1、 高考數學題解法思想指引 數學思想是人們對數學事實與理論經過高度提煉概括后產生的本質熟悉，是數學學問和（方法）產生的根本源泉，是解決數學問題過程中的指路明燈. 一道好的試題，不在于華麗的“包裝”，而在于本身所蘊涵的思想方法.下面就是我給大家帶來的高考數學題解法思想指引，盼望大家喜愛！ 高考數學題解法思想指引 在數學的學問和技能中，蘊涵著具有普遍性的數學思想，它是數學的精髓和靈魂，是學問轉化為力量的橋梁，是人們對數學事實與理論，經過高度提煉概括后產生的本質熟悉，是數學學問和方法產生的根本源泉，是解決數學問題的指路明燈. 對數學思想的應用，是數學學習走向更深層次的一個標志. 高考試題中也蘊涵了豐富

2、的數學思想，只有挖掘其中的思想，才能深化熟悉試題，透徹分析試題，順當解答試題. 試題呈現：已知實數a，b，c滿意a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是_. （2021年浙江省數學高考文科試卷第16題） 點評：此題雖小，卻是亮點.看似平常，卻是豐富多彩.入口寬，方法多，蘊涵著豐富的數學思想. 探究視角1 構造思想方法的應用 構造法是一種極其重要的數學思想方法，其本質特征是構造，通過觀看、分析已知條件和需要解決的問題，聯系已有的學問，構造出適當的數學式子或數學模型，來解決問題. 1. 構造重要不等式 x，yR，x2+y22xy，當且僅當x=y時取等. 推論：x，yR，x2+y2，當且

3、僅當x=y時取等. 解法1：由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2， 由于（b+c）22（b2+c2），所以a22-2a2，所以3a22， 所以-a，所以a的最大值是，當且僅當b=c時取等. 解法2：由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）1-=1-，所以a22-2a2，所以3a22，所以-a，當且僅當b=c時取等. 解法3：由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2， 所以bc=a2-. 由于b，cR，b2+c22bc， 所以a22-2a2，所以3a22，所以-a， 所以a的最大值是

4、，當且僅當b=c時取等. 2. 構造柯西不等式 二維柯西不等式：任取實數x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）（x1y1+x2y2）2， 當且僅當xi=kyi（i=1，2）時取等. 解法4：由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2. 由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）（b+c）2，所以a22-2a2，所以3a22，所以-a，所以a的最大值是，當且僅當b=c時取等. 探究視角2 函數與方程思想方法的應用 函數與方程思想是數學本質的思想之一. 函數思想是指利用函數的概念與性質去分析問題、轉化問題、解決問題.方程思想是指從問題的

5、數量關系入手，用數學語言問題中的條件轉化為數學模型，如方程、不等式、方程與不等式組等，然后通過解方程或不等式組使問題得到解決. 解法5：（構造方程） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc=a2-，所以b，c為一元二次方程x2+ax+a2-=0的兩個分布在（-1，1）上的實根. 所以=a2-4a2-0，1+a+a2-0，1-a+a2-0，-1-1， 所以a2，所以-a，所以a的最大值是. 點評：此法是將已知條件轉化為一元二次方程，常用判別式來探求根的狀況，但要留意根的分布. 解法6：（消元，削減變量） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1

6、，所以c= -（a+b）. 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-. 消掉c得，a2+b2+ab-=0. 解法7：（增量換元，構造函數） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2. 所以令b=-+x，c=-x，xR，則-+x+-x=1-a2，xR.所以a2=（1-2x2），xR，所以a2，所以-a，所以a的最大值是. 解法8：（三角換元） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sin，c=cos，則-a=b+c=（sin+cos）=sin+. 所以sin+=

7、 ，所以1. 所以a2，所以-a，所以a的最大值是. 點評：換元法又稱幫助元素法、變量代換法，即通過引進新的變量，可以將分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者將條件與結論聯系起來，或者變為熟識的形式，從而將簡單的計算和證明簡化. 探究視角3 數學結合思想 華羅庚先生說過：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直觀，形少數時難入微.” 數形結合是一種重要的數學思想，運用時關鍵在于數形相互轉化，即用代數方法處理幾何問題，或通過構圖解決代數問題，數形結合在解題中的應用不僅能整合同學相關的數學學問，而且能培育同學的（創新思維）. 解法9：（坐標思想，直線與圓的位置關系） 由于a+b+c

8、=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2， 所以點（b，c）在以原點為圓心，為半徑的圓上，同時又在直線b+c+a=0上，則由直線與圓的位置關系可得：圓心距d=. 所以a2，所以-a，所以a的最大值是. 解法10：（構造三角形，利用正余弦定理來解三角形） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=- 消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，為邊構造三角形，令其所對角分別為A，B，D，則由余弦定理可得，cosD=. （1）若ab0，

9、則cosD=-，則D=，在ABD中由正弦定理可得，=，則a=sinA，A0，0（2）若ab0，則cosD=，則D=，A+B=，在ABD中由正弦定理可得，=，則a=sinA，A0，0由（1）（2）可得a的最大值是. 探究視角4 特別化思想的應用 依據沖突論的基本原理，我們在熟悉事物和解決問題的過程中，必需堅持詳細問題詳細分析. 也就是在沖突普遍性原理的指導下，詳細分析沖突的特別性.數學問題，特殊是高考試題變化無窮、深淺莫測、精彩紛呈. 在解題中，若能充分挖掘隱蔽于問題之中或與之相關的特別值、特別點、特別圖形、特別位置和特別結構，則可避開煩瑣的運算、作圖和推理，得到意想不到的、新奇獨特的最佳解法.

10、 這種利用特別因素，實行特別方法，解決特別問題的思維方法，我們稱之為特別化思想方法. 每年的高考題中（尤其是選擇題和填充題）都有幾道題可直接運用特別化思想方法獲解. 解法11：特別值法 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，則a=-2b，a2=1-2b2. 所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=， 所以a的最大值是. 數學思想方法不是操作程序，沒有詳細的步驟，需要感悟、理解，但是，沒有數學思想方法就找不到解題方向. 在上述解法探究中，要感悟試題中所蘊涵的數學思想，在上述四個視角中體現了構造思想、函數思想、方程思想、換元思想、數形結合思想、特別化思想. 近年的高考越來越重視對數學思想方法的考查. 隨著試題難度的上升，數學思想方法的作用會越來越重要. 高考數學題解法思想指引相關（文章）： 1.高中數學大題的解題技巧及解題思想 2.高中數學解題思維力量是如何煉成的 3