1、二項式定理第1頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日一、教材分析【教材的地位及作用】 “二項式定理”是高中數(shù)學新教材第二冊（下B）第十章第四節(jié)，它是安排在排列組合內(nèi)容后的自成體系的知識塊。實際上，它是初中學習的多項式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一種特殊的多項式-二項式乘方的展開式。它與后面學習的概率理論中的二項分布有內(nèi)在聯(lián)系，利用二項式定理可進一步深化對組合數(shù)的認識，因此，二項式定理起著承上啟下的作用，是本章教學的一個重點。 本小節(jié)約需3個課時，本節(jié)課是第一課時。第2頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【學生情況分析】 授課對象是高二中等程度班級的學生。學生具

2、有一般的歸納推理能力，學生思維較活躍，但創(chuàng)新思維能力較弱。在學習過程中，大部分學生只重視定理、公式的結(jié)論，而不重視其形成過程。 （根據(jù)以上分析，結(jié)合新課標的理念，制訂如下的教學目標和教學重、難點）。第3頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【教學目標】使學生掌握二項式定理及推導方法、二項展開式、通項公式的特點，并能運用二項式定理計算或證明一些簡單的問題。 1、知識目標：2、能力目標：在學生對二項式定理形成過程的參與探討過程中，培養(yǎng)學生觀察、猜想、歸納的能力，以及學生的化歸意識與知識遷移的能力。 3、情感目標：通過“二項式定理”的學習，培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的興趣和信心，讓學生感

3、受數(shù)學內(nèi)在的和諧、對稱美及數(shù)學符號應用的簡潔美，結(jié)合“楊輝三角”，對學生進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感和為國富民強而勤奮學習的熱情，培養(yǎng)學生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神。 第4頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【教學重點、難點、關(guān)鍵】重點：（1）使學生參與并深刻體會二項式定理的形成 過程，掌握二項式定理；（2）能正確應用二項式定理解決一些簡單的問題。 難點：（1）二項式系數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系；（2）二項展開式的應用及一些易混淆的概念。 突破難點的關(guān)鍵：（1）利用組合數(shù)及性質(zhì)分析“楊輝三角”中各數(shù)的關(guān)系 ；（2）利用組合的知識歸納二項式系數(shù)；（3）充分利用二項展開式及通

4、項公式。 第5頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日二、教法、學法分析 數(shù)學是一門培養(yǎng)人的思維發(fā)展的重要學科。因此，在教學中讓學生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律是最好的途徑。正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之，深固之。”本節(jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學原則以啟發(fā)學生主動學習，積極探求為主，創(chuàng)設(shè)一個以學生為主體，師生互動，共同探索的教與學的情境，采用引導發(fā)現(xiàn)法，由學生熟悉的多項式乘法入手，進行分析，又可利用組合的有關(guān)知識加以分析、歸納，通過對二項展開式規(guī)律的探索過程，培養(yǎng)學生由特殊到一般，經(jīng)過觀察分析、猜想、歸納（證明）來解決問題的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)了學生觀察、聯(lián)想、歸納能力。不僅重視知識的結(jié)果，

5、而且注重了知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)和解決的過程，貫徹了新課程標準的教學理念，培育了本節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點”，這對于學生建立完整的認知結(jié)構(gòu)是有積極意義的。 第6頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日三、教學手段 制作多媒體課件，以增加課堂容量，提高學生的興趣，使學生加深對定理、概念的理解。 第7頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日四、教學過程設(shè)計第8頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【復習引入： 】復習回顧： 提問初中學過的完全平方公式是什么？你能寫出 ， 設(shè)計意圖： 通過復習舊知識，自然引入，在這里設(shè)計了層層遞進多項式展開問題，目的是為

6、了讓學生了解知識發(fā)生、發(fā)展的過程，激發(fā)學生的認知的沖突，讓學生明白 實質(zhì)上是多項式的乘法。 第9頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日思路一：提問：(1)、以 為例，展開式中各項字母的形式是什么？展開式項的次數(shù)是什么？有幾項？(2)、 展開式中各項的系數(shù)與 展開式中各項的系數(shù)有沒有關(guān)系？(3)、你能猜想 展開式的形式嗎？觀察下列幾個等式：第10頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【設(shè)計意圖 ： 】 由特殊的二項式來分析猜想一般的 展開式，培養(yǎng)學生由特殊到一般的思維方式，培養(yǎng)學生大膽探索的精神。 第11頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日

7、（）、展開式中各項是 的形式，可按a（或b）的降冪排成：（）、展開式中各項系數(shù)的規(guī)律：將 中 展開式的系數(shù)列成表如下： 1 1 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 1 發(fā)現(xiàn)：第12頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日 發(fā)現(xiàn)每行兩端都是，后一行其它各數(shù)是上一行肩上二數(shù)之和。再從一個數(shù)等于另二數(shù)之和聯(lián)想到結(jié)合數(shù)及其性質(zhì)： ，于是各項系數(shù)可寫成表中形式： 由此猜想 展開式的各項系數(shù)： 第13頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【設(shè)計意圖 ： 】 學生對各項是 形式不難猜到，但對二項式系數(shù)不易想到。通過“楊輝三角”中的數(shù)字規(guī)律，聯(lián)想到組合數(shù)及性質(zhì)，進而可用

8、組合數(shù)來表示表中的數(shù)，從而猜想 各項系數(shù)為 ，讓學生的思維從特殊到一般，由迷茫到大悟，使學生深深體會到數(shù)學內(nèi)在的和諧、對稱美。在此，適時對學生進行愛國主義教育，激發(fā)學生的民族自豪感和學習數(shù)學的熱情。 第14頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日思路二：觀察下式： 由多項式乘法知，其展開式的每一項是由4個括號各取一項相乘而得，故每一項都是 形式，即 .各項系數(shù)是由相同的項合并而成的，有幾項其系數(shù)就是幾，故 第15頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日含 的項只能由每個括號取a不取b（或說取0個b）而得，即 ，系數(shù)為；含 的項只能由3個括號取a，余下的1個括號取

9、b而得，即 ，系數(shù)為；含 的項只能由2個括號取a，余下的2個括號取b而得，即 ，系數(shù)為；含 的項只能由1個括號取a，余下的3個括號取b而得，即 ，系數(shù)為；含 的項只能由4個括號都取b而得，即 ，系數(shù)為； 從而可得：第16頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日提問： 的展開式怎么寫呢？ 引導學生回答：可以對b分類： 不取b，得取1個b，得取2個b，得取k個b，得取n-1個b，得取n個b，得 將這n+1個式子相加，可得二項式定理 第17頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【設(shè)計意圖 ： 】 本環(huán)節(jié)以問題為中心，由淺入深地引導學生大膽猜想。利用組合知識，充分揭示

10、二項展開式的內(nèi)涵和外延。幫助學生建構(gòu)和完善自己的認知結(jié)構(gòu)，既顯得合情合理，又科學嚴謹。進一步強化學生的邏輯思維能力和歸納能力。 第18頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日完善結(jié)論：把上述探索得到的結(jié)果叫做二項式定理，右邊的多項式，共有n+1項，其中各項系數(shù) 叫做二項式系數(shù)，其通項公式為： . 第19頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日說明 ：（1）、猜證法是數(shù)學中常用方法，本定理是由不完全歸納法得出，需加以證明。其證明因目前知識所限，留待以后完成，目前，只要求同學熟記并會應用。（2）、二項式定理是個恒等式，定理中字母a、b可表示數(shù)或式，其中 .（3）、展

11、開式共有n+1項，各項次數(shù)為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。（4）、通項公式表示的是第r+1項，不是第r項，且a、b位置不能對換。（5）、二項式系數(shù)為 ，注意與項的系數(shù)的區(qū)別。 例如： 的第三項是 ，其二項式系數(shù)為： ，第三項的系數(shù)為： 。 第20頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【設(shè)計意圖 ： 】 對定理的特點加以說明，可使學生能熟練掌握定理的特點，以便今后在應用定理解決問題時能得心應手。 第21頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日應用解析：例：（1）、展開 （2）、求 展開式的第3項 （學生練習:） （3）、求 展開式的第3項 第22頁，共32頁

12、，2022年，5月20日，8點32分，星期日【設(shè)計意圖 ： 】例（1）是對二項式定理的簡單應用，目的在于對定理字母a、b所表示的數(shù)或式的領(lǐng)會及運用定理的能力；例（2）、（3）二題著重于學生對通項公式的掌握，體會二項式定理 的展開式中a與b位置不能對換，并注意到例（3）的結(jié)論正是例（2）展開式中的倒數(shù)第3項。 第23頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日應用解析：例（4）、 的展開式中， 項的系數(shù)是多少？ 第24頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日【設(shè)計意圖 ： 】 本題可先將其中的二項看成一個整體，再用二項式定理展開，進而求出其系數(shù)，這種解法體現(xiàn)了化歸的意

13、識，但本題如能根據(jù)二項式定理的形成過程中項的系數(shù)的探究，可得如下解法：從7個括號的2個里取“a”得 ，再從余下的5個括號中的3個取“2b”得 ，最后剩下的2個括號里取“3c”得： ，由分步計數(shù)原理得： 通過本題的學習，有利于學生對知識的串聯(lián)、累積、加工，使學生的思維有一個升華過程，從而達到舉一反三的效果，加深學生對數(shù)學本質(zhì)的理解。 第25頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日小結(jié) 思路一：由特殊的二項式來分析猜想一般的 展開式 思路二：根據(jù)多項式乘法、結(jié)合組合知識，通過猜想歸納得到 二項式定理： 及通項公式： 第26頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日注意

14、事項 （a）、注意觀察、分析、猜想、歸納（證明）的數(shù)學方法。（b）、二項式定理是個恒等式，定理中字母a、b可表示數(shù)或式，其中 .（c）、展開式共有n+1項，各項次數(shù)為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。（d）、通項公式表示的是第r+1項，不是第r項，且a、b位置不能對換。 （e）、二項式系數(shù)為 ，注意與項的系數(shù)的區(qū)別。 第27頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日布置作業(yè)1、課本作業(yè)：113 1、（1），2、（2），3、（3） 2、思考題：求 的展開式中x的系數(shù) 3、研究性題： 的展開式中x的系數(shù)為19，求 的系數(shù)的最小值及此時展開式中 的系數(shù)。 第28頁，共32頁，2022年

15、，5月20日，8點32分，星期日【設(shè)計意圖 ： 】（1）、本節(jié)課從知識上學習了二項式定理及通項公式，從方法上通過二項式定理的形成過程，學會了觀察、分析、猜想、歸納（證明）的數(shù)學方法，通過小結(jié)，使學生對本節(jié)課的知識脈絡(luò)更加清晰。（2）、通過作業(yè)鞏固所學知識，發(fā)現(xiàn)和彌補教學中的疏漏與不足，強化基本技能訓練，培養(yǎng)學生良好的學習習慣和品質(zhì)。 第29頁，共32頁，2022年，5月20日，8點32分，星期日五、課后反思本節(jié)課是二項式定理的第一節(jié)課，在教學中注意以下幾點：1、本節(jié)課以“二項式定理”的形成過程為主線，讓學生思維由特殊到一般，演繹、歸納，得出定理。培養(yǎng)學生猜想、歸納，整節(jié)課以學生為主體，師生互動，體現(xiàn)了新課標的教學理念。2、在例題、練習、作業(yè)的配備上，我認為高中學習的特點是跨度大，思維能力要求高。因此，在題目的設(shè)置上，加大了思維的含量，如例4，讓學生體會到二項式定理形成過程中的思維方式，培養(yǎng)了學生的知識遷移能力，因此，我認為習題的搭配應力求讓學生處理每一個問題都必須有所思考，使學生體會到：數(shù)學不能生搬硬套，應該用數(shù)學的思想方法去學習數(shù)學、認識數(shù)學。3、以學生為主體，讓學生自己去探索、發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，最能調(diào)動學生的積極性，最有利于培養(yǎng)數(shù)學能力，特別是創(chuàng)造性能力，從數(shù)學教育對人的發(fā)展的意義看，