1、-第一章函數(shù)極限與連續(xù)一、填空題1、已知f(sinx)1cosx，則f(cosx)。22、lim(43x)2。x(1x2)xsinx是x的3、x0時(shí)，tanx階無(wú)量小。4、limxksin10成立的k為。x0 x5、limexarctanx。x6、f(x)ex1,x0在x0處連續(xù)，則b。xb,x07、limln(3x1)。x06x8、設(shè)f(x)的定義域是0,1，則f(lnx)的定義域是_。9、函數(shù)y1ln(x2)的反函數(shù)為_。10、設(shè)a是非零常數(shù)，則lim(xa)x_。xxa111、已知當(dāng)x0時(shí)，(1ax2)31與cosx1是等價(jià)無(wú)量小，則常數(shù)a_。12、函數(shù)f(x)arcsin3x的定義域是

2、_。1x13、lim(x22x22)_。x14、設(shè)lim(x2a)x8，則a_。xa15、lim(nn1)(n2n)=_。n二、選擇題1、設(shè)f(x),g(x)是l,l上的偶函數(shù)，h(x)是l,l上的奇函數(shù)，則中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。（）f(x)g(x)；（）f(x)h(x)；（C）f(x)g(x)h(x)；（D）f(x)g(x)h(x)。2、(x)1x，(x)13x，則當(dāng)x1時(shí)有。1x（）是比高階的無(wú)量小；（）是比低階的無(wú)量小；（C）與是同階無(wú)量小；（D）。1x13、函數(shù)f(x)31x1,x0(x1)在x0處連續(xù)，則k。kx0（）3；（）2；（C）1；（D）0。234、數(shù)列極限limnln(n

3、1)lnn。n（）1；（）1；（C）；（D）不存在但非。xsinx0 xx5、f(x)x0，則x0是f(x)的0。xcos1x0 x-（）連續(xù)點(diǎn)；（）可去中止點(diǎn)；（C）跳躍中止點(diǎn)；（D）振蕩中止點(diǎn)。6、以下各項(xiàng)中f(x)和g(x)相同的是（）（）f(x)lgx2，g(x)2lgx；（）f(x)x，g(x)x2；（C）343322f(x)xx，g(x)xx1；（）1，g(x)secxtanx。Df(x)7、limsinx=（）0|x|（）1；（）-1；（C）0；（D）不存在。18、lim(1x)x（）x0（）1；（）-1；（）e；（）e1。9、f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是limf(x)存

4、在的（）xx0（）充分必要條件；（）充分條件；（C）必要條件；（D）既不充分也不用要條件.10、limx(x21x)（）x（）1；（）2；（C）1；（D）0。11、設(shè)an,bn,cn均為非負(fù)數(shù)列，且2liman0,limbn1,limcn，則必有（）nnn（A）anbn對(duì)任意n成立；（B）bncn對(duì)任意n成立；（C）極限limancn不存在；（D）極限limbncn不存在。nn1時(shí)，函數(shù)x2112、當(dāng)x1ex1的極限（）x1（）等于；（）等于；（）為；（）不存在但不為。三、計(jì)算解答1、計(jì)算以下極限（1）lim2nsinnx1；（2）limcscxcotx；n2x0 x12x13x（3）lim(

5、x1)；（4）lim；xxe2x1x（5）lim8cos2x2cosx1；（6）lim1xsinxcosx；2x2cosxcosx1x0 xtanx3（7）lim111；（8）limln(132x)。n1223n(n1)x2arctan34x2、試確定a,b之值，使limx21axb1。xx12、利用極限存在準(zhǔn)則求極限11111(1)lim231nn1。n11123n（2）設(shè)x1a0，且xn1axn(n1,2,)，證明limxn存在，并求此極限值。n5、談?wù)摵瘮?shù)f(x)limnxnx的連續(xù)性，若有中止點(diǎn)，指出其種類。nxnxn6、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且af(x)b，證明在(a,b)內(nèi)最少

6、有一點(diǎn)，使f()。-第一單元函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題解答一、填空題1、2sin2x。f(sinx)1(12sin2x)22sin2x，222f(x)22x2f(cosx)22cos2x2sin2x。、0。lim(43x)2lim9x224x160。2x(12)x3xxxx3、高階。limtanxsinxlimtanx(1cosx)lim(1cosx)0，x0 xx0 xx04、k0。tanxsinx是x的高階無(wú)量小。sin1為有界函數(shù)，所以要使limxksin10，只要limxk0，即k0。xx0 xx05、0。limexarctanx0(limex0,arctanx(,)。xx226、b2。lim

7、f(x)lim(xb)b，limf(x)lim(ex1)2，x0 x0 x0 x0f(0)b,b2。7、1limln(3x1)lim3x1。2x06xx06x28、1xe依照題意要求0lnx1，所以1xe。9、yex12y1ln(x2),(y1)ln(x2)，x2ey1，xey12，y1ln(x2)的反函數(shù)為yex12。10、e2a原式=lim(12axax2ae2a。)2axaxxa3111x2，以11、a由(1ax2)31ax2（利用教材P58(1x)a1ax）與cosx123211ax2及l(fā)im(1ax2)31lim32a1，x0cosx1x01x2323可得a。11212、x由反三角函

8、數(shù)的定義域要求可得4213x1解不等式組可得1x1f(x)的定義域?yàn)?x11x42，4。1x0 x1213、0limx22x22lim(x22x22)(x22x22)xx2222xxlimx22(x22)0。22xx2x214、ln2lim(x2a)xlim(13a)x,令t=xa，所以x=3ataxxaxxa3a-即：lim(x2a)xlim(11)t3a(11)a=e3a8xxatttln233aln8a1ln8ln2。3315、2lim(nn1)(n2n)lim(nn1)2nn(n2n)2(111)limn2。n121n二、選擇題1、選（）令F(x)f(x)g(x)h(x)，由f(x),

9、g(x)是l,l上的偶函數(shù)，h(x)是l,l上的奇函數(shù)，F(xiàn)(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)。2、選（）lim(x)lim1xlim1x(x)x)(13x)x)131(1x)x1x1(1x1(1lim1x3（利用教材P58(1x)a1ax）x1x)1(1x)2(131x1x133、選（A）limf(x)limlim2（利用教材P58(1x)a1ax）x0 x031x1x01x231)4、選（）limnln(n1)lnnlimln(1n1nnn5、選（）f(0)1，f(0)0，f(0)06、選（）在（A）中f(x)lnx2的定義域?yàn)閤0，而g(x)2lnx的定義域?yàn)閤

10、0，f(x)g(x)故不正確在（B）f(x)x的值域?yàn)?,)，g(x)x2的值域?yàn)閤0，故錯(cuò)在（D）中f(x)1的定義域?yàn)镽，g(x)sec2xtanx的定義域?yàn)閤R,xk2，f(x)g(x)，故錯(cuò)7、選（）limsinxlimsinx1，limsinxlimsinx1x0|x|x0 xx0|x|x0 xsinxlim不存在111)8、選（）lim(1x)xlim1(x)(e1，xx0 x09、選（）由函數(shù)極限的局部有界性定理知，limf(x)存在，則必有x0的某一去心鄰域使f(x)有界，xx0而f(x)在x0的某一去心鄰域有界不用然有l(wèi)imf(x)存在，比方limsin1，函數(shù)1sin11有

11、界，xx0 x0 xx但在x0點(diǎn)極限不存在10、選（）（limx(x21x)limx(x21x)(x21x)lim2xxxx21xxx1x-lim112x111x2n充分大時(shí)”的情11、選（D）（A）、（）顯然不對(duì)，由于有數(shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列“當(dāng)況，不可以能得出“對(duì)任意n成立”的性質(zhì)。（）也顯然不對(duì)，由于“無(wú)量小無(wú)量大”是不決型，極限可能存在也可能不存在。x21ex1112、選（D）lim1lim(x1)ex1200 x1x1x1x211lim1ex1lim(x1)ex1x1x1x1當(dāng)x1時(shí)函數(shù)沒有極限，也不是。三、計(jì)算解答1、計(jì)算以下極限：（1）解：lim2nsinxlim2nx

12、2x。2n12n1nn1cosxx2（2）解：limcscxxcotxlimsinxsinxlim1cosxlim21。x01x0 xx0 xsinxx0 x221（3）解：limx(ex1)limx1。xxxx112x13x23x13lim(1)lim(1)22。（4）解：lim()1x2x1x2x1xx12111lim(1)x23lim(11)23e3xx1xx22（5）解：lim8cos2x2cosx1lim(2cosx1)(4cosx1)x2cos2xcosx1x3(2cosx1)(cosx1)3lim4cosx141122。cosx13112（6）解：lim1xsinxcosxlim

13、1xsinxcosxxtanx1xsinxcosx)x0 x0 xtanx(limxsinx1cosxlimxsinx1cosx1132x22x2lim2x2。x0 x0 x0244lim(1xsinxcosx)2x0（7）解：lim111x1223n(n1)lim(11)(11)(11)x223nn1lim(11)1。xn1ln(132x)32x111（8）解：limlimlim()33。arctan34x24x224x2x23x2x-、解：lim(x21b)limx21ax2(ab)xbaxxx1xx1lim(1a)x2(ab)x(1b)1xx121a0a1(ab)1b3221111n11

14、、（1）123n1111n11n2111111而limn11lim23nn11。x1x111123n（2）先證有界（數(shù)學(xué)歸納法）n1時(shí)，x2ax1aaa設(shè)nk時(shí)，xka，則xk1axka2a數(shù)列xn有下界，再證xn單調(diào)減，xn1axna1且xn0 xnxnxnxn1xn即xn單調(diào)減，limxn存在，設(shè)limxnA，nn則有AaAA0（舍）或Aa，limxnan、解：先求極限得f(x)limnnn而limf(x)1limf(x)x0 x0f(x)的連續(xù)區(qū)間為(,0)2x1x01x02x01x01f(0)0(0,)0為跳躍中止點(diǎn).。、解：令F(x)f(x)x，則F(x)在a,b上連續(xù)而F(a)f(

15、a)a0F(b)f(b)b0由零點(diǎn)定理，(a,b)使F()0即f()0，亦即f()。-第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、填空題1、已知f(3)2，則limf(3h)f(3)h02hf(x)2、f(0)存在，有f(0)0，則limx0 x=。3、yxxarctan1，則yx1=。4、f(x)二階可導(dǎo)，yf(1sinx)，則y=；y=。5、曲線yex在點(diǎn)處切線與連接曲線上兩點(diǎn)(0,1),(1,e)的弦平行。6、ylnarctan(1x)，則dy=。7、ysin2x4，則dy=，dy=。dxdx28、若f(t)limt(11)2tx，則f(t)=。xx9、曲線10、設(shè)yx21于點(diǎn)_處的切線斜率為2。yxex，則y

16、(0)_。11、設(shè)函數(shù)yy(x)由方程exycos()0確定，則dy_。xydx12、設(shè)x1t2則d2y_。ycostdx2二、單項(xiàng)選擇1、設(shè)曲線y1和yx2在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為，則tan=（）。1；x（）1；2；（）3。（）（C）3、函數(shù)f(x)etankx，且f()e，則k（）。4（）1；（）1；（C）1；（）2。24、已知f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且limf(1x)f(1)2，則曲線yf(x)在(1,2)處切線的方程2xx0是。（）y4x6；（）y4x2；（C）yx3；（）yx1。5、設(shè)f(x)f2(xx)f2(x)。可導(dǎo)，則limx=x0（）0；（）2f(x)；（C）2f(x)；（

17、）2f(x)f(x)。6、函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，且f(x)f(x)2，則f(n)(x)=。（）nf(x)n1；（）n!f(x)n1；（C）(n1)f(x)n1；（）(n1)!f(x)2。7、若f(x)x2，則limf(x02x)f(x0)=（）x0 x2x0；（）x0；4x0；（）4x。（）（C）8、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處存在f(x0)和f(x0)，則f(x0)f(x0)是導(dǎo)數(shù)f(x0)存在的（）（）必要非充分條件；（）充分非必要條件；（C）充分必要條件；（）既非充分又非必要條件。9、設(shè)f(x)x(x1)(x2)(x99)則f(0)（）（）99；（）99；（C）99!；（）99!。-10

18、、若f(u)可導(dǎo)，且yf(x2)，則有dy（）（）xf(x2)dx；（）2xf(x2)dx；（C）2f(x2)dx；（）2xf(x2)dx。11、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)0，則存在0，使得（）（A）f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加；（B）f(x)在(,0)內(nèi)單調(diào)減少；（C）對(duì)任意的x(0,)有f(x)f(0)；（D）對(duì)任意的x(,0)有f(x)f(0)。12、設(shè)f(x)x2sin1x0在x0處可導(dǎo)，則（x）axbx0（A）a1,b0；（B）a0,b（C）a0,b0；（C）a1,b三、計(jì)算解答1、計(jì)算以下各題為任意常數(shù)；為任意常數(shù)。sin21xlnt，求d2yt1；（1）yex，求dy；（2）

19、yt3dx2（3）xarctanyy，d2y；（4）ysinxcosx，求y(50)；dx2（5）y(x)x，求y；1x（6）f(x)x(x1)(x2)(x2005)，求f(0)；f(a)、f(a)；（）f(x)(xa)(x)，(x)在xa處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求7（8）設(shè)f(x)在x1處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f(1)2，求limdf(cosx1)。x1dx2、試確定常數(shù)a,b之值，使函數(shù)f(x)b(1sinx)a2x0各處可導(dǎo)。eax1x03、證明曲線x2y2a與xyb（a,b為常數(shù)）在交點(diǎn)處切線相互垂直。4、一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上升到50

20、0米空中時(shí)，問觀察員視角的傾角增加率為多少。5、若函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)1，證明f(x)f(x)。6、求曲線yx3325上過(guò)點(diǎn)(1,3)處的切線方程和法線方程。x-第二章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題解答一、填空題1、1limf(3h)f(3)limf(3h)f(3)(1)1f(3)1h02hh0h222、f(0)limf(x)limf(x)f(0)f(0)x0 xx0 x03、lnxyxlnx1y|x1lnx、f(1sinx)cosx，f(1sinx)4yf(1sinx)cosx，yf(15、(ln(e1),e1)弦的斜率kcos2xf(1sinx)

21、sinxsinx)cos2xf(1sinx)sinxe1e110y(ex)exe1xln(e1)，當(dāng)xln(e1)時(shí)，ye1。6、dx1(1x)2arctan(1x)dy1x)darctan(1x)11x)2d(1x)arctan(1arctan(1x)1(1dxarctan(1x)1(1x)27、4x3sin2x4，2x2sin2x4dy2sinx4cosx44x34x3sin2x4dxdydy2x2sin2x4dx22xdx1)2tx8、e2t2te2tf(t)limt(1te2tf(t)e2txx2、(1,2)y2x，由2x02x01，y091x21在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為210、2

22、yexxex，yexexxexy(0)e0e0211、exyysin(xy)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得exy(1exyxsin(xy)2te2t12y)sin()(xy)0 xyy解得yexyysin(xy)。exyxsin(xy)sinttcost由參數(shù)式求導(dǎo)公式得dyytsint，12、3dxxt2t4t再對(duì)x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得d2yd(yx)t1tcostsint1sinttcostdx2(yx)xt2t22t4t3。dx二、選擇題y1交點(diǎn)為(1,1)1)|1，k2)|21、選（）由，k(xx1(x1x2x1yx2tan|tan(21)|k2k1|31k1k2-3、選（）tankxk12f

23、xektanxsecx()由f()e得ek2ek124f(1x)f(1)f(1x)4、選（A）由limlimx02xx02xf(1x)f(1)1f(1)(1lim()x0 x22切線方程為：y24(x1)即y4x65、選（）limf2(xx)f2(x)f2(x)x0 xf(1)2f(1)42f(x)f(x)6、選（）()()22()()23()fxfxfxfxfxf(x)2f3(x)23f2(x)f(x)23f4(x)設(shè)f(n)(x)!n1(x)，則f(n1)(x)(n1)!fn(x)f(x)(n1)!fn2(x)nff(n)(x)n!fn1(x)7、選（）limf(x02x)f(x0)lim

24、2f(x02x)f(x0)2f(x0)x0 xx02x又f(x)(x2)2x，2f(x0)4x08、選（）f(x)在x0處可導(dǎo)的充分必要條件是f(x)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)f(x0)和右導(dǎo)數(shù)f(x0)都存在且相等。9、選（）f(x)(x1)(x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(x99)x(x1)(x2)(x98)f(0)(01)(02)(099)(1)9999!99!另解：由定義，f(0)limf(x)f(0)lim(x1)(x2)(x99)x0 x0 x01)9999!(99!10、選（）f(x2)f(x2)(x2)2f(x2)dy2xf(x2)dx11、由導(dǎo)數(shù)定義知f(0)l

25、imf(x)xf(0)0，x0)時(shí)f(x)f(0)再由極限的保號(hào)性知0,當(dāng)x(,x0，從而當(dāng)x(,0)(x(0,)時(shí)，f(x)f(0)0(0)，所以C成立，應(yīng)選C。12、由函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，知函數(shù)在x0處連續(xù)limf(x)limx2sin10,limf(x)lim(axb)b，所以b0。x0 x0 xx0 x0f(x)f(0)x2sin1f(x)f(0)ax又f(0)limlimx0,f(0)lima，x0 x0 x0 xx0 x0 x所以a0。應(yīng)選C。三、計(jì)算解答1、計(jì)算以下各題（1）dysin2121)sin212sin1cos1(112sin21exd(sinxexxx2)dxx

26、2sinexdxxx-（2）dy3t23t3，d2y9t29t3，d2y9dx1dx21dx2|t1t1t（3）兩邊對(duì)x求導(dǎo)：1yyyy211y2y2y3y2y3(y21)23(121)yy（4）ysinxcosx1sin2x2ycos2xsin(2x2)y2cos(2x)2sin(2x2)22設(shè)y(n)2n1sin(2xn)2則y(n1)2ncos(2xn)2nsin(2x(n1)22y(50)249sin(2x50)249sin2x2（5）兩邊取對(duì)數(shù)：lnyxlnxln(1x)兩邊求導(dǎo)：1ylnxln(1x)1xy1xy(x)xlnxln(1x)1xx1x1（6）利用定義：f(0)limf

27、(x)f(0)lim(x1)(x2)(x3)(x2005)2005!x0 xx0（7）f(x)(x)(xa)(x)f(a)(a)又f(a)limf(x)f(a)lim(x)(xa)(x)(a)xaxaxaxalim(x)(a)(x)(a)(a)2(a)xaxa注：因(x)在xa處可否二階可導(dǎo)不知，故只能用定義求。（8）limdf(cosx1)limf(cosx1)(sinx1)1x1dxx12x1limf(cosx1)limsinx1f(1)(1)1x1x12x122、易知當(dāng)x0時(shí)，f(x)均可導(dǎo)，要使f(x)在x0處可導(dǎo)則f(0)f(0)，且f(x)在x0處連續(xù)。即limf(x)limf(x

28、)f(0)x0 x0limf(x)ba220而x0f(x)0ablimx0又f(0)limf(x)f(0)lim(1sinx)a2ba2bx0 x0 x0 xf(0)eax1ba2eax1limaxalimxlimxxx0 x0 x0由aba1ab20b1-3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則x02y02ax0y0b對(duì)x2y2a兩邊求導(dǎo)：2x2yy0yxy曲線x2y2a在(x0,y0)處切線斜率k1y|xx0 x0y0又由xybbybyx2x曲線xyb在(x0,y0)處切線斜率k2y|xx0b2x0又k1k2x0(b)b1y0 x02x0y0兩切線相互垂直。4、設(shè)t分鐘后氣球上升了x米，則

29、tanx500兩邊對(duì)t求導(dǎo)：sec2d1dx1407dt500dt500257cos2dt25當(dāng)x500m時(shí)，4當(dāng)x500m時(shí)，d717（弧度/分）dt252505、證明：f(x)limf(xh)f(x)limf(x)f(h)f(x0)h0hh0hlimf(x)f(h)f(x)f(0)limf(x)f(h)f(0)h0hh0hf(x)f(0)f(x)6、解：由于y3x26x，于是所求切線斜率為k13x26x|x13，從而所求切線方程為y33(x1)，即3xy60又法線斜率為k211k13所以所求法線方程為y31(x1)，即3yx803-第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、填空題1、limxlnx_。x

30、02、函數(shù)3、函數(shù)fx2xcosx在區(qū)間_單調(diào)增。fx48x33x4的極大值是_。4、曲線yx46x23x在區(qū)間_是凸的。5、函數(shù)fxcosx在x0處的2m1階泰勒多項(xiàng)式是_。6、曲線yxe3x的拐點(diǎn)坐標(biāo)是_。7、若fx在含x0的a,b（其中ab）內(nèi)恒有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且_,則fx0是fx在a,b上的最大值。8、yx32x1在,內(nèi)有_個(gè)零點(diǎn)。9、limcotx(11)_。x0sinxx10、lim(121)_。x0 xxtanx11、曲線yex2的上凸區(qū)間是_。12、函數(shù)yex1x的單調(diào)增區(qū)間是_。二、單項(xiàng)選擇1、函數(shù)f(x)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且f(0)0,f(0)1,f(0)2,則limf(x)x

31、（）2x0 x（）不存在；（）0；（）-1（）-2。；2、設(shè)f(x)(x1)(2x1),x(,),則在(1,1)內(nèi)曲線f(x)（）2（）單調(diào)增凹的；（）單調(diào)減凹的；（）單調(diào)增凸的；（）單調(diào)減凸的。3、f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，x0(a,b),f(x0)f(x0)0，則f(x)在xx0處（）（）獲取極大值；（）獲取極小值；（）必然有拐點(diǎn)(x0,f(x0)；（）可能獲取極值，也可能有拐點(diǎn)。4、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則：在(a,b)內(nèi)f(x)0與：在(a,b)上f(x)f(a)之間關(guān)系是（）（）是的充分但非必要條件；（）是的必要但非充分條件；（）是的充分必要條件；（）不是的

32、充分條件，也不是必要條件。5、設(shè)f(x)、g(x)在a,b連續(xù)可導(dǎo)，f(x)g(x)0，且f(x)g(x)f(x)g(x)，則當(dāng)axb時(shí)，則有（）（）f(x)g(x)f(a)g(a)；（）f(x)g(x)f(b)g(b)；（）f(x)f(a)；（）g(x)g(a)。g(x)g(a)f(x)f(a)6、方程x33x10在區(qū)間(,)內(nèi)（）（）無(wú)實(shí)根；（）有唯一實(shí)根；（）有兩個(gè)實(shí)根；（）有三個(gè)實(shí)根。7、已知f(x)在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)0，limf(x)2，則在點(diǎn)x0處f(x)（）cosxx01（）不可以導(dǎo)；（）可導(dǎo)，且f(0)0；（C）獲取極大值；（）獲取極小值。、設(shè)f(x)有二階連續(xù)

33、導(dǎo)數(shù)，且f(0)0，limf(x)1，則（）x0|x|-（）f(0)是f(x)的極大值；（）f(0)是f(x)的極小值；（）(0,f(0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn)；（）f(0)不是f(x)的極值點(diǎn)。9、設(shè)a,b為方程f(x)0的二根，f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)內(nèi)（）（A）只有一實(shí)根；（B）最少有一實(shí)根；（C）沒有實(shí)根；（D）最少有2個(gè)實(shí)根。10、在區(qū)間1,1上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是（）（A）f(x)1（B）f(x)|x|；x2；（C）f(x)1x2；（D）f(x)x22x1。11、函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)f(x)0是函數(shù)f(x

34、)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加的（）（A）必要但非充分條件；（B）充分但非必要條件；（C）充分必要條件；（C）沒關(guān)條件。12、設(shè)yf(x)是滿足微分方程yyesinx0的解，且f(x0)0，則f(x)在（）（A）x0的某個(gè)鄰域單調(diào)增加；（B）x0的某個(gè)鄰域單調(diào)減少；（）x0處獲取極小值；（）x0處獲取極大值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算以下極限(1)limarccosx；(2)limlncotx；x1x1x0lnx(3)lime2xesinx；(4)lim112ln(1x)；x0 xln(1x)x0 xx(5)xarctanx；(6)limlntan(ax)。limx3lntan(bx)x0 x02、證明以

35、下不等式(1)、設(shè)bae，證明abba。(2)、當(dāng)0 x2時(shí)，有不等式tanx2sinx3x。3、已知yx3sinx，利用泰勒公式求y(6)(0)。4、試確定常數(shù)a與n的一組數(shù)，使適合x0時(shí)，axn與ln(1x3)x3為等價(jià)無(wú)量小。5、設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo)，試證存在(ab)，使1b3a323f()f()。baf(a)f(b)6、作半徑為r的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時(shí)，其體積V最小，并求出該體積最小值。7、若f(x)在0,1上有三階導(dǎo)數(shù)，且f(0)f(1)0，設(shè)F(x)x3f(x)，試證：在(0,1)內(nèi)最少存在一個(gè)，使F()0。-第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題解答一、填空題lnx11

36、、0limxlnxlimlimxlim(x)011x0 x0 x0 x0 xx22、(,)f(x)2sinx0f(x)在(,)上單調(diào)增f(x)24212x3122(x2)3、20令f(x)0 x10,x22當(dāng)x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0極大值為f(2)204、(1,1)y4x312x3，y12x21212(x1)(x1)當(dāng)x1時(shí)，y0.當(dāng)x(1,1)時(shí)，y0；當(dāng)x(1,)時(shí)，y0曲線在(1,1)上是凸的5、11x21x4(1)m1x2m（見教材P13頁(yè)，泰勒公式）2!4!(2m)!6、(2,2e2)ye3x3xe3xe3x(13x)，33y3e3x(13x)3e3xe3x(9x6)

37、9e3x(x2)2223令y0 x，當(dāng)x0；當(dāng)x時(shí)y03時(shí)，y33而當(dāng)x2時(shí)，y2e2拐點(diǎn)為(2,2e2)33337、f(x0)0,f(x0)limf(x)f(x0)xx0 xx0當(dāng)xx0時(shí)，f(x0)0,f(x)單調(diào)增加；當(dāng)xlimf(x)0f(x)0 xx0 xx0 xx0 x0時(shí)，f(x)0,f(x)單調(diào)減少8、1yx220，y在(,)上單調(diào)增加3又limylimy.在(,)內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)。xx9、1610、13原式原式=limcosx(x2sinx)x0 xsinxlimtanxxlimx0 x2tanxx0 xsinxlim1cosx1。limcosxlimx33x26x0 x0 x0

38、tanxxlimsec2x11limtan2x1。x3x03x23x0 x2311、(2,2)y2xex2,y2(2x)2ex2令y0 x2，當(dāng)x(2,2)時(shí)，22222y0，上凸，其他區(qū)間y0，上凹，故應(yīng)填入(2,2)。函數(shù)yex22yex1，因12、(0,)x1的定義區(qū)間為(,)，在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且為在(0,)內(nèi)y0，所以函數(shù)yxx在(0,)上單調(diào)增加。e1二、選擇題1、選（）limf(x)xlimf(x)1limf(x)1x22x2x0 x0 x0-2、選（）當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)0，又f(x)4x14(x1)0 x(1,1)242(x)在(1,1)上單調(diào)減且為凹的。23、選

39、（）f(x)x3，則f(0)f(0)0，x0是f(x)x3的拐點(diǎn)；設(shè)f(x)x4，則f(0)f(0)0，而x0是f(x)x4的極值點(diǎn)。4、選（）由f(x)在(a,b)內(nèi)f(x)0的充分必要條件是在(a,b)內(nèi)f(x)C（C為常數(shù)），又由于f(x)在a,b內(nèi)連續(xù)，所以Cf(a)，即在(a,b)上f(x)f(a)。5、選（）由f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0f(x)0f(x)單調(diào)減少，x(a,b)g(x)g(x)f(x)f(a)g(x).f(b)6、選（）令f(x)x331，則f(x)3x233(x1)(x1)；x當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)增加，當(dāng)x(1,

40、1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)減少當(dāng)x(1,)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)增加.而f(1)3，f(1)1limf(x)，limf(x)xxf(x)在(,1)上有一實(shí)根，在1,1上有一實(shí)根，在(1,)上有一實(shí)根。、選（）利用極限的保號(hào)性可以判斷f(x)的正負(fù)號(hào)：limf(x)20f(x)0（在x0的某空心鄰域）；cosx1cosxx01由1cosx0，有f(x)0f(0)，即f(x)在x0取極小值。8、選（）由極限的保號(hào)性：f(x)10f(x)（在x0的某空心鄰域）；由此f(x)（在0的某空心鄰域），lim|x|x|00 xx0f(x)單調(diào)增，又由f(0)0，f(x)在x0由負(fù)變正，由極值第一

41、充分條件，x0是f(x)的極小點(diǎn)。9、選（B）由羅爾定理保證最少存在一點(diǎn)(a,b)使f()0。10、選（C），A選項(xiàng)f(x)在x0不連續(xù)，B選項(xiàng)f(x)在x0處不可以導(dǎo)，D選項(xiàng)f(1)f(1)。11、選（B），如yx3在(,)單增，但f(0)0，故非必要條件。12、選（），由f(x0)0有y(x0)sinx0y(x0)sinx00，所以f(x)在x0處獲取極小值。ee三、計(jì)算解答1、計(jì)算極限（1）解：limarccosxx1x111lim2arccosx1x2lim1111arccosx1x2x1x12x1lncotx1(csc2x)xsinx(2)解：limlimcotxlimx1。x0ln

42、xx01x0cosxsin2x-(3)解：limexesinxlimesinx(exsinx1)limxsinxlim1cosx12ln(1x)x3x33x26x0 xx0 x0 x011xln(1x)11111x(4)解：limln(1x)limlimxx2limx22x2(1x)x0 x0 x0 x02xarctanx11x21(5)解：limlim1x2lim。x33x222x0 x0 x03x(1x)3(6)解：limlntan(ax)limx0lntan(bx)x01sec2(ax)asec2(ax)tan(ax)limtan(bx)a12x0tan(ax)sec2(bx)bsec(

43、bx)btan(bx)limbxcos2(bx)a1axcos2(ax)bx02、(1)證明：abbablnaalnb令f(x)xlnaalnx，則f(x)在a,b上連續(xù)f(x)lnaa0 xa,bxf(x)在a,b上單調(diào)增加，f(b)f(a)得blnaalnbalnaalna0，即abba(2)令f(x)tanx2sinx3x在x(0,)時(shí)2f(x)sec2x2cosx31cosxcosx3331cosxcosx30cos2xcos2xf(x)0，f(x)在(0,)上單調(diào)增，又limf(x)lim(tanx2sinx3x)02x0 x0(0,),f(x)23、解：麥克勞林公式而sinxxli

44、mf(x)0，即tanx2sinx3xx0f(x)f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xno(xn)2!n!x3x5(1)m1x2m1(2m)3!5!(2m1)!oxyx3sinxx4比較x6的系數(shù)有：4、解：axnlimx3x0ln(1x3)x6x83!5!f(6)(0)1f6!3!limanxn13x23x2x01x3(6)(0)6!1203!limanxn6(1x3)1x03n6，an113a25、即證：b3f(b)a3f(a)23f()f()3ba令)xxfxF(x)a,bF在上滿足拉格朗日定理的條件()，則-(a,b)，使F(b)F(a)F()ba即b3f(b)a3f(a)3

45、2f()3f()ba即1b3a323f()f()af(a)f(b)b6、解：設(shè)圓錐的高為h，底面圓半徑為R，則有比率關(guān)系hrrR2hr2h2R2Rh2rV1R2h1h2r2(h2r)33h2rdV2(h2r)221hr2(2h4rh)12hrhr3dh3(h2r)2(h2r)2dV0唯一駐點(diǎn)h4rdh所以，當(dāng)h4r時(shí)，體積最小，此時(shí)V116r2r28r334r2r3F(1)，由羅爾定理，1(0,1)7、解：由題設(shè)可知F(x),F(x),F(x),F(x)在0,1上存在，又F(0)使F(1)0，又F(0)3x2f(x)x3f(x)|x00，可知F(x)在0,1上滿足羅爾定理，于是2(0,1)，使

46、F(2)0，又F(0)6xf(x)6x2f(x)x3f(x)|x00，對(duì)F(x)在0,2上再次利用羅爾定理，故有(0,2)(0,1)(0,1)，使得F()0。-第四章不定積分一、填空題1、xxdx=_。2、dx=_。x2x3、(x23x2)dx=_。4、cos2xdx=_。cosxsinx5、dx=_。1cos2x6、sintdt=_。t7、xsinxdx=_。8、arctanxdx=_。9、sin2xdx_。1sin2x10、xf(x)dx_。11、1dx_。(x3)x112、dx_。x22x5二、單項(xiàng)選擇1、關(guān)于不定積分fxdx，以低等式中（）是正確的.（A）dfxdxfx；（B）fxdx

47、fx；（C）dfxfx；（D）dfxdxfx。dx2、函數(shù)fx在,上連續(xù)，則dfxdx等于（）（A）fx；（B）fxdx；（C）fxC；（D）fxdx。3、若Fx和Gx都是fx的原函數(shù)，則（）（A）FxGx0；（B）FxGx0；（C）FxGxC(常數(shù))；（D）FxGxC(常數(shù))。4、若f(x3)dxx3c，則f(x)（）（A）6x35c；（B）9x35c；（C）x3c；（D）xc。555、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xlnx，則xf(x)dx（）（A）x2(11lnx)c；（B）x2(11lnx)c；2442（C）x2(11lnx)c；（D）x2(11lnx)c。42246、設(shè)f(x)dxx2c，

48、則xf(1x2)dx（）（A）2(1x2)2c；（B）2(1x2)2c；-（C）1(1x2)2c；（D）1(1x2)2c。22、ex1dx（）ex1（A）ln|ex1|c；（B）ln|ex1|c；（C）x2ln|ex1|c；（D）2ln|ex1|xc。、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)為sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是（）（A）1sinx；（B）1sinx；（C）1cosx；（D）1cosx。、F(x)f(x),f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且f(0)1，又F(x)xf(x)x2，則f(x)=（）（A）2x1；（B）x21；（）2x1；（）x21。CD10、32x23x（）2xdx（A）3x2ln3(3)xC；（B

49、）3x2x(3)x1C；222（C）3ln32(3)xC；（D）3x2(3)xC。ln22ln3ln2211、3xexdx=（）（A）13xexC；（B）13xexC；（）13xex；（D）13xex。ln31ln3ln31ln312、121x2secxdx=（）（）tan1C；（）tan1C；（）cot1C；（）cot1C。xxxx三、計(jì)算解答1、計(jì)算以下各題(1)xdx；(2)x2x1dx；a2x24x13(3)xarccosxdx；(4)xexdx；1x2ex1(5)xsin2xdx；(6)ln1exdx。sin2tan2ex2、設(shè)fxcos2xx，當(dāng)0 x1時(shí)求fx。3、設(shè)Fx為fx的

50、原函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)有fxFxsin22x，且F01,Fx0，求fx。4、確定A、B使下式成立dxAsinxBdx12cosx212cosx2cosx15、設(shè)fx的導(dǎo)數(shù)fx的圖像為過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)2,0的拋物線，張口向下，且fx的極小值為2，極大值為6，求fx。-第四章不定積分習(xí)題解答一、填空題1、2x25C532、2x2C33、1x33x22x323xxdxx2dxdx5x2dxx2xC(x2x32x25C。532x2C。32)dx1x33x22xC。324、sixncoxsC15、tanxC2cos2xcos2xsin2xcosxsinxdxdxcosxsinx(cosxsinx)dxsinxcos

51、xC。dx1dx11sec2xdx1cos2x2cos2x21tanxC。26、2costCsintdt2sintdt2costC。t7、xcosxsinxCxsinxdxxdcosxxcosxcosxdxxcosxsinxC。8、xarctanxarctanxCarctxadnxxarctxandarctxanxarctanxarctanxC。9、ln(1sin2x)C1sin2xdx2sinxcosxdxsin2x1sin2xdsin2xln(1sin2x)C。1sin2x10、xf(x)f(x)Cxf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxf(x)df(x)xf(x)f(x)C11

52、、2arctan(x1)C令x1t，則xt212原式(t21d(t21)2dt2)tt22211d(t)2arctan(t)C2arctan(x1)C()21222212、1arctanx21Cdxdx1arctanx1C。2x22x5(x1)2422二、選擇題1、選（）。由dfxdxfxdx，fxdxfxC，dfxfxC知（A）、（B）、（）選項(xiàng)是錯(cuò)的，故應(yīng)選。2、選（）。由微分的定義知df(x)dxf(x)dx。3、選（）。函數(shù)f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。4、選（B）兩邊對(duì)f(x3)dxx3C微分得2f(x3)3x2,f(t)3t3-25f(x)f(x)dx3x3dx9x3C

53、55、選（B）原式xdF(x)xd(xlnx)x2lnxxlnxdxx2x2lnxxdxx2(1lnx1)C22246、選（C）xf(1x2)dx1f(1x2)d(1x2)1(1x2)C22、選（D）ex1dxex1212ex1exdxexdx11x2exdxx21xx1)exxxde(ee(e1)x2(1ex1)dexx2x2ln|ex1|Cex1x2ln|ex1|C8、選（B）由題意知f(x)sinx，f(x)cosxC1，f(x)2的原函數(shù)為f(x)dxsinxC1xC，C10,C21，應(yīng)選B。9、選（C）由F(x)xf(x)x2兩邊求導(dǎo)得F(x)f(x)xf(x)2x，又F(x)f(x

54、)，所以f(x)所以f(x)2dx2xC，又由于f(0)1，所以C10、選（）32x23xdx32(3)xdx3x212x23ln1(3)x23x2ln3C。ln2211、選（B）3xexdx(3e)xdx1(3e)x13xex。ln3e1ln32，1,f(x)2x1。(3)xC212、選（）12sec21dx(12)sec21dxsec21d1tan1C。xxxxxxx三、計(jì)算解答1、計(jì)算以下各題x11(1)解：dx(a2x2)2d(a2x2)a2x2C；a2x22d(x2(2)解：x2x1dx12x42dx14x13)d(x2)4x132x24x132x24x13(x2)2321ln(x2

55、4x13)1arctanx2C；2xarccosxdx33(3)解：arccosxd(1x2)1x21x2arccosx1x2(1x2)dx11x2arccosxxC；-(4)解：xexdx令ex1t，則xln(t21)ex1得ln(t21)(t21)2ttt2dt12t22ln(t21)dt2tln(t21)21dt2tln(t2t21)4(tarctant)C2ex1x4ex14arctanex1C；(5)解：xsin2xdxx1cos2xdx1xdx1xcos2xdx2221x21xdsin2x1x21xsin2x1cos2xC；44448(6)解：ln(1xex)dxln(1ex)d(

56、ex)exln(1ex)exxexdxe1eexln(1x1exexdxe)1exexln(1ex)xln(1ex)C。2、解：f(sin2x)cos2xtan2x12sin2xsin2x1sin2xf(x)12x1x2x110 xsin21xxf(x)f(x)dx(2xx1)dxx2ln|x1|Cx21ln(1x)C3、解：對(duì)f(x)F(x)sin22x兩邊積分：f(x)F(x)dxsin22xdxF(x)dF(x)1cos4xdx1F2(x)x1sin4x2C228由F(0)1知C1又F(x)0得F(x)x1sin4x14f(x)F(x)1(xdx24、解：由(12cosx)21B2Bco

57、s2xdx(12cosx)由不定積分的定義：有sin4xAsinx12cosxAsinx12cosx(Asinx12cosx11)2(1cos4x)Bdx整理得2cosx1C1B2Bcosx)2(12cosx)即Acosx(12cosx)2Asin2xAcosx2A1B2Bcosx(12cosx)2(12cosx)2(12cosx)2對(duì)此導(dǎo)數(shù)：A2B2，B11BA（也可直接兩邊求導(dǎo)求解）2A335、解：設(shè)fxax2bxc()(a0)-由f(0)0，c0.由f(2)04a2b0b2af(x)ax22ax令f(x)0駐點(diǎn)x10，x22又f(x)2ax2af(0)2a0，x0為極小值點(diǎn)，f(0)2f

58、(2)2a0，x2為極大值點(diǎn)，f(2)6而f(x)f(x)dx(ax22ax)dxax3ax2c3a84acba3由3c2c2f(x)x33x22第五章定積分一、填空題5sin2x)dx=_。1、4(142、41xdx=_。13、4sin3xdx_。04、1arcsinx。01x2dx_5、1xdx_。0 x216、21x2dx_。07、設(shè)fx,dsinx2tdt在上連續(xù)，則fx2dx3x8、設(shè)fx在0,42tdtx3，則f2上連續(xù)，且1f9、e3dx。1x1lnx10、dx。1xx2111、2sinxx43x21cosxdx。1x2f(x)dxb12、_，f(2x)dx_。a13、01sin

59、xdx_。二、單項(xiàng)選擇1、lim111（）nn1n2nn（A）0；（B）e；（C）ln2；（D）1。2、若fxdxxsintxdt，則f等于（）。dx0（A）sinx；（B）1cosx；（C）sinx；。（D）0。-3、定積分2xxexdx的值是（）。2（A）0；（B）2；（C）2e2+2；（D）6。e24、設(shè)fu連續(xù)，已知n12xdx2tftdt，則n=（xf0）0（A）1/4；（B）1；（C）2；（D）4。5、若連續(xù)函數(shù)fx滿足關(guān)系式fx2xftdtln2，則fx等于（）。2（A）exln2；（B）e2xln2；（C）exln2；（D）e2xln2。6、設(shè)M2sinx222x4cosxdx

60、，N2(sinxcosx)dx，212P2(x4sin5xcos2x)dx則有（）2（A）NPM；（B）MpN；（C）NMP；（D）PMN。7、設(shè)f(x)x2x2sin10 x則當(dāng)x0時(shí)，f(x)是g(x)的cos(t2)dt,g(x)0（A）等價(jià)無(wú)量小；（B）同階但非等價(jià)無(wú)量小；（C）高階無(wú)量小；（D）低階無(wú)量小。8、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且F(x)exx2f(t)dt，則F(x)等于（）（A）exf(ex)2xf(x2)；（B）exf(ex)f(x2)；（C）exf(ex)2xf(x2)；（D）exf(ex)f(x2)。9、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(xxf(t)dtx10)