1、高中數學向量的內積概念第1頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四定義1 設有 n 維向量向量內積的概念在空間解析幾何中，兩向量的數量積在直角坐標系中表示為推廣到 n 維向量即有：上頁下頁返回內積。第2頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四內積的運算規律：上頁下頁返回第3頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四向量的長度由向量內積的性質(v) 自然引入向量的長度。定義1 令向量長度的性質：上頁下頁返回單位向量。第4頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四正交向量組：指一組兩兩正交的非零向量。向量的正交性 空間解析幾何中兩向量垂直

2、推廣到 n 維向量，可得向量的正交性概念。上頁下頁返回夾角。第5頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四定理1證上頁下頁返回第6頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四例1解 已知 3 維向量空間 R 3 中兩個向量上頁下頁返回第7頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四上頁下頁返回第8頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四就是 R 4 的一個正交規范基。向量空間的規范正交基定義3上頁下頁返回第9頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四上頁下頁返回第10頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四向量

3、組的正交規范化上頁下頁返回第11頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四上頁下頁返回第12頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四就得 V 的一個正交規范基。然后只要把它們單位化，即取上頁下頁返回第13頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四試用施密特正交化過程把這組向量正交規范化。解例2上頁下頁返回第14頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四再把它們單位化，取上頁下頁返回第15頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四解例 3它的基礎解系為上頁下頁返回第16頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四

4、把基礎解系正交化，即為所求。取上頁下頁返回第17頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四 由于正交化過程十分繁鎖，因而在求正交向量組時，只要抓住向量正交的本質，可以避免正交化過程。x1 + x2 + x3 = 0的基礎解系為例，使得前兩個分量與的前兩個分量對應乘積之和為零即可，容易驗證要求兩兩正交的基礎解系，只要取從而取以例3中求齊次線性方程組上頁下頁返回第18頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四Ex.1解其基礎解系可取為上頁下頁返回第19頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四 定義4 如果 n 階方陣 A 滿足AT A = E ( 即 A

5、1 = AT ),那么稱 A 為正交陣。 上式用 A 的列向量表示，即是上頁下頁返回第20頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四是正交陣。例4 解 P 的每一個行向量都是單位向量，且兩兩正交，所以 P 是正交陣。驗證矩陣上頁下頁返回這就說明：方陣A 為正交陣的充分必要條件是A 的列( 行)向量都是單位向量且兩兩正交。從而正交陣A 的n 個列( 行)向量構成向量空間 R n 的一個規范正交基。第21頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四 定義5 若 P 為正交陣，則線性變換 y = P x 稱為正交變換。 這就說明：正交變換保持線段長度保持不變。從而利用正交變換化二次型為標準形不會改變二次型的幾何特征。設 y = P x 是正交變換，則有上頁下頁返回第22頁，共23頁，2022年，5月20日，9點17分，星期四 (i). 正交矩陣A 的行列式 |A| = 1 或|A| = 1; (ii). 正交矩陣A 是可逆的，且A1 =AT ； (iii). 正交矩陣A 的逆矩陣A1 也是正交矩陣； (iv).