1、簡明材料力學第二版第八章應力狀態分析和強度理論分析簡明材料力學第二版第八章應力狀態分析和強度理論分析 8-1 應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/92 8-1 應力狀態的概述 第八章 應力狀態分析和強度理論8-1 應力狀態的概念 無論是強度分析還是剛度分析，都需要求出應力的極值，為了找到構件內最大應力的位置和方向，需要對各點的應

2、力情況做出分析，一個點在各個方向上的應力分布就是點的應力狀態。強度條件回顧： 三種基本變形；應力，強度條件；變形，剛度條件拉壓：扭轉：彎曲：2022/9/938-1 應力狀態的概念 無論是強度分析還是剛度分析低 碳 鋼 塑性材料拉伸時為什么會出現滑移線？鑄 鐵問題的提出8-1 應力狀態的概念 單向拉伸時斜截面上的應力2022/9/94低 碳 鋼 塑性材料拉伸時為什么會出現滑移線？鑄 鐵問脆性材料扭轉時為什么沿45螺旋面斷開？8-1 應力狀態的概念 單向拉伸時斜截面上的應力問題的提出低 碳 鋼鑄 鐵2022/9/95脆性材料扭轉時為什么沿45螺旋面斷開？8-1 應力狀態的 橫截面上正應力分析和切

3、應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。橫力彎曲8-1 應力狀態的概念 單向拉伸時斜截面上的應力2022/9/96 橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明： 直桿拉伸應力分析結果表明：即使同一點不同方向面上的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。 直桿拉伸8-1 應力狀態的概念 單向拉伸時斜截面上的應力設桿的橫截面面積為A，則斜截面面積為：2022/9/97 直桿拉伸應力分析結果表明：即使同一點不同8-1 單向拉伸時斜截面上的應力當 時：當 時：當 時：當 時：當 時：當 時：單元體：尺寸均無窮小，因此每個面上應力都是均勻的；相互平行的截面上應力相等，單元體的

4、應力狀態可代表一點的應力狀態。2022/9/988-1 單向拉伸時斜截面上的應力當 yxz 單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力，分別用 表示，并且該單元體稱為主應力單元體。8-1 單向拉伸時斜截面上的應力2022/9/99yxz 單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正（1）單向應力狀態：三個主應力中只有一個不為零（2）平面應力狀態：三個主應力中有兩個不為零（3）空間應力狀態：三個主應力都不等于零平面應力狀態和空間應力狀態統稱為復雜應力狀態。8-1 單向拉伸時斜截面上的應力2022/9/910（1）單向應力狀態：三個主應力中只有一個不為零平面應力狀態和 8-1

5、應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/911 8-1 應力狀態的概述 第八章 應力狀態分析和強度理論8-2 二向和三向應力狀態的實例 薄壁圓筒(壁厚遠小于直徑)端部總壓力：pn D已知：p, D, 求取研究對象如圖。pnnmmLD CAB2022/9/9128-2 二向和三向應力狀態的實例 薄壁圓筒(壁厚遠小于直 求即：內壓力在y

6、方向的投影等于內壓乘以投影面積。所以Lmnmnp pFNFNDyd8-2 二向和三向應力狀態的實例2022/9/913 求即：內壓力在y方向的投影等于內壓乘以投影面積。所以可以看出：軸向應力 是環向應力的一半。對于薄壁圓筒，有： 所以，可以忽略內表面受到的內壓p和外表面受到的大氣壓強，近似作為二向應力狀態處理。pnnmmLD CAB8-2 二向和三向應力狀態的實例2022/9/914可以看出：軸向應力 是環向應力的一半。對于薄壁圓筒例8.1: 已知：蒸汽鍋爐，=10mm, D=1m,p=3MPa 。解：求：三個主應力。前面已得到pnnmmLD CAB8-2 二向和三向應力狀態的實例2022/9

7、/915例8.1: 已知：蒸汽鍋爐，=10mm, D=1m,p=3 滾珠軸承A8-2 二向和三向應力狀態的實例 火車車輪與鋼軌的接觸點也是三向應力狀態s3s1s2A2022/9/916 滾珠軸承A8-2 二向和三向應力狀態的實例 火車車輪 8-1 應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/917 8-1 應力狀態的概述 第八章 應力狀

8、態分析和強度理論8-3 二向應力狀態分析問題：在二向應力狀態下，已知過一點的某些截面上的應力時，求出過該點的任一截面上的應力，從而確定主應力和主平面。xyyxxyxxyyyxyxDCBA二向應力狀態x表示作用面的法線y表示切應力的方向yxxyxyxxyxyxyyDCBA 切應力的下標含義： 二向應力狀態的表示2022/9/9188-3 二向應力狀態分析問題：在二向應力狀態下，已知過一點8-3 二向應力狀態分析 關于正負號的規定 切應力:使單元體順時針方向轉動為正；反之為負。 正應力: 截面的方向角由x正向逆時針轉到截面的外法線n的正向的角為正;反之為負。yx2022/9/9198-3 二向應力

9、狀態分析 關于正負號的規定 切應力:使單8-3 二向應力狀態分析求任意斜截面上的應力yxxyxyxxyxyxyyntDCBAxyxyxyxnt由平衡條件2022/9/9208-3 二向應力狀態分析求任意斜截面上的應力yxxyxsysxsataa8-3 二向應力狀態分析求任意斜截面上的應力考慮到切應力互等定理：xy=yx以及利用三角函數關系：2022/9/921sysxsataa8-3 二向應力狀態分析求任意斜截面上的 求極值應力（最大正應力和最小正應力）令：此時，取極值的正應力為主應力。yxxyxyxxyxyxyyntDCBA平面應力狀態下的主應力為： 可以看出：當 時，若 滿足上式，則 也滿

10、足上式，代入公式可得：2022/9/922 求極值應力（最大正應力和最小正應力）令：此時，取極值的正應 正應力的不變量截面上的正應力為: +90 截面上的正應力為:任意兩個互相垂直的截面上的正應力之和為常數.8-3 二向應力狀態分析2022/9/923 正應力的不變量截面上的正應力為: +90 截面上的正 最大切應力和最小切應力令：若 1 滿足上式，則 1 +90也滿足上式，代入公式可得：yxxyxyxxyxyxyyntDCBA8-3 二向應力狀態分析2022/9/924 最大切應力和最小切應力令：若 1 滿足上式，則 1 +若 1 滿足上式，則 1 +90也滿足上式，代入公式可得： 切應力的

11、極值稱為主切應力。 主切應力所在的平面稱為主剪平面。 主剪平面上的正應力將 1 和 1 +90 代入公式可得：即： 主剪平面上的正應力為平均正應力。8-3 二向應力狀態分析2022/9/925若 1 滿足上式，則 1 +90也滿足上式，代入公式可 主平面與主剪平面的關系由 0 和 1 的公式可得：即：主平面與主剪平面的夾角為45。8-3 二向應力狀態分析2022/9/926 主平面與主剪平面的關系由 0 和 1 的公式可得：即：試求（1） 斜面上的應力； （2）主應力、主平面； （3）繪出主應力單元體。例：一點處的平面應力狀態如圖所示。 已知8-3 二向應力狀態分析2022/9/927試求（1

12、） 斜面上的應力；例：一點處的平面應力狀態如圖所示解：（1） 斜面上的應力8-3 二向應力狀態分析2022/9/928解：（1） 斜面上的應力8-3 二向應力狀態分析202（2）主應力、主平面8-3 二向應力狀態分析2022/9/929（2）主應力、主平面8-3 二向應力狀態分析2022/9主平面的方位：代入 表達式可知主應力 方向：主應力 方向：目錄8-3 二向應力狀態分析2022/9/930主平面的方位：代入 表達式可知主應力 方向：主（3）主應力單元體：目錄8-3 二向應力狀態分析作業：8.1 （a,c）,8.2（a,c,e）2022/9/931（3）主應力單元體：目錄8-3 二向應力狀

13、態分析作業：88-3 二向應力狀態分析例8.3：討論圓軸扭轉時的應力狀態，并分析鑄鐵試樣受扭時的破壞現象。2022/9/9328-3 二向應力狀態分析例8.3：討論圓軸扭轉時的應力狀態 8-1 應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/933 8-1 應力狀態的概述 第八章 應力狀態分析和強度理論這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力

14、圓。 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法）上兩式取平方后相加得： 變形為消去2022/9/934這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓。 8-4 二向應RC應力圓： 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法）2022/9/935RC應力圓： 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法）2022應力圓的畫法D(sx ,txy)D/(sy ,tyx)cRADxy 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法）2022/9/936應力圓的畫法D(sx ,txy)D/(sy ,tyx)cRA應力圓的畫法D(sx ,txy)D/(sy ,tyx)cRADxy 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法）建立O直角坐標系;

15、按選定的比例尺，在O坐標系中定出x面上的點D1( )和y面上的點D2( ); 連接兩點得到交點，即為應力圓的圓心C。2022/9/937應力圓的畫法D(sx ,txy)D/(sy ,tyx)cRA 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法） 應力圓是在以橫坐標軸為 ，縱坐標軸為上畫出； 應力圓的圓周上的每一個點分別代表著所研究的單元體上某一斜截面上的正應力和切應力； 應力圓上的點的縱、橫坐標與單元體上的截面的切、正應力，有著一一對應的關系，稱為“點面對應”。D(sx ,txy)D/(sy ,tyx)cxyHnH2022/9/938 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法） 應力圓是在以橫坐標（y，-

16、y)OntyxxxxxyyyyDCBAD1D2C（x，x) 應力圓上的每一點表示單元體上斜截面的正應力和切應力，如果欲求任意斜截面上的應力，只要按斜面的方向從x面轉過2倍的角度即可得到該面的應力。E2 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法）2022/9/939（y，-y)Ontyxxxxxyy（y，-y)OntyxxxxxyyyyDCBAD1D2C（x，x)E2主應力和最大切應力A1A2maxmaxminG1注意應力圓的A1、A2點和G1點 8-4 二向應力狀態的應力圓（圖解法）2022/9/940（y，-y)Ontyxxxxxyy 8-1 應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二

17、向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/941 8-1 應力狀態的概述 第八章 應力狀態分析和強度理論定義三個主應力都不為零的應力狀態 8-5 三向應力狀態簡介2022/9/942定義三個主應力都不為零的應力狀態 8-5 三向應力狀態簡介2 8-5 三向應力狀態簡介 三向應力狀態的應力圓設三個主應力均已知。s1s1szs2s3s3平行于s1的方向面,由s2 、 s3可作出應力圓 I;

18、平行于s2的方向面,由s1 、s3可作出應力圓 II;平行于s3的方向面,由s1、s2可作出應力圓 IIIs3s2s1IIIs2s3IIIs1 s3s2s1tsIIIIIIs3s2s12022/9/943 8-5 三向應力狀態簡介 三向應力狀態的應力圓設三個主應 最大切應力tsIIIIIIs3s2s1tttmax=t 在三組特殊方向面中都有各自的面內最大切應力,即： 8-5 三向應力狀態簡介2022/9/944 最大切應力tsIIIIIIs3s2s1tttma20030050otmax 平面應力狀態作為三向應力狀態的特例平面應力狀態作為三向應力狀態的特例，應注意：(1) 可能是1, 也可能是2

19、或3 .(2) 按三個主應力的代數值排序確定1, 2, 3 。(3) 8-5 三向應力狀態簡介2022/9/94520030050otmax 平面應力狀態作為三向應力狀態的 8-1 應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/946 8-1 應力狀態的概述 第八章 應力狀態分析和強度理論 1.單向應力狀態下的胡克定律或 純剪切應力狀態下

20、的剪切胡克定律或 橫向變形與泊松比yxyx 8-6 廣義胡克定律2022/9/947 1.單向應力狀態下的胡克定律或 純剪切應力狀態下的剪切2、三向應力狀態的廣義胡克定律疊加法=+ 8-6 廣義胡克定律2022/9/9482、三向應力狀態的廣義胡克定律疊加法=+ 8-6 廣義胡 8-6 廣義胡克定律 廣義胡克定律注：用疊加原理的條件：(1) 各向同性材料；(2) 小變形；(3) 變形在線彈性范圍內。2022/9/949 8-6 廣義胡克定律 廣義胡克定律注：用疊加原理的條件：(3、廣義胡克定律的一般形式 8-6 廣義胡克定律2022/9/9503、廣義胡克定律的一般形式 8-6 廣義胡克定律2

21、022/9 3.體積胡克定律 單元體變形前體積：變形后體積：略去高階微量:dxdydz132123(1+2)dy(1+1)dx(1+3)dz 8-6 廣義胡克定律2022/9/951 3.體積胡克定律 單元體變形前體積：變形后體積：略去高階單位體積的改變： 體積應變將廣義胡克定律：代入上式得： 3.體積胡克定律 8-6 廣義胡克定律2022/9/952單位體積的改變： 體積應變將廣義胡克定律：代入上式得： 又可寫成記 體積彈性模量 體積胡克定律 3.體積胡克定律 8-6 廣義胡克定律2022/9/953又可寫成記 體積彈性模量 體積胡克定律 3.體積胡克定例8.5：在體積頗大的剛塊上，開有寬度

22、和深度同為10mm的槽，如圖所示，槽內緊密無縫地嵌入邊長為10mm的立方鋁塊。當鋁塊受F=6kN的壓力作用時，試求鋁塊的三個主應力和相應的主應變。設鋼塊的變形可以不計。鋁的E=70GPa，=0.33. 8-6 廣義胡克定律解：2022/9/954例8.5：在體積頗大的剛塊上，開有寬度和深度同為10mm的槽例8.5：在體積頗大的剛塊上，開有寬度和深度同為10mm的槽，如圖所示，槽內緊密無縫地嵌入邊長為10mm的立方鋁塊。當鋁塊受F=6kN的壓力作用時，試求鋁塊的三個主應力和相應的主應變。設鋼塊的變形可以不計。鋁的E=70GPa，=0.33. 8-6 廣義胡克定律解：2022/9/955例8.5：

23、在體積頗大的剛塊上，開有寬度和深度同為10mm的槽例8.6：導出各向同性線彈性材料的彈性常數E、G、之間的關系。 8-6 廣義胡克定律解：作業：8.3（a,c,e）,8.82022/9/956例8.6： 8-6 廣義胡克定律解：作業：8.3（a,c,e 8-1 應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度（了解） 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論（掌握）第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/957 8-1

24、應力狀態的概述 第八章 應力狀態分析和強度理論1 單向應力狀態下的應變能密度(P30) 功能原理：2 三向應力狀態下的應變能密度 應變能與加力次序無關在線彈性范圍內，每一主應力與相應的主應變保持線性關系dy321dxdz 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度2022/9/9581 單向應力狀態下的應變能密度(P30) 功能原理：2 三為將應變能密度用主應力表示，將廣義胡克定律：代入上式，化簡得： 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度三向應力狀態下的應變能密度2022/9/959為將應變能密度用主應力表示，將廣義胡克定律：代入上式，化簡得3 體積改變能密度和畸變能密度體積改變, 形狀不變；體積不變,

25、 形狀改變因體積改變而貯存的變形能 體積改變能密度因形狀改變而貯存的變形能 畸變能密度+ 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度2022/9/9603 體積改變能密度和畸變能密度體積改變, 形狀不變；體積不 體積改變能密度 ： 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度2022/9/961 體積改變能密度 ： 8-7 復雜應力狀態下的應變畸變能密度 ： 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度2022/9/962畸變能密度 ： 8-7 復雜應力狀態下的應變能密 8-1 應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向

26、應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/963 8-1 應力狀態的概述 第八章 應力狀態分析和強度理論滿足是否強度就沒有問題了？目錄 8-8 強度理論概述2022/9/964滿足是否強度就沒有問題了？目錄 8-8 強度理論概述2022強度理論： 人們根據大量的破壞現象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。 為了建立復雜應力狀態下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方

27、法。目錄 8-8 強度理論概述2022/9/965強度理論： 為了建立復雜應力狀態下的強度條件，構件由于強度不足將引發兩種失效形式 (1) 脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發生斷裂，斷面較粗糙，且多發生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關于屈服的強度理論：最大切應力理論和畸變能密度理論 (2) 塑性屈服（流動）：材料破壞前發生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關于斷裂的強度理論：最大拉應力理論和最大伸長線應變理論目錄 8-8 強度理論概述2022/9/966構件由于強度不足將引發兩種失效形式 (1) 脆性斷裂：材料 8

28、-1 應力狀態的概述 單向拉伸時斜截面上的應力 8-2 二向和三向應力狀態的實例 8-3 二向應力狀態分析 8-4 二向應力狀態的應力圓 8-5 三向應力狀態簡介 8-6 廣義胡克定律 8-7 復雜應力狀態下的應變能密度 8-8 強度理論概述 8-9 四種常用強度理論第八章 應力狀態分析和強度理論2022/9/967 8-1 應力狀態的概述 第八章 應力狀態分析和強度理論斷裂條件強度條件一、最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉目錄 8-9 四種常用強度理論認為無論是什么應力狀態，只要最大拉應力達到與材料性能有關的某一極限值，材料就發生斷裂。2022/9/968斷裂條件強度條件一、最大

29、拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄2. 最大伸長線應變理論（第二強度理論） 無論材料處于什么應力狀態,只要發生脆性斷裂,都是由于微元內的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數值。 構件危險點的最大伸長線應變 極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得目錄 8-9 四種常用強度理論2022/9/9692. 最大伸長線應變理論（第二強度理論） 無論材料處于什 實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。強度條件最大伸長拉應變理論（第二強度理論）斷裂條件即目錄 8-9 四種常用強度理論2022/9/970 實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態的脆性材料 無論材料處于什么應力狀態,只要發生屈服,都是由于微元內的最大切應力達到了某一極限值。材料發生屈服。3. 最大切應力理論（第三強度理論） 構件危險點的最大切應力 極限切應力，由單向拉伸實驗測得目錄 8-9 四種常用強度理論2022/9/971 無論材料處于什么應力狀態,只要發生屈服,都是由于微元內屈服條件強度條件最大切應力理論（第三強度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉目錄 8-9 四種常用強度理論2022/9/972屈服條件強度條件最大切應力理論（第三強度理