1、；（）；（）；，都有，元素稱為 的負元素；，或 向量空間有理數：Q 實數： R 復數： C數域 ： 復數的一個非空集合P含有非零的數，且任意兩數的加減乘除仍屬于該集合， TOC o 1-5 h z 則稱數集P 為一個數域。（所有數域都包含0， 1）設 V 是向量的集合， ，有， ，有一個零元素，記作，都有；則稱集合V為數域P上的 線性空間滿足加法A+B=C,C是 V中唯一的，符合滿足乘法kA=C,C是 V中唯一的，符合P 是實數域，V 就是實線性空間P 是負數域，V 就是復線性空間基： V 是數域 P 上的線性空間，若V 中存在一組向量，滿足：. 向量組線性無關；.V中任意一個向量都可由這個向

2、量組線性表示；則稱該向量組為構成V的一個基。若 V 的一個基中向量個數為n，稱n 為 V 的維數，記為dimV=n;坐標：， 稱為向量在基下的坐標。取定一組基后，每個向量在這個基下的坐標是唯一 確定的，的第 i 個坐標也稱之為第i 個分量。子空間：設 V是數域 P上的線性空間，W是 V的一個非空子集，如果W對于線性空間V所定義的加法運算及數量乘法運算也構成數域P上的線性空間，則稱 W為 V的線性子空間，簡稱子空間。充要條件是：若 ， ，則;， ，則；也就是說W 關于 V 中定義的兩個運算是封閉的。線性變換：數域 P 上的線性空間V的一個變換T滿足：1.2.設 V 是實數域R 上的線性空間，如果

3、對V 中任意兩個向量， 都有一個實數（記為（，） ）與它們相對應，并且滿足以下條件： TOC o 1-5 h z ，3.，則線性空間V稱為實內積空間，簡稱內積空間，且實數（， ）成為向量Euclid)2.3.4.等號當且僅當線性相關時成立4.等號當且僅當線性相關時成立 TOC o 1-5 h z 向量長度（模）（范數） ： 設 ，則非負實數稱為 的長度，并記為即定義長度為：；若=1，則稱為單位向量，對于任意非零向量，取則 是與 線性相關的單位向量，這種做法稱為向量的單位化。（C.-S.不等式又可以表示為）:復內積空間：設 V是復域 C上的線性空間，如果對V中任意兩個向量， 都有一個復數 （記為

4、（ ，） ）與它們相對應，并且滿足以下條件：，（，）；，；，；，當且僅當，等號成立；則線性空間V稱為復內積空間，或酉空間。酉空間具有以下性質：1.2.3.酉變換：若 T是酉空間V的線性變換，且對任何， 都有：則稱 T為 V的酉變換，即酉空間的酉變換，是保持任兩向量內積不變的線性變換。酉矩陣：若，且，則 A稱為酉矩陣，這里是 的共軛轉置。當 A為實矩陣時，酉矩陣A也就是正交矩陣。第三章A 的特征多項式：f ( ) E A na1 n 1 a2 n 2 +ann在這里：a1 =aiitrA;在這里：an ( 1)n Ai1最大公因式：d( ) f( ), d( ) g( )，且沒有更大的公因式d(

5、 )=( f( ),g( ) ：表示首項系數為1 的最大公因式。有以下性質：(f(),c)=0(f(),0)=f ()若： ( f( ),g( ) =1，則稱兩個多項式互素/互質。求解約當標準型：方法一：(1)求出A( )中所有非零的k級子式，最高項系數為1 的 最大公因式，記為 k級行列式因子：D1( ),D2( ), ,Dn( )Dk 1( )能整除每個k 1 級子式，從而可以整除每個k級子式，因此Dk 1( )能整除Dk( )，即是說Dk 1( ) Dk( )； 求 A( )的不變因子：d1( ),d2( ), ,dn( ) ；d1( ) D1( ),d2( )2, ,dn( ) n12

6、n112D1( ) nDn1( )(3)求A( )的 初級因子。 把每個次數大于零的不變因子分解為互不相同的一次因式的方冪的乘積，所有這些一次方冪。所有初級因子的乘積得到n 階行列式：A Dn( ) d1( ) d2( )dn( )(4)寫出約當塊 。每個初級因子(i )ki 構成一個ki 階的 約當塊 。方法二(只適用于四階及以下矩陣)：(1)求出特征多項式：f( ) E A (1)n1(2)n2 (k)nk；(2)求出對應i的約當塊個數，并求出m: n R( iE A) m；(2)來判斷個數。(3)(2)來判斷個數。A可以對角化dn( )沒有重根m( )沒有重根也就是初級因子全為一次求 P

7、 1AP J 中的 P：P (X1,X2,X3)，則有P 1AP J ( AX1,AX2,AX3) =(X1,X2,X3)J寫成三個方程，并求出基礎解系。方法三：(1)寫出E A ,(2)根據初等變換，求出史密斯標準型，從而求出不變因子。哈密頓-開萊定理及矩陣的最小多項式：f ( ) E A na1n 1a2 n 2 +an每個 n 階矩陣 A都是它的特征多項式的根： TOC o 1-5 h z Ana1An 1a2An 2+anE0零化多項式：( )是一個多項式，A是一個方陣，如果有(A) 0，則稱 ( )最小多項式：A是一個方陣，則A的首項系數為1 的次數最小的零花多項式m( )，(1)是

8、 唯一 的，(2)其根是A特征值，反之亦然。(3)最小多項式是其不變因子dn( )矩陣 A的任何 零化多項式都被其 最小多項式所整除。史密斯標準型：(求解時，行列都可以變)(唯一)d1( )0A( ) J( )dr( ) 這里 r 1 是 A( )的 秩 ，di( )是 首項系數為 1 的多項00式，且di( )di 1( )(i 1,2,3 r 1)A( ) J( )所以，這倆擁有相同的秩及相同的行列式因子D1( ),D2( ), ,Dn( )舒爾定理：若 A n n，則存在酉矩陣U，使得：UTAU T這里的T為上三角矩陣，其主對角線上的元素都是A的特征值。QR分解：A QRC)若 A n

9、n為 n 階負數矩陣，則存在酉矩陣Q及上三角矩陣RA QRC)奇異值分解定理：沒看到第四章=(，)若 V 是實內積空間(酉空間)， 為任意向量，k 為實數域R(復數域V 中向量的長度具有下列三個基本性質：(1)當時，都有0；k k ；向量范數的定義：設 V是數域 P上的線性空間，若對于V中任一向量負實數與之對應，并且滿足下列三個條件：(1)正定性：當時，都有0；(2)齊次性，對于任何： k k ；(3)三角不等式：nn;,1 i;i1nn;,1 i;i1nn1ip)p;(i1max 1in范數等價：對于任何有限維向量空間V 上定義的任意兩個向量范數a和b，都存在兩個與無關的正常數C1,C2，使

10、得對V中任一向量，都有：aC1b , b C2 a兩個不等式的兩個向量范數稱為等價 的。在有限維向量空間上的不同范數都是等價的。矩陣范數的定義：在 Pn n 上定義一個非負實值函數A ， 如果對于任意的A, B Pn n都滿足下列四個條件：(1)正定性：當 A 0時 , A 0(2)齊次性：對于任何k P，kA k A(3)三角不等式: A B A BAB A B則稱非負實數A 為方陣 n n的范數。nA P n n , A maxaij （列模和最大者）;i1A Pnn, A2H 是AH Ai1A Pnn, A2H 是AH A的最大特征值);AAA Pnn, AFtr（AHA）;nA P n

11、 n , A maxaij （行模和最大者）;iinj1范數等價：Pn n上任意兩個方陣A a和Ab都是等價的，使得：A aA aC1 AAbC2 Aa范數相容：對于任何A Pnn和Pn，滿足：AaAaAa則稱方陣范數A 與向量范數是 相容 的。Pn n上的每一個方陣范數，在Pn上都存在與它相容的向量范數。AF與 2是相容的向量的極限：如果向量序列：m(x1(m),x2(m),xn(m) Cn(m 0,1,2 )，如果存在極限：lim xi(m)xi (i1,2, n)m則稱酉空間Cn的向量序列(m) 收斂 于向量(x1,x2,xn)記為：lim (m) 或者(m )m求矩陣函數：方法一：方法

12、二：譜半徑：矩陣函數：也就是：(m) limmlim ( m(m)lim (m(m) 0 (對任意范數都成立)(A) m1 ianx i求矩陣函數：方法一：方法二：譜半徑：矩陣函數：也就是：(m) limmlim ( m(m)lim (m(m) 0 (對任意范數都成立)(A) m1 ianx inxem0mxm!nsin x ( 1)mm0ncosx ( 1)mm0寫出通式并計算(笨方法)(1)求出A的最小多項式：1xx2!2m 1x31!x31n xn!(2m 1)!2mx(2m)!1 x3 3!1 1x2!11 x5( 1)n5!1x 4!4( 1)n x(2n)!( ) (1) 1(2)

13、 2( s) s2n 1x(2n 1)!2n這里每個特征值都是不同的特征值，其中n1 n2ns m(2)寫出所求函數式：XXXX f( ), XXXX f(A)(3)寫出降階后的多項式：f ( )( )q( ) r( ) r( ) a0 a1a2 2am 1 m 1(4)求出各項系數：1,2, , s) (求導的是復數根才可以f ( i ) a0 a1 i a2 i2 am 1 1,2, , s) (求導的是復數根才可以(f ( i) a1 2a2 i (m 1)am 1 im(5)將各系數帶入函數：f(A) (A)q(A) r(A) r(A) a0E a1A a2A2am 1Am 1(6)求

14、出矩陣函數。求帶參數的方式一樣，無非是將a0,a1,a2,am 1 寫成a0(t),a1(t),a2(t),am 1(t)第四章A (aijA (aij )n nA AH A AH22BBHaa HB (bij)nn B 2B(bijaij 2aij ) (厄米特矩陣)CCHaa HC(cij)nnC2C(cijaij2aij)(反厄米特矩陣)若 A Cn n的特征值的集合為1, 2 , , n (所有特征值)，則有nnn22iaij (當且僅當A為正規矩陣時成立)i1i1j1inmax a1 inmax a1 i,j nRe( i)n max bi ;1 i,j n ijIm( Im( i)

15、Im( i)n max cij ;1 i,j n ij TOC o 1-5 h z n(n2 1) max cij (當 A為 n階實矩陣)。原盤定理：A=(aij) Cn n，則A的全部特征值都在復數平面上的n 個圓盤(蓋爾圓)內:zaiiRi(i 1,2,n)(i 的話直接就是1)Riai1ai2ai3ai(i 1)ai(i 1)ain圖示，蓋爾圓如何繪制由矩陣 A 的 k 個相交的蓋爾圓的并集構成的連通區域稱為一個連通部分， 并說它是由 k 個蓋爾圓組成的。矩陣A的任意一個由k個蓋爾圓組成的連通部分中，有且只有A的 k個特征值。(注意： 特征值是落在連通部分中，不一定兩個圓都有，有可能一

16、個有一個沒有。)譜半徑的估算：矩陣 A的每一個特征值的模都不超過矩陣A任意一個范數。(A) m1 iaxn i A an(A) A 1 m1 aj xnaij ;n(A) Am1 ianxaij ;j1(A) A 2AHA;(當A是正規矩陣時，等號成立)AX B,若A可逆，則有唯一解X A 1B若A 不可逆，或者m n 時，不一定有解，有解不唯一。求解1-廣義逆：各數據參數：Am n , Pm m,Qn n(1)將目標矩陣(1)將目標矩陣A 化成最簡型: PAQEr (A)P 為將 A 行變換的初等變換；Q 為將 Q 為將 A 列變換的初等變換；例如：1201Er(A)就是A的秩次的單位陣。Er A1(2)則 G=Q r 1 PA2 A3Q， P 交換位置A1， A2， A3為填充矩陣，補齊位置的，可以直接在空缺上設c1， c2， c3(3)則 A G 任意矩陣A的 1-