4.區間估計53第七章 參數估計 4.區間估計 對稱區間最短54得到的置信區間為：第七章 參數估計 4.區間估計55例. 用儀器測量溫度，重復測量7次，測得溫度分別為： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 設溫度第七章 參數估計 4.區間估計563.正態總體，求方差2的區間估計第七章 參

9、數估計 4.區間估計57第七章 參數估計 4.區間估計58第七章 參數估計 4.區間估計得到2的置信區間為：59例. 設某機床加工的零件長度今抽查16個零件，測得長度（mm）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 以置信度為95%，試求總體方差 的置信區間。第七章 參數估計 4.區間估計60為總體 XN ( 1 12 ) 的樣本,為總體 YN ( 2 22 ) 的樣本,設X,Y獨立，置信度為 1 .分別表示

10、X, Y的樣本均值與修正(二) 雙正態總體情形第七章 參數估計 4.區間估計樣本方差.求 1- 2，12/ 22 的區間估計.61相互獨立, 1. 已知, 求 的置信區間第七章 參數估計 4.區間估計62解出 的置信區間為：63取樣本函數2. 方差比的置信區間 得，方差比的置信區間：第七章 參數估計 4.區間估計64例2 某廠兩條流水線包裝產品，重量都服從正態分布，其均值為 1與 2. 現分別抽取容量分別為n1=13與n2=17的兩獨立樣本： 與測得：第七章 參數估計 4.區間估計(1) 若已知方差,求均值差的置信度為0.95 的置信區間; 求方差比置信度為 0.95 的置信區間.65解查表得 ，n1=13, n2=17 代入公式 的置信區間為(1) 取樣本的函數66(2) 取樣本函數查表得代入公式得方差比 的置信區間為67(三) 單側置信區間 某些問題只關心置信區間的上限或下限，如次品率問題只關心上限, 產品壽命問題只關