1、目錄第一章 開關(guān)電路開關(guān)電路（2）開關(guān)電路的數(shù)學(xué)表示（3）第二章 布爾代數(shù)1布爾代數(shù)（2）2布爾代數(shù)模型集合運(yùn)算模型（1） 3布爾代數(shù)模型命題運(yùn)算模型（1） 4運(yùn)算的比較（1）第三章 布爾函數(shù)布爾多項(xiàng)式及其化簡(jiǎn)（2）布爾函數(shù)（2）第四章 應(yīng)用開關(guān)電路設(shè)計(jì)開關(guān)電路設(shè)計(jì)（一）（1）開關(guān)電路設(shè)計(jì)（二）（1）2021/8/8 星期日1一、開關(guān)電路的數(shù)學(xué)表示串聯(lián)開關(guān)電路并聯(lián)開關(guān)電路逆反開關(guān)電路2021/8/8 星期日2串聯(lián)開關(guān)電路 電路只有兩種狀態(tài)：通、不通。用數(shù)字“1”表示電路“通”這種狀態(tài)，用數(shù)字“0”表示電路“不通”這種狀態(tài)。 開關(guān)電路A的狀態(tài)開關(guān)電路B的狀態(tài)A與B的串聯(lián)電路D的狀態(tài)0011010

2、100012021/8/8 星期日3并聯(lián)開關(guān)電路 電路只有兩種狀態(tài)：通、不通。用數(shù)字“1”表示電路“通”這種狀態(tài)，用數(shù)字“0”表示電路“不通”這種狀態(tài)。 開關(guān)電路A的狀態(tài)開關(guān)電路B的狀態(tài)A與B的并聯(lián)電路D的狀態(tài)0011010101112021/8/8 星期日4逆反開關(guān)電路 電路只有兩種狀態(tài)：通、不通。用數(shù)字“1”表示電路“通”這種狀態(tài)，用數(shù)字“0”表示電路“不通”這種狀態(tài)。 開關(guān)電路A的狀態(tài) A的逆反電路 的狀態(tài) 0 1 1 02021/8/8 星期日5二、開關(guān)電路的數(shù)學(xué)模型 0-1布爾代數(shù) 2021/8/8 星期日6 集合0，1與三種運(yùn)算+，其運(yùn)算規(guī)律：加法：，；乘法：00=0，01=0，1

3、0=0，11=1；逆：，。構(gòu)成一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型。我們稱其為0-1布爾代數(shù)，記為0，1；+，。 0-1布爾代數(shù)2021/8/8 星期日7三、布爾代數(shù)與實(shí)數(shù)運(yùn)算的 異同 2021/8/8 星期日8 0，1上的布爾加法、乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)R上的加法、乘法運(yùn)算有相同的性質(zhì)，這些相同的性質(zhì)主要有：（1）0，1上的布爾加法運(yùn)算與實(shí)數(shù)R上的加法運(yùn)算都滿足結(jié)合律、交換律；（2）0，1上的布爾乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)R上的乘法運(yùn)算都滿足結(jié)合律、交換律；（3）0，1上的布爾加法、乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)R上的加法、乘法運(yùn)算都滿足乘法對(duì)加法的分配律。（4）它們的加法運(yùn)算都有0元。相同點(diǎn)2021/8/8 星期日9不同點(diǎn) 在布爾代數(shù)中一個(gè)最

4、基本的性質(zhì)是：1+x=1，稱之為01律，這是與實(shí)數(shù)運(yùn)算最不同的性質(zhì)。由這一條性質(zhì)和布爾代數(shù)的其他性質(zhì)，可以驗(yàn)證以下性質(zhì)： 加法對(duì)乘法的分配律：x+yz = (x+y)(x+z) 吸收律：x+xy=x，x(x+y)=x 冪等律：x+x=x，xx=x 但實(shí)數(shù)R上的加法、乘法運(yùn)算不滿足加法對(duì)乘法的分配律、吸收律、冪等律。 實(shí)數(shù)R上的運(yùn)算的有些性質(zhì)0，1上的布爾運(yùn)算不滿足。 如，對(duì)于任意aR，有aR，使得a+(a)=0，即R中每一個(gè)數(shù)都有它的相反數(shù)。由于01律，所以0，1上的布爾加法運(yùn)算不滿足上面的性質(zhì)。2021/8/8 星期日10不同點(diǎn)在布爾代數(shù)中，有一種特殊的運(yùn)算求逆。在實(shí)數(shù)中不具有這種運(yùn)算。布爾

5、代數(shù)具有以下性質(zhì)：(x+y)=xy;(xy)=x+y.通常稱之為德莫根公式。這些不同點(diǎn)在電路設(shè)計(jì)、布爾多項(xiàng)式、布爾函數(shù)中發(fā)揮作用。例如，一元布爾多項(xiàng)式?jīng)]有高次項(xiàng)。2021/8/8 星期日11四、一般的布爾代數(shù) 2021/8/8 星期日12 任給一個(gè)集合M，它的元素可以是有限個(gè)，也可以是無限多個(gè)，若對(duì)集合的元素定義了一個(gè)加法運(yùn)算“”，一個(gè)乘法運(yùn)算“”和一個(gè)逆運(yùn)算“”，且這三種運(yùn)算都具有封閉性（即運(yùn)算的結(jié)果還是M中的元素），若這些運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律、分配律、吸收律、互補(bǔ)律、0-1律、德莫根律、冪等律、雙重逆反律九條性質(zhì)，就稱M；+， 是一個(gè)布爾代數(shù)。布爾代數(shù)2021/8/8 星期日13五、布爾

6、代數(shù)的兩個(gè)具體例子集合運(yùn)算 命題運(yùn)算 2021/8/8 星期日14 集合P（X）與P（X）上的三種運(yùn)算、CX構(gòu)成一個(gè)布爾代數(shù)的模型，記為 P（X）；、CX 。 集合運(yùn)算2021/8/8 星期日15集合運(yùn)算我們可以推出P（X）上的三種運(yùn)算“”、“”、“CX”滿足如下性質(zhì)：（1）結(jié)合律 （ A B） C =A（B C）（ A B） C =A（B C）（2）交換律 AB= BA ，AB= BA（3）分配律A（B C）=（ A B） （AC）（交對(duì)并的分配律）A（B C）=（ A B） （AC）（并對(duì)交的分配律）2021/8/8 星期日16集合運(yùn)算（4）吸收律 A（AB）= A，A（AB）（5）互補(bǔ)律

7、 AC X A= X，AC X A= （6）X律 AX= X ，A= （7）德莫根律 C X（AB）= C X A C X B； C X（AB）= C X A C X B（8）冪等律 AA= A ，AA= A（9）雙重求補(bǔ)律 C X（C X A）=A 2021/8/8 星期日17 把所有命題的集合記為M。這樣，“，”就構(gòu)成集合M上的三種運(yùn)算。由于集合M 上的三種運(yùn)算“，”滿足布爾代數(shù)模型的九條性質(zhì)，所以，集合M與三種運(yùn)算“，”構(gòu)成一個(gè)布爾代數(shù)模型，記為M；，。命題運(yùn)算2021/8/8 星期日18六、布爾函數(shù)多項(xiàng)式的函數(shù)形式如何求出給定布爾函數(shù)的布爾多項(xiàng)式表達(dá)式 2021/8/8 星期日19 我

8、們把布爾代數(shù)中的變量x，y，z，以及常量0，1用三種布爾運(yùn)算+，聯(lián)結(jié)起來的式子稱為布爾多項(xiàng)式。 布爾多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)需要運(yùn)用布爾代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律。在化簡(jiǎn)布爾多項(xiàng)式時(shí)，我們約定“先乘后加，略去乘號(hào)”，并隨時(shí)運(yùn)用布爾代數(shù)的運(yùn)算律。 通常，我們把布爾多項(xiàng)式化成乘積的和的形式。但乘積的和的形式不一定是最簡(jiǎn)形式，有時(shí)，還需要運(yùn)用布爾代數(shù)的運(yùn)算律進(jìn)一步化簡(jiǎn)，直到變?cè)禹?xiàng)數(shù)盡可能少。布爾多項(xiàng)式及其化簡(jiǎn)原則2021/8/8 星期日20拉格朗日插值法問題：我們能否構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)y=f(x)，使得當(dāng)x=x1時(shí)，y=y1; 當(dāng)x=x2時(shí)，y=y2;當(dāng) x=x3時(shí)，y=y3; 當(dāng)x=x1時(shí)，y=y1;當(dāng)x=x4時(shí)，y=

9、y4？2021/8/8 星期日21拉格朗日插值法第一步，構(gòu)造特征函數(shù)我們構(gòu)造函數(shù) ，那么該函數(shù)滿足當(dāng)?shù)卯?dāng)x=x1時(shí)，y=1; 當(dāng)x=x2 ，x3，x4時(shí)，y都等于0。同理，我們還可以構(gòu)造函數(shù) 當(dāng)x=x2時(shí)，y=1; 當(dāng)x=x1 ，x3，x4時(shí)，y都等于0。2021/8/8 星期日22拉格朗日插值法第二步，線性組合。那么，滿足條件的特征多項(xiàng)式為：2021/8/8 星期日23如何求出給定布爾函數(shù)的布爾多項(xiàng)式表達(dá)式什么叫給定的布爾函數(shù)？確定布爾多項(xiàng)式的方法插值法 分兩步來進(jìn)行： 第一步，確定特征函數(shù)。 第二步，給出特征函數(shù)的線性組合。2021/8/8 星期日24如何求出給定布爾函數(shù)的布爾多項(xiàng)式表達(dá)式

10、2021/8/8 星期日25如何求出給定布爾函數(shù)的布爾多項(xiàng)式表達(dá)式第一步，確定特征函數(shù)。2021/8/8 星期日26如何求出給定布爾函數(shù)的布爾多項(xiàng)式表達(dá)式第二步，給出特征函數(shù)的線性組合。 2021/8/8 星期日27七、應(yīng)用2021/8/8 星期日28 電子鎖的設(shè)計(jì) 某公司打算在倉庫門上裝一把電子鎖，配三把不同的鑰匙，分別由主任、會(huì)計(jì)、出納三人保管。只有三種情況才能打開鎖,主任、會(huì)計(jì)在場(chǎng)；主任、出納在場(chǎng)；主任、會(huì)計(jì)、出納三都在場(chǎng)。如何設(shè)計(jì)電子鎖的電路？分析理解 該問題相當(dāng)于三個(gè)人控制的一個(gè)開關(guān)電路，我們用、分別表示主任、會(huì)計(jì)、出納控制的開關(guān)，用表示整個(gè)電路的狀態(tài)。W可以看作是、的一個(gè)布爾函數(shù)。我們的問題就變成如何確定這個(gè)布爾函數(shù)。2021/8/8 星期日29 問題解決 第一步 ：根據(jù)問題要求，我們不難知道，只有當(dāng) 等于1， 與 中至少有一個(gè)為1時(shí)， 為1；對(duì)于 、 、 的其它取值， 均為0。列表如下： = 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 101100101 1 1 1 0 0 0 0 02021/8/8 星期日30 第二步： 確定