1、PAGE PAGE 8數值計算方法第一次作業及參考答案已測得函數的三對數據：0，1，1，5，2，1，1用Lagrange插值求二次插值多項式。2構造差商表。3用Newton插值求二次插值多項式。解：(1)Lagrange插值基函數為同理 故 2令，那么一階差商、二階差商為 實際演算中可列一張差商表：一階差商二階差商011542121 3用對角線上的數據寫出插值多項式在上給出的等距節點函數表，假設用二次插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，問使用函數表的步長應取多少？解：求在a,b上的分段線性插值函數，并估計誤差。解：單調連續函數的如下數據0.110.001.501.801.230.101.171

2、.58用插值法計算約為多少時小數點后至少保存4位解：作輔助函數那么問題轉化為為多少時，此時可作新的關于的函數表。由單調連續知也單調連續，因此可對的數值進行反插。的牛頓型插值多項式為故 設函數在區間0,3上具有四階連續導數,試用埃爾米特插值法,求一個次數不高于3的多項式，使其滿足，, 。并寫出誤差估計式。解：由所給條件可用埃爾米特插值法確定多項式， 由題意可設為確定待定函數，作輔助函數： 那么在0,3上存在四階導數且在0,3上至少有5個零點為二重零點，反復應用羅爾定理，知至少有一個零點使，從而得。故誤差估計式為設函數在節點的函數值均為零，試分別求滿足以下邊界條件下的三次樣條插值函數：1 2解：1

3、取處的一階導數作為參數，。由于以及由三轉角方程 得 由于從而 解之可得故 2取處的二階導數作為參數，。由于以及由三彎矩方程由于代入方程可得 故 7編程實現題：略。8、試求最正確一次一致逼近多項式。解：因為在內不變號，故最正確一次一致逼近多項式為式中 從而 9、給定，試利用最小零偏差定理，即切比雪夫多項式的最小零偏差性質，在上求的三次最正確一致逼近多項式。解：令設為在上的三次最正確一致逼近多項式，由于的首項系數為，故 10、設，分別在上求一函數，使其為的最正確平方逼近，并比較其結果。解： 由結果知1比2好。11、用最小二乘法求一個形如的經驗公式，使它與以下數據擬合，并計算均方誤差。1925313

4、84419.032.349.073.397.8解：12、用格拉姆施密特方法構造正交多項式求在0，1上的二次最正確平方逼近多項式。參考講義與參考書解： 構造正交多項式于是所以，在0，1上的二次最正確平方逼近多項式為13、求在1，1上的三次最正確平方逼近多項式。參考講義與參考書，利用Legendre正交多項式解 先計算。；又有 ， ，得 均方誤差14、 A、B、C三點連成一條直線，AB長為，BC長為，某人測量的結果為米，米，為控制丈量的準確性，又測量米，試合理地決定和的長度。小數點后取四位有效數字解：令為AB的所求值，為BC的所求值，那么在最小二乘意義下，要到達極小，即求的極小點。令解的。故應取。

5、15、求函數在區間1，1上的近似3次最正確一致逼近多項式有哪幾種方法？選一種方法解此題，并估計誤差。參考講義與參考書解：三種方法，見參考講義。截斷切比雪夫級數 由富利葉級數系數公式得，它可用數值積分方法計算，得到由 及的公式得到拉格朗日插值余項的極小化由的4個零點 做插值點可求得，臺勞級數項數的節約應用的臺勞展開，取，得作為的近似，其誤差為，由于那么 其中用做的逼近多項式，其誤差為 假設再用代入可求出16.編出用正交多項式(格拉姆施密特)作最小二乘擬合的程序或框圖。參考講義與參考書 略。17 確定以下求積公式中的待定參數，使其代數精度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數進度。12解：1

6、三個參數，代入18、，推導以這三個點為求積節點在0，1上的插值型求積公式。求上述求積公式的代數精確度。3 用上述公式計算。解：1過三點的二次插值為故有 其中 故求積公式為 2因為上述由二次插值推出，故至少具有二次代數精度，將代入有故該求積公式的代數精度為3次。 319、如果要用復化梯形公式計算積分，試問應將積分區間a,b分成多少份，才能保證誤差不超過。解：將a,b分成n份的復化梯形公式的余項為記，那么按要求應滿足故 ，為上取整。20、勒讓德Legendre正交多項式有三項遞推關系式：試確定三點的高斯勒讓德GL求積公式 的求積系數和節點，并利用此公式寫出的計算式無需計算結果。解：由遞推關系式得三次勒讓德正交多項式令，其三個零點為那么所求的高斯求積公式為因三點的高斯求積公式具有5次代數精確