1、專題五 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法第一部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法2021/8/8 星期日1知識(shí)概要 解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，通 過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題（相對(duì)來說，對(duì)自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”. 專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日22. 化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化. 除極簡單 的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知 的問題實(shí)現(xiàn)的. 從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未 知向已知轉(zhuǎn)化的過程. 化歸與

2、轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題 的根本思想，解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程. 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向 簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化， 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多 元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化， 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn). 知識(shí)概要 專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日33. 轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化. 等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件， 所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行 不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ?結(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證. 知識(shí)概要 專題五

3、 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日44. 化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題， 以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決. （2）簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題,通 過對(duì)簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目 的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù). （3）和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形 式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn) 化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方 法符合人們的思維規(guī)律. （4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直 觀的問題來解決. （5）正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可 考慮問題的反

4、面，設(shè)法從問題的反面去探求，使 問題獲解. 專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日55. 利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解決問題的模式可圖示如下：知識(shí)概要 專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日6考題剖析（2007煙臺(tái)模擬題）若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則 (a0+a2+a4)2(a1+a3)2的值為 （） A. 0 B. 1 C. 1 D. 21. C解析令f(x)=(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4， (a0+a2+a4)2(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0a1+a2 a3+a4)=f (1)

5、f(1)=(2+ )4(2+ )4=1, 所以選C. 專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日7 點(diǎn)評(píng)本題巧妙地將二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題， 關(guān)鍵是要看清(a0+a2+a4)2(a1+a3)2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可 以分解因式，而分解因式后與前面式子聯(lián)系起來看， 就不難轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問題了.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日8 2. C解析由原式可以變形為 ， 即可以看作是動(dòng)點(diǎn)（x, y)到點(diǎn)（3,1）的距離與到定直 線xy+3=0的距離之比為 ,故點(diǎn)M(x, y)的軌跡是雙曲線.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2. （2007云南昆明市質(zhì)檢題）若 則

6、點(diǎn)M(x,y)的軌跡是 （） A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線2021/8/8 星期日9點(diǎn)評(píng)本題如果直接對(duì)原式進(jìn)行變形，是有一定的運(yùn)算量， 效率也不高，但將式子轉(zhuǎn)化為這種公式 之后，它的 幾何意義就凸現(xiàn)出來了，解題時(shí)要有一定的轉(zhuǎn)化能力 與數(shù)形結(jié)合的能力.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日103. 在(x2+3x+2)5的展開式中x的系數(shù)為（） A. 160 B. 240C. 360D. 800 3. B分析本題要求(x2+3x+2)5展開式中x的系數(shù)，而我們只 學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式乘法法則及二項(xiàng)展開式定理，因此，就要 把對(duì)x系數(shù)的計(jì)算用下面兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

7、考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日11思路1：直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則和兩個(gè)基本原理求解，則 (x2+3x+2)5展開式是一個(gè)關(guān)于x的10次多項(xiàng)式， (x2+3x+2)5=(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)， 它的展開式中的一次項(xiàng)只能從5個(gè)括號(hào)中的一個(gè)中選取 一次項(xiàng)3x并在其余四個(gè)括號(hào)中均選擇常數(shù)項(xiàng)2相乘得到， 故為 (3x) 24=5316x=240 x，所以應(yīng)選B.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日12思路2：利用二項(xiàng)式定理把三項(xiàng)式乘冪轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理再進(jìn) 行計(jì)算. x2+3x+2=x

8、2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)， 這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法. 如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有 (3x+2)5中 會(huì)有x項(xiàng)，即 (3x)24=240 x，故選B； 如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則只有 (x2+2)43x中含有x一次項(xiàng)，即 3x 24=240 x； 考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日13如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化 ,就只有 (x2+3x)24中 會(huì)有x項(xiàng)，即240 x；如選擇x2+3x+2=(1+x

9、)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化， (x2+3x+2)5=(1+x)5(2+x)5展開式中的一次項(xiàng)x只能由(1+x)5中 的一次項(xiàng)乘以(2+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)加上(2+x)5展開式中 的一次項(xiàng)乘以(1+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)后得到，即為 x 25+ 24x 15=160 x+80 x=240 x，故選B. 點(diǎn)評(píng)化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日144. （2007北京宣武區(qū)模擬題）某廠2006年生產(chǎn)利潤逐月 增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造 建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤相等， 隨著投入資金的逐月增加，且每月增加

10、投入的百分率 相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤 相同，問全年總利潤m與全年總投入N的大小關(guān)系是（） A. mNB. mN C. m=N D. 無法確定考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日154. A解析每月的利潤組成一個(gè)等 差數(shù)列an，且公差d0， 每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列bn，且公比q1.a1=b1，且 a12=b12，比較S12與T12的大小.若直接求和，很難比較出其大小， 但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n1）d是關(guān)于n的一次 函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 bn=a1qn1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)

11、上的一些點(diǎn)列. 在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出aibi則S12 T12，即mN.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日16點(diǎn)評(píng)把一個(gè)原本是求和的問題，退化到各項(xiàng)的逐一比 較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個(gè) 學(xué)生所熟悉的.在對(duì)問題的化歸過程中進(jìn)一步挖掘 了問題的內(nèi)涵，通過對(duì)問題的反思、再加工后，使 問題直觀、形象，使解答更清新.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日175. 若關(guān)于x的方程cos2x+4asinx+a2=0在區(qū)間0,上有 兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 解析cos2x+4asinx+a212sin2x+4asin

12、x+a2 =2sin2x+4asinx+a1 令t=sinx，t 0,1， 則原題轉(zhuǎn)化為方程 2t2+4at+a10在0,1 上有兩個(gè)根. 令f(x)=2t2+4at+a1，由二次函數(shù)圖象可知：考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法 a 2021/8/8 星期日18解得： 點(diǎn)評(píng)本題涉及到多種轉(zhuǎn)化，一是三角函數(shù)的異名化同名， 三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，二是方程的問題轉(zhuǎn)化為 函數(shù)的問題.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法a 2021/8/8 星期日19解析 x2+px4x+p3 (x1)p+x24x+30 令g(p)=(x1)p+x24x+3，則要使它對(duì)0p4均有 g(p)0，只要有 x3或x1.考

13、題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法6. 若不等式x2+px4x+p3對(duì)一切0p4均成立，試求實(shí) 數(shù)x的取值范圍. 2021/8/8 星期日20點(diǎn)評(píng)在有幾個(gè)變量的問題中，常常有一個(gè)變元處于主要 地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在 解決這類問題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這 在很多情況下是正確的.但在某些特定條件下，此 路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)移變元在問題 中的地位，就能使問題迎刃而解.本題中，若視x為 主元來處理，既繁且易出錯(cuò)，實(shí)行主元的轉(zhuǎn)化，使 問題變成關(guān)于p的一次不等式，使問題實(shí)現(xiàn)了從高 維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡單易行.考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星

14、期日217. （2007湘潭市調(diào)研題）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2x2a 1，其中x=2sin（0 ）. 若二次方程f(x) = 0 恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1和x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日22 分析注意0 ，則12sin2， 即1x2 ,問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，根據(jù) 圖象得出等價(jià)的不等式組. 解析由以上分析，問題轉(zhuǎn)化為二次方程ax2+2x2a 1=0. 在區(qū)間1,2上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由 y=f（x）的圖象（如圖所示），得等價(jià)不等式組： 解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為3， . 點(diǎn)評(píng)本題體現(xiàn)了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，直觀

15、明了. 考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日238. 如下圖所示，圖（a）為大小可變化的三棱錐PABC. （1）將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開，假定展開圖剛好是一個(gè) 直角梯形P1P2P3A，如圖（b）所示. 求證：側(cè)棱PBAC；（2）由（1）的條件和結(jié)論，若三棱錐中PA=AC，PB=2， 求側(cè)面PAC與底面ABC所成角；考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日24（3）將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開，假定其展開圖剛好是一 個(gè)三角形P1P2P3，如圖（c）所示. 已知P1P3=P2P3， P1P2=2a，若三棱錐相對(duì)棱PB與AC間的距離為d，求此 三棱錐的體積.

16、考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日25 解析 （1）在平面圖中P1BP1A，P2BP2C. 故三棱錐 中，PBPA，PBPC， PB平面PAC，PBAC. （2）由（1）在三棱錐中作PDAC于D，連結(jié) BD. 由三垂線定理得BDAC， PDB是所求二面角的平面角，在展開圖中，連結(jié) BP3得BP3AC，作AECP3于E, 得AE=P1P2=4. 考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日26設(shè)PA=AC=x，則P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3， CE=EP3= = ，EP3= . 故CP3=2 ，P2P3=4 ，由ACDP3= CP3AE D

17、P3= ，又BP3= BD= .在PDB中，cosPDB= ，側(cè)面PAC與底面ABC所成的角的大小為arccos . 考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日27（3）在平面圖中，由剪法知，A、B、C分別是三角形三邊 的中點(diǎn). 由此得：AB=BC，AC=a. 在三棱錐中，取AC 中點(diǎn)D. 連結(jié)PD、BD ACPD，ACBD，故AC平面 PDB，且D到PB的距離為異面直線PB與AC之間的距離 d， SPDB= ad， V= a2d. 點(diǎn)評(píng)立體幾何中有關(guān)位置關(guān)系的論證實(shí)際上是位置關(guān) 系的相互轉(zhuǎn)化，有關(guān)空間角的計(jì)算總是轉(zhuǎn)化為平 面內(nèi)的角來求解. 考題剖析專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日28規(guī)律總結(jié)1. 逐步樹立轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)，遇到難題試著轉(zhuǎn)換. 2. 轉(zhuǎn)化與化歸應(yīng)遵循五條原則：3. 化歸的基本方法與途徑：專題五 轉(zhuǎn)化與歸納的思想方法2021/8/8 星期日29轉(zhuǎn)化與化歸應(yīng)遵循五條原則：(1)熟悉化原則：將陌生的問題化為熟悉的問題來解決；(2)簡單化原則：將復(fù)雜問題化為簡單問題，通過對(duì)簡單 問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的；(3)和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式 更符合數(shù)與形的內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式，或者 轉(zhuǎn)化命題，使其推理有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合 人們的思維規(guī)律；(4)直觀化原則：將比較抽