1、 12/121997考研數學一真題及答案解析 1997年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題 一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案在題中橫線上.) (1) 201 3sin cos lim (1cos )ln(1) x x x x x x +=+ . (2) 設冪級數 n n n a x =的收斂半徑為3,則冪級數 1 1 (1) n n n na x +=-的收斂區間為 . (3) 對數螺線e =在點2(,)(, )2 e =處的切線的直角坐標方程為 . (4) 設12243311A t -?=?-? ,B 為三階非零矩陣,且0AB =,則t = . (5) 袋中有50個乒

2、乓球,其中20個是黃球,30個是白球,今有兩人依次隨機地從袋中各取一 球,取后不放回,則第二個人取得黃球的概率是 . 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (1) 二元函數22 , (,)(0,0),(,)0, (,)(0,0)xy x y x y f x y x y ?+=?=? 在點(0,0)處 ( ) (A) 連續,偏導數存在 (B) 連續,偏導數不存在 (C) 不連續,偏導數存在 (D) 不連續,偏導數不存在 (2) 設在區間,a b 上()0,()0,()0,f x f x f x 令12(

3、),()()b a S f x dx S f b b a =-?, 31 ()()()2 S f a f b b a =+-,則 ( ) (A) 123S S S 求()x t . 四、(本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題7分,滿分13分.) (1) 設直線0,:30 x y b L x ay z +=?+-=?在平面上,且平面與曲面22 z x y =+相切于點 (1,2,5)-,求,a b 之值. (2) 設函數()f u 具有二階連續導數,而(sin )x z f e y =滿足方程22222x z z e z x y ?+=?,求 ()f u . 五、(本題滿分6分) 設()

4、f x 連續,1 ()(),x f xt dt ?=? 且0 () lim x f x A x =(A 為常數),求()x ?并討論()x ?在0 x =處的連續性. 六、(本題滿分8分) 設1111 2,(),1,2,.,2n n n a a a n a += +=證明： (1) lim n n a 存在； (2) 級數 111n n n a a =+?- ? 收斂. 七、(本題共2小題,第(1)小題5分,第(2)小題6分,滿分11分.) (1) 設B 是秩為2的54?矩陣,123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)T T T =-=-是 齊次線性方程組0Bx =的解向

5、量,求0Bx =的解空間的一個標準正交基. (2) 已知111?=?-?是矩陣2125312A a b -?=? ?-? 的一個特征向量. () 試確定參數,a b 及特征向量所對應的特征值； () 問A 能否相似于對角陣？說明理由. 八、(本題滿分5分) 設A 是n 階可逆方陣,將A 的第i 行和第j 行對換后得到的矩陣記為B . (1) 證明B 可逆； (2) 求1 AB -. 九、(本題滿分7分) 從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是 2 5 .設X 為途中遇到紅燈的次數,求隨機變量X 的分布律、分布函數和數學期望. 十、(本題

6、滿分5分) 設總體X 的概率密度為 (1), 01,()0, x x f x ?+-是未知參數.12,n x x x 是來自總體X 的一個容量為n 的簡單隨機樣本,分別 用矩估計法和最大似然估計法求的估計量. 1997年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題解析 一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案在題中橫線上.) (1)【答案】 32 【分析】這是 00型極限.注意兩個特殊極限00sin ln(1)lim 1,lim 1x x x x x x +=. 【解析】將原式的分子、分母同除以x ,得 2001sin 1 3sin cos 3cos 3lim lim .ln(1)(1c

7、os )ln(1)2 (1cos ) x x x x x x x x x x x x x x +=+ 評注：使用洛必達法則的條件中有一項是0 () lim () x x f x g x 應存在或為,而本題中, 20 0111 (3sin cos )3cos 2cos sin lim lim 1cos (1cos )ln(1)sin ln(1)1x x x x x x x x x x x x x x x +=+-+ 極限不存在,也不為,不滿足使用洛必達法則的條件,故本題不能用洛必達法則. 【相關知識點】1.有界量乘以無窮小量為無窮小量. (2)【答案】(2,4)- 【解析】考察這兩個冪級數的關系

8、.令1t x =-,則 ()1 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n n na t t na t t a t +-= . 由于逐項求導后的冪級數與原冪級數有相同的收斂半徑, 1 n n n a t =的收斂半徑為3? ()1 n n n a t =的收斂半徑為 3.從而()211 1 n n n n n n t a t na t +=的收斂半徑為3,收斂區間即 (-3,3),回到原冪級數 1 1 (1) n n n na x +=-,它的收斂區間為313x -從而 12()()()()()b a S f x dx f b a f b b a S =-=?. 為證31S S ,

9、令1 ()()()()(),2 x a x f x f a x a f t dt ?=+-?則()0,a ?= 11 ()()()()()()2211 ()()()()22 11 ()()()()()()221 ()()(),2 x f x x a f x f a f x f x x a f x f a f x x a f x a a x f x f x a = -+-=?,從而 1 ()()()()()02 b a b f b f a b a f t dt =+-?, 即31S S .因此,213S S S ,sin sin 0,t t e e -所以()0F x .選(A). 方法2：用分

10、部積分法. 22sin sin 0 22sin sin 0 0220 sin 2 sin 20 ()sin cos cos cos (11)cos cos 0. t t t t t t F x e tdt e d t e t tde e e t dt e t dt =-=-+=-+=? 故應選(A). 【評注】本題的方法1十分有代表性. 被積函數在積分區間上可以取到正值與負值時,則常將積分區間劃分成若干個,使每一個區間內,被積函數保持確定的符號,然后再作適當的變量變換,使幾個積分的積分上下限相同,然后只要估計被積函數的正、負即可. (4)【答案】(D) 【解析】方法1：三條直線交于一點的充要條

11、件是方程組 111111222 2223333 33000a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c +=+=-?+=?+=-?+=+=-? 有唯一解. 將上述方程組寫成矩陣形式：32A X b ?=,其中1 12233a b A a b a b ?=?是其系數矩陣,123c b c c -? ?=-? ?-? . 則AX b =有唯一解?()2r A r A b =(方程組系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且等于未知量的個數),即A 的列向量組12,線性相關.所以應選(D). 方法2：用排除法. (A)123,線性相關,

12、當123=時,方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩相等且小于未知量的個數,則式有無窮多解,根據解的個數與直線的位置關系.所以三條直線重合, 相交有無窮多點,(A)不成立. (B)123,線性無關,3不能由12,線性表出,方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩不相等,方程組無解,根據解得個數與直線的位置關系,所以一個交點也沒有,(B)不成立. (C)秩123(,)r =秩12(,)r ,當123(,)r =12(,)1r =時,三條直線重合,不只交于一點,與題設條件矛盾,故(C)不成立. 由排除法知選(D). 評注：應重視線性代數中的幾何背景.空間直線方程及平面方程其在空間的位置關系應與線性代數中的線性相關性

13、、秩及方程組的解及其充要條件有機的結合起來. (5)【答案】(D) 【解析】因X 與Y 獨立,故3X 和2Y 也相互獨立.由方差的性質,有 (32)(3)(2)9()4()44D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+=. 【相關知識點】方差的性質：X 與Y 相互獨立時, 22()()()D aX bY c a D X b D Y +=+,其中,a b c 為常數. 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分.) (1)【分析】三重積分的計算有三種方法：直角坐標中的計算,柱面坐標中的計算,球面坐標中的計算,其中柱面坐標中又可分先z 后(,)r ,或先(,)r 后z 兩種方法.本題

14、的區域為繞z 軸旋轉的旋轉體,用柱面坐標先(,)r 后z 方便. 【解析】方法1：采用柱面坐標,先(,)r 后z ,為此,作平面z z =. 22(,)|2,z D x y z x y z z z =+= 8 2220 ()z D I x y dv dz r rdrd =+=?(將直角坐標化為柱面坐標 ) 8230 1024.3 dz d dr = ? 方法2：將投影到xOy 平面,得圓域 22(,)|16,D x y x y =+用柱面坐標先z 后(,)r ,有 2224 8 4 22 3 3 002 1024()2(8).23r r I x y dv d dr r dz r dr =+=-

15、=? ? 評注：做二次積分或三次積分時,如果里層積分的結果不含外層積分變量,那么里、外層積分可以分別積分然后相乘即可.如本例方法2中 20 d ? 可以單獨先做. (2)【解析】方法1：寫出C 的參數方程,然后用曲線積分化為定積分的公式. 由平面上圓的參數方程易寫出C 的參數方程為： ()cos ,()sin ,()2cos sin x x t t y y t t z z t t t =-+, 其中2z x y =-+. 由C 的方向知,C 在Oxy 平面上的投影曲線相應地也是順時針的,于是t 從2到0. 在把參數方程代入被積表達式之前,先用C 的方程將被積表達式化簡,有 2220 22220

16、 ()()()(2)()(2)(2()()cos (2cos sin )cos (2()()02cos sin cos 2cos 0 2cos 2. C C I z y dx x z dy x y dz x dx x z dy z dz x t dx t t t t tdt z t dz t t t t t dt tdt =-+-+-=-+-+-=-+-+-=+-+=-=-? 方法2：用斯托克斯公式來計算.記S 為平面2x y z -+=上C 所圍有限部分,由L 的定向,按右手法則S 取下側. 原積分2S S dydz dzdx dxdy dxdy x y z z y x z x y ? =

17、=? ?. S 在xy 平面上的投影區域xy D 為221x y +.將第二類曲面積分化為二重積分得 原積分22xy D dxdy =- =-?. 這里因S 取下側,故公式取負號. (3)【解析】已掌握新技術人數()x t 的變化率,即 dx dt ,由題意可立即建立初值問題 0(), (0). dx kx N x dt x x ?=-?=? 把方程分離變量得 ,()dx kdt x N x =-111 ()dx kdt N x N x +=-. 積分可得 11ln x kt c N N x =+-,1kNt kNt cNe x ce =+. 以0(0)x x =代入確定00 x c N x

18、=-,故所求函數為000.kNt kNt Nx e x N x x e =-+ 四、(本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題7分,滿分13分.) (1)【分析】求出曲面2 2 :0S x y z +-=在點0(1,2,5)M -(位于S 上)處的切平面方程,再寫出L 的參數方程,L 上的點的坐標應滿足切平面方程,由此定出參數a 與b . 【解析】曲面S 在點0M 的法向量 2,2,12,4,1M n x y =-=-. 切平面的方程是 2(1)4(2)(5)0 x y z -+-=, 即 2450 x y z =. 將直線L 的方程改寫成參數方程 , (1) 3. y x b z a x

19、 ab =-? =? 將它代入平面方程得 24()(1)350 x x b a x ab +-=,即(5)420a x b ab +-=. 解得5,2a b =-=-. (2)【分析】(sin )x z f e y =是由一元函數()z f u =與二元函數sin x u e y =復合而成的二 元函數,它滿足方程 22222x z z e z x y ?+=?. (*) 為了求()f u ,我們將用復合函數求導法,導出z x ?,z y ?,22z x ?,22z y ?與(),()f u f u 的關系, 然后由(*)式導出()f u 滿足的常微分方程,從而求出()f u . 【解析】先用

20、復合函數求導法導出 2 2 222222()()sin ,()()cos ,()sin ()sin ,()cos ()sin .x x x x x x z u z u f u f u e y f u f u e y x x y y z z f u e y f u e y f u e y f u e y x y ?=?=+=-? 將后兩式代入(*)得 222222()()x x z z f u e e f u x y ?+=?,即 ()()0f u f u -=. 這是二階線性常系數齊次方程,相應的特征方程2 10-=的特征根為1=,因此求得 12()u u f u C e C e -=+,其中

21、1C 、2C 為任意常數. 五、(本題滿分6分) 【分析】通過變換將()x ?化為積分上限函數的形式,此時0 x ,但根據0 () lim x f x A x =,知 (0)0f =,從而1 (0)(0)0f dt ?=?,由此,利用積分上限函數的求導法則、 導數在一點處的定義以及函數連續的定義來判定()x ?在0 x =處的連續性. 【解析】由題設0 () lim x f x A x =知,(0)0,(0),f f A =且有(0)0?=.又 10 ()()()(0),x f u du x f xt dtu xt x x ?=? 于是 0 2 ()()()(0),x xf x f u du

22、x x x ?-= ? 由導數定義,有0 2 00 ()()(0) ()(0)lim lim lim 22 x x x x f u du x f x A x x x ?-=?. 而 0 22 00()()()()lim ()lim lim lim x x x x x x xf x f u du f u du f x x x x x ?-=-? (0)22 A A A ?=- =, 從而知()x ?在0 x =處連續. 評注：對1 ()()x f x t d t ?= ? 作積分變量變換xt u =時,必附加條件0 x .因此,由 1()()x x f u du x ?=?得到的()x ?也附加有條件0 x .從而(0)?應單獨去求. 六、(本題滿分8分) 【解析】(1)先證n a 單調有界. 顯然0(1,2, )n a n =,由初等不等式：對?非負數,x y 必有x y +,易知 1111 ()21(1,2,)22n n n