1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 一元二次不等式解法 一元二次不等式解法 高中數學必修5一元二次不等式及其解法教案 高中數學必修5一元二次不等式及其解法教案 教學準備 教學目標 知識與技能 理解三個二次的關系，把握圖像法解一元二次不等式;培養學生數形結合的能力。 過程與方法 經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數圖像探究一元二次不 等式與相應函數、方程的聯系，獲得一元二次不等式的解法; 情感態度與價值觀 激發學習數學的熱心，培養勇于摸索的精神，勇于創新精神，同時體會事物之間普遍聯 系的辯證思想。 教學重難點 一元二次不等式的解法。 理解三個二次之間的關系。 教學過程 (一

2、)課題導入 上網獲取信息已經成為人們日常生活的重要組成部分，因特網服務公司(ISP)的任務就是負責將用戶的計算機接入因特網，同時收取一定的費用。 某同學要把自己的計算機接入因特網，譬如說在我們周邊現有兩家ISP公司電信和網通可供選擇。假使電信公司每小時收費1.5元(不足1小時按1小時計算);網通公司的收費原則如下圖所示，即在用戶上網的第1小時內(含恰好1小時，下同)收費1.7元，第2小時內收費1.6元，以后每小時減少0.1元(若用戶一次上網時間超過17小時，按17小時計算)。 一般來說，一次上網時間不會超過17小時，所以，不妨設一次上網時間總小于17小時。那么，一次上網在多長時間以內能夠保證選

3、擇電信公司的上網費用小于或等于選擇網通公司所需費用? 分析問題：假設一次上網x小時，則電信公司收取的費用為1.5x(元)，網通公司收取的費用為 出的問題，所以我們可知當一次上網在5個小時之內(含5個小時)的時候，選擇電信比選擇網通費用要少。當超過5個小時的時候，選擇網通費用較少。因此，我們可以結合平日的上網時間合理的來進行選擇。 設計意圖：從一個特別的不等式出發，通過圖像分析給出，一元二次不等式可以通過結合其所對的二次函數圖像來進行求解。 (3)探究一般的一元二次不等式的解法 從上面的例子出發，綜合學生的看法，可以歸納出確定一元二次不等式的解集，關鍵要考慮以 下兩點： 小結：解一元二次不等式的

4、步驟： (1)化標準：將不等式化成標準形式(右邊為0、最高次的系數為正); (2)判，求根：計算判別式的值，若值為正，則求出相應方程的兩根; (3)下結論：注意結果要寫成集合或者區間的形式 設計意圖：通過三種不同形式的題目，讓學生從各個面對一元二次不等式進行進一步了解，強調一些考前須知，讓學生規范操作。(在第三個不等式上可以進行探討)。 設計意圖：結合函數定義域，拓寬學生知識面，列出式子讓學生黑板練習，檢驗教學效果。 (三)隨堂練習：課本第80的練習1。 (四)課時小結 今天我們學習了一元二次不等式及其解法，同學下去可以再多看看三個二次之間的關系， 結合函數圖像給出不等式的解集。同時要注意解決

5、一元二次不等式的一些需要注意的地方;例如不等式的右邊為0、最高次的系數為正等等。 同時請同學們下去思考：我們方才提到的好多個不等式的左邊實際上都可以進行因式分解，那么同學們又是否可以根據因式分解的結果來寫出所對不等式的解集呢? 高中數學必修5一元二次不等式及其解法教案 整體設計 教學分析 1.本節內容對學生來說不算太陌生，涉及的概念也不算多，所表現的數學基本思想也不繁雜.但是，一元二次不等式解法作為高中數學最重要的內容之一，也是中學數學的一個基礎和工具.由于一元二次不等式解法與二次函數聯系緊湊，而二次函數又是學生在初中數學學習中的一個薄弱環節，因此好多學生對此學習表現出困惑.要使學生通過學習本

6、節內容后，達到新課標所規定的要求卻并非易事.因此在教學中要根據學生的實際狀況，通過大量的實例，引導學生抽象概括，逐步理解把握有關概念及思想方法，不可期待一蹴而就.要通過解題，逐步理解把握有關方法與思想的內涵，避免陷入煩瑣的計算與人為技巧之中，要重視引導學生經歷摸索、解決問題的過程.教師要充分閱讀新課標，深刻理解本節的編寫意圖. (1)意圖一是數形互補，加強直觀，突出精簡實用.對一元二次不等式的解法，沒有介紹較煩瑣的純代數方法，而是結合二次函數的圖象，采取簡單明白的數形方法，表達刪繁就簡的意圖.淡化解(證)不等式的技巧性要求，凸現了不等式的實際情境、幾何意義及實際應用. (2)意圖二是總結方法，

7、提煉思想，激勵創新實用.對一元二次不等式求解嘗試設計求解程序框圖的要求，融入了算法的思想.其一是為算法找到了用武之地，其二是不但實現了不等式的上機求解，而且對不等式結構的認識顯得更加清楚，更能看清問題的本質.其他如優化思想、化歸思想、分類探討思想、方程思想等. (3)意圖三是重視聯系，更新觀念，建立創新數學觀.在教學中要積極引導學生，將所學內容與日常生活、生產實際、其他學科聯系起來.通過類比、聯想、知識遷移等方式，使學生體會本章知識間與其他知識間的有機聯系，注意函數、方程、不等式的聯系，數與形的聯系，算法思想、優化思想、化歸思想在有關內容中的滲透以及不同內容中的應用等. 2.本節分為三個課時.

8、第一課時，理解一元二次不等式及其解法中的一些基本概念，求解一元二次不等式的步驟，求解一元二次不等式的程序框圖.根據這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數的關系兩者之間的區別與聯系.其次課時通過例題的講解和學生的練習，更深入透露一元二次不等式解法與二次函數的關系，繼續探究一元二次不等式解法的步驟和過程，及時加以穩定.第三課時通過進一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集與一元二次方程根的關系，研究含有參數的一元二次不等式的解法.通過例題的探究和變式訓練，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力. 實際教學時用兩條途徑研討二次不等式的解法：一是對函數式配方并作出二次函數的圖象;二是當函數

9、存在零點時，對函數式進行因式分解.應當把其次條途徑理解為是對第一條途徑依據原理的加深理解.另外其次條途徑的方法是把二次轉化為一次來求解，化難為易，高次轉 化為低次求解，這是研究代數問題的一條基本途徑.我們教學的目的，不僅僅是讓學生把握解法，更重要的是讓學生把握研究問題的方法和技能. 三維目標 1.深刻理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式三個二次之間的關系，逐步提高學生的運算能力和規律思維能力，培養學生分析問題和解決問題的能力. 2.通過含參不等式的探究，正確地對參數分區間進行探討.并通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辯證的世界觀. 3.

10、通過圖象解法滲透數形結合、分類化歸等數學思想，培養學生動手能力、觀測分析能力、抽象概括能力、歸 納總結等系統的規律思維能力，培養學生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質. 重點難點 教學重點：突出表達數形結合的思想，熟練地把握一元二次不等式的解法，并理解解法的幾何意義. 教學難點：深刻理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的聯系. 課時安排 3課時 教學過程 第1課時 導入新課 思路1.(類比導入)讓學生回憶解方程3x+2=0的方法.作函數y=3x+2的圖象，解不等式3x+20.我們發現一元一次方程、一元一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系.利用這種聯系我們可以快速確切地求出一

11、元一次不等式的解集.類似地，我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來探討找到其求解方法呢? 思路2.(直接導入)教師利用多媒體展示兩個不等式：15x2+30 x-10和3x2+6x-10.讓學生觀測這兩個不等式的共同點是什么?由此展開新課. 推進新課 新知探究 提出問題 1什么是一元二次不等式?2回憶一元一次方程、一元一次不等式及一次函數三者之間有什么聯系?3類比三個一次之間的關系，怎樣探究一元二次不等式的解法? 活動：為了探究一元二次不等式的解法，教師可引導學生先回憶已經學過的一元一次不等式的解法，回憶一元一次不等式與一元一次方程及一次函數三者之間的關系.這樣做不僅僅是為探

12、究一元二次不等式的解法尋覓類比的平臺，也是為學生對不等式的知識結構有個系統的把握. 一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系：可通過觀測一次函數的圖象求得一元一次不等式的解集.函數圖象與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式的解集為函數圖象落在x軸上方(下方)部分對應的橫坐標. 類比以上，我們來探究一元二次不等式與一元二次方程與二次函數的關系，并從中找出解決一元二次不等式的求解方法 .在初中學習二次函數時，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數y=x2-5x，當x為何值時，y=0?當x為何值時，y0?當x為何值時，y0?因此二次函數、一元二次方程和一元二次不等式之間有著十分密切的聯系. 教師利

13、用多媒體讓學生探究一元二次不等式x2-5x0和x2-5x0的解法. 先考察二次函數y=x2-5x=(x-52)2-254的圖象和性質，如下圖. 當x=0或x=5時，y=0，即x2-5x=0; 當0 當x0或x5時，y0，即x2-5x0. 這就是說，若拋物線y=x2-5x與x軸的交點是(0,0)與(5,0)， 則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5. 一元二次不等式x2-5x0的解集是x|00的解集是x|x0或x5. 這樣，我們通過對函數式配方、畫圖就能解出一元二次不等式的解集. 另一種方法，教師可引導學生對函數式進行分解，即x2-5x=x(x-5).因此解不等式x2-5x0，等

14、價于解不等式組x0，x-50或x0，x-50. 解這兩個不等式組，得x5或x0. 這種化高次為低次的研究方法，也是我們研究問題的重要方法.但把這兩種方法進行對比，可以明顯地體會到，作出相應的二次函數的圖象，并由圖象直接寫出解集的方法更簡便一些.今后我們解一元二次不等式時就可用第一種方法來解. 由一元二次不等式的一般形式，知任何一個一元二次不等式，結果都可以化為ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)的形式，而且我們已經知道，一元二次不等式的解與其相應的一元二次方程的根及二次函數的 圖象有關，即由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集. 由于一元二次方

15、程ax2+bx+c=0(a0)的根有三種狀況，即兩個不等實根，兩個相等實根，無實根，反映在其判別式=b2-4ac上分別為0，=0，0三種狀況.相應地，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸的相關位置也分為三種狀況(如下圖).因此，對相應的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)的解集我們也分這三種狀況進行探討. (1)若0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸有兩個交點圖(1)，即方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個不相等的實根x1，x2(x10(a0)的解集是x|xx2;不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是x|x1 (2)若=0，此時拋物線y=ax2+bx

16、+c(a0)與x軸只有一個交點圖(2)，即方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等的實根x1=x2=-b2a，則不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是x|x-b2a;不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是. (3)若0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點圖(3)，即方程ax2+bx+c=0(a0)無實根，則不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是R;不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是. =b2-4ac 0 =0 0 二次函數 y=ax2+bx+c(a0) 的圖象 ax2+bx+c=0的根 x1,2=-b2a x1=x2=-b2a ax2+bx+c0的解集 x|xx

17、2 x|x-b2a R ax2+bx+c0的解集 x|x1 這樣根據二次函數圖象及一元二次方程根的狀況，就可迅速求解一元二次不等式的解集，但教師需點撥學生注意：一是不要死記上表中的一元二次不等式的解集，對具體的一元二次不等式，首先想到的是二次函數圖象，想到的是判別式的狀況;二是不等式的解集一定要書寫規范，只能用集合或區間表示，避免出現似是而非的錯誤.對于ax2+bx+c0(a0)的狀況，只需將二次項系數化為正值再求解即可. 探討結果： (1)含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的整式不等式，叫做一元二次不等式. (2)略. (3)兩條途徑探究一元二次不等式的解法：一條是對函數式配方、畫圖解決

18、;另一條是對函數式進行因式分解解決. 應用例如 例1(教材本節例1) 活動：本例的目的是讓學生熟悉怎樣結合二次函數 、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎樣書寫解題步驟和解集.本例可讓學生自己解決，待充 分暴露問題后，教師進行一一點撥改正. 點評：解完此例后，教師可結合多媒體回想前面探究的一般一元二次不等式的解集，進一步加深學生對一元二次不等式解法的理解. 變式訓練 1.解不等式4x2+4x+10. 解：=42-44=0，由二次函數y=4x2+4x+1的圖象，可知原不等式的解集為. 2.解不等式(1)x2+4x+40;(2)x2+4x+40. 解：= 42-414=0， 原不等式可化為(1)

19、(x+2)20;(2)(x+2)20. 原不等式(1)的解集為R;不等式(2)的解集為-2. 例2解不等式-3x2+15x12. 活動：本例的二次項系數為負，教師引導學生先將不等式變為標準形式，即3x2-15x+120.進一步化簡得x2-5x+40，然后結合二次函數圖象及一元二次方程即可求解.可由學生自己完成. 解：原不等式可化為x2-5x+40.0，且方程x2-5x+4=0的兩根為x1=1，x2=4，原不等式的解集為x|1 點評：點撥學生充分利用一元二次不等式與二次函數、一元二次方程之間的關系. 變式訓練 解不等式-x2+5x6. 解：原不等式變形為x2-5x+60. =(-5)2-416=

20、10，方程x2-5x+6=0的兩根為x1=2，x2=3，原不等式的解集為x|2 例3不等式ax2+bx+20的解集是x|-12 A.-4 B.14 C.-10 D.10 答案：C 解析：由ax2+bx+20的解集是x|-12 a-b=-10. 點評：已知不等式的解集求相應系數，此類問題應轉化為相應方程對應根的問題.運用根與系數的關系求解. 變式訓練 1.解不等式4(2x2-2x+1)x(4-x). 解：原不等式整理，得9x2-12x+40.=144-494=0，方程9x2-12x+4=0的解是x1=x2=23，原不等式的解集是x|x23. 2.若不等式|8x+9|7和不等式ax2+bx-20的

21、解集相等，則實數a、b的值為() A.a=-8，b=-10B.a=-4，b=-9 C.a=-1，b=9 D.a=-1，b=2 答案：B 解析：由|8x+9|7，得-2 -2，-14是方程ax2+bx-2=0的兩根. 故-2-14=-ba，-2-14=-2a，解得a=-4，b=-9. 例4解不等式(12) (12) 活動：本例需要根據指數函數的性質，這對學生來說有點難度，教師可根據學生的探究狀況適時點撥，將不等式等價轉化為一元二次不等式. 解：由指數函數y=(12)x是單調遞減函數可知， 原不等式等價于2x2-5x+6x2+x+6，即x2-6x0. 解這個一元二次不等式得x0或x6. 原不等式的

22、解集為x|x0或x6. 知能訓練 1.設集合M=x|x2-x0，N=x|x|2，則() A.MN= B.MN=M C.MN=M D.MN=R 2.已知集合A=x|x2-5x+60，集合B=x|2x-1|3，則集合AB等于() A.x|2x3 B.x|2x3 C.x|2 3.不等式x2-2x+3a2-2a-1在R上的解集是，則實數a的取值范圍是_. 答案： 1.B解析：M=x|0 MN.MN=M. 2.C解析：由x2-5x+60，解得2x3.由|2x-1|3，解得x-1或x2，所以AB=x|2 3.-1 在R上解集為. =4-4(-a2+2a+4)0， 即a2-2a-30.解得-1 課堂小結 1

23、.由學生回想本節課的探究過程，再次領悟通過二次函數圖象解一元二次不等式的方法要領.點撥學生注意不要死記書上的解集表，要抓住對應的二次方程的根來活記活用，要重視數形結合思想.解一元二次不等式就是借助于二次函數的圖象，抓住拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸的交點，從而確定不等式的解集.同時運用二次函數圖象的直觀性幫助記憶. 2.教師強調，一元二次不等式的解集可用集合或區間表示，區間是特別數集的表示方式，要能正確、熟練地使用區間表示不等式的解集. 作業 課本習題33A組2(1)(4)、3. 設計感想 本課時設計表達新課標理念.由于本節內容的工具性特點，課堂上要激勵學生思考交流與動手實踐，讓學生

24、養成獨立思考和勇于質疑的習慣.同時也應學會與他人交流合作、培養嚴謹的科學態度和不怕困難的頑強精神. 本課時設計加強了直觀.由于本節教材內容有著豐富的幾何背景，充分利用二次函數圖象解一元二次不等式是新課標的特色.對一元二次 不等式的解法，沒有介紹較煩瑣的純代數的方法，而是結合二次函數的圖象，采取簡單明白的數形結合方法. 本課時設計突出二次函數的作用.一元二次不等式解集的得出是數形結合法運用的典型范例，務必要求學生對這種方法有深刻的認識與體會.必要時，甚至讓學生像當時學習平面幾何時識圖一樣，去認識函數的圖象，從圖象上真正把握其內在本質.讓學生明確，畫二次函數圖象只要關鍵點把握準即可，我們是利用它來

25、解不等式，并不是要它本身，因而也沒有必要精益求精地把圖象畫得十分準確. (設計者：鄭吉星) 第2課時 導入新課 思路1.讓學生回想利用一元二次方程、二次函數間的關系求解一元二次不等式的操作過程，嘗試自己獨立畫出求解一元二次不等式求解的基本過程的程序框圖，由此導入新課. 思路2.讓學生思考回復一元二次不等式、一元二次方程和二次函數的聯系是什么呢?一元二次不等式、一元二次方程和二次函數的聯系是：設二次函數y=ax2+bx+c (a0)的圖象是拋物線l，則不等式ax2+bx+c0，ax2+bx+c0的解集分別是拋物線l在x軸上方，在x軸下方的點的橫坐標x的集合;二次方程ax2+bx+c=0的根就是拋

26、物線l與x軸的公共點的橫坐標，即二次函數y=ax2+bx+c的零點，本節課進一步熟悉這種關系. 推進新課 新知探究 提出問題 1回憶一元二次不等式的解法，并說明一元二次不等式與一元二次方程、二次函數具有怎樣的關系? 2回憶一般一元二次不等式的求解過程，你能用一個程序框圖把這個求解過程表示出來嗎? 3根據所學知識探究簡單的分式不等式與簡單的高次不等式的解法.這不是教材上的重點，但需要學生知道其變形原理且課后習題有分式不等式 活動：教師引導學生回想一元二次不等式與一元二次方程、二次函數之間的關系：設二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象是拋物線l，則不等式ax2+bx+c0，ax2+bx+c0

27、的解集分別是拋物線l在x軸上方，在x軸下方的點的橫坐標x的集合;一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線l與x軸的公共點的橫坐標，即二次函數y=ax2+bx+c的零點，一元二次不等式的求解步驟，即程序是： (1)將二次項系數化為正數：y=ax2+bx+c0(或0)(a0). (2)計算判別式，分析不等式的解的狀況： 0時，求根x10，則xx2，若y0，則x1 =0時，求根x1=x2=x0，若y0，則xx0的一切實數，若y0，則x，若y=0，則x=x0; 0時，方程無解，若y0，則xR，若y0，則x. (3)寫出解集. 為突出算法在數學中的應用，體會算法的基本思想及算法的重要性和有效性，可

28、激勵學生自行設計一個程序框圖，將上述求解一元二次不等式的基本過程表示出來.結合多媒體給出下面的框圖，讓學生與教材78頁程序框圖對比異同. 分式不等式的同解變形有如下幾種： (1)fxgx0 f(x)g(x)0; (2)fxgx0 f(x)g(x)0; (3)fxgx0 f(x)g(x)0且g(x)0; (4)fxgx0 f(x)g(x)0且g(x)0. 分式不等式與簡單的高次不等式在轉化為一次或二次不等式組時，每一步變形，都應是不等式的等價變形.在等價變形時，要注意什么時候取交集，什么時候取并集.帶等號的分式不等式，要注意分母不能為零.另外，在取交集、并集時，可以借助數軸的直觀效果，這樣可 避

29、免出錯. 關于分式不等式與簡單的高次不等式的解法，課本沒作要求，但需了解其變形原理.簡單高次不等式的解法可在備課資料中參閱. 探討結果： (1)(3)略. 應用例如 例1(教材本節例5) 活動：教師可引導學生對函數定義域稍作回想復習，點撥學生明確要使函數f(x)有意義，務必2x2+x-30，且3+2x-x20同時成立.然后由學生自己完成此例. 變式訓練 設f(x)= 則不等式f(x)2的解集為() A.(1,2)(3，+)B.(10，+) C.(1,2)(10，+) D.(1,2) 答案：C 解析：f(x)= 不等式f(x)2的解集由 或 解得.解得110，綜上，不等式f(x)2的解集為(1,

30、2)(10，+). 例2解以下不等式： (1)x+1x-30;(2)5x+1x+13. 活動：對于這種分子、分母含x的因式的不等式，先把不等式的右邊化為0，然后轉化為整式不等式來解.本例讓學生自主探究，教師適時點撥. 解：(1)不等式x+1x-30可轉化成不等式(x+1)(x-3)0且x3， 解得x-1或x3.原不等式的解集為x|x-1或x3. (2)不等式5x+1x+13可等價轉化為2x-1x+10，即(x-1)(x+1)0.解得-1 原不等式的解集為x|-1 點評：本例表達了分式不等式與整式不等式之間的轉化.提醒學生注意轉化的等價性. 變式訓練 不等式x+1x-20的解集是_. 答案：x|

31、x-1或x2 解析：不等式x+1x-20等價于(x+1)(x-2)0. 解這個一元二次不等式得x-1或x2. 原不等式的解集是x|x-1或x2. 例3函數y=1xln(x2-3x+2+-x2-3x+4)的定義域為() A.(-，-42，+) B.(-4,0)(0,1) C.-4,0)(0,1 D.-4,0)(0,1) 活動：教師引導學生根據定義域的要求寫出相應的不等式，本例可由學生自己完成. 答案：D 解析：由題意知， x0 x2-3x+20-x2-3x+40 x2-3x+2+-x2-3x+40 x0 x2或x1-4x1-4x1， 所以-4x0或0 點評：本例作為選擇題，也可用特值排除法，明顯

32、排除A.取x=1，-4可排除B、C. 變式訓練 函數y=-x2+x+6x-1的定義域是_. 答案：-2,1)(1,3 解析：由-x2+x+60，x-10，解得-2x3，x1. 故所求定義域為-2,1)(1,3. 知能訓練 1.已知集合M=x|x24，N=x|x2-2x-30，則集合MN等于() A.x|x-2 B.x|x3 C.x|-1 2.解不等式組x2-6x+80，x+3x-12. 答案： 1.C解析：M=x|-2 故MN=x|-1 2.解：由x2-6x+80，得(x-2)(x-4)0，所以x2或x4. 由x+3x-12，得-x+5x-10，即1 課堂小結 1.由學生自己理順整合本節所學知

33、識點.歸納求解簡單不等式的轉化方法及程序框圖的應用等. 2.教師進一步強調，一元二次不等式、一元二次方程和二次函數的聯系，尋常稱為三個二次問題.我們要深刻理解、牢牢把握，并靈活地應用它，它是函數與方程思想的應用范例. 作業 習題33A組2(5)(6)、4;習題33B組1. 設計感想 1.本課時設計充分表達學生的主體地位 ，引導學生積極參與課堂探究，使教學過程由封閉型向開放型轉化.在教學過程中由教師到學生的單向交流，變成師生之間多向交流，使教學成為一個摸索、發現、創造的過程. 2.本課時重視了探究過程的操作，使教學過程設計更優化更合理.由于長期以來的課堂教學太過于重視結論，輕視過程.為了應付考試

34、，為了使公式定理應用達到所謂熟能生巧，教學中不惜花大量的時間采用題海戰術來進行加強.在教學概念公式的教學中往往采用的所謂掐頭去尾燒中段的方法，到頭來把學生加強成只會套用公式的解題機器，這樣的學生面對新問題、新高考將束手無策. 3.本課時設計注意聯系，重視概括，重視應用，提高學生數學能力的側重.我們常說教學有法、教無定法、因材施教、貴在得法，教學作為一門科學應當有規律可循，但是教學作為一門藝術，不應當也不能依靠某一種教學方法來實現它的全部功能，更重要的是應博采眾長，優化課堂環境，重視提高學生的數學素質. (設計者：鄭吉星) 第3課時 導入新課 思路1.(復習導入)教師展示一元二次不等式、一元二次

35、方程和二次函數的聯系圖表，點撥學生觀測發現關于ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0(a0)恒成立問題的條件.在學生精心凝思的探究中引入新課. 思路2.(問題導入)我們解決x2-5x+40這樣的一元二次不等式的求解問題，假如題目中含有字母參數怎么辦呢?如解這樣的不等式： ax2-5x+40.在學生的思考探究中自然地引入新課. 推進新課 新知探究 提出問題 1回憶一元二次不等式的解法，簡單分式不等式的解法.一元二次不等式解法。 2你能快速解決以下不等式嗎? -x2+5x6;x2-4x+40;x2+2x+30; 2. 3觀測一元二次方程的根、一元二次不等式的解集與二次函數的圖象的關系圖表，

36、你能有什么獨到的發現嗎? 活動：教師引導學生回想一元二次不等式的求解過程，體會數形結合的威力.對一元二次不等式的解法應達到心算的程度，即對所給的一元二次不等式要能夠通過心算，得出相應方程的解，再在腦海中想象出其二次函數的圖象，立刻得到原不等式的解.關鍵是深刻理解三個二次之間的關系.教師引導學生觀測圖表(多媒體課件演示). 課件一元二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具體關系比較如下表. 判別式=b2-4ac 0 =0 0 二次函數 y=ax2+bx+c (a0)的圖象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 0)的根 有兩相異實根 x1,2=-bb2-4ac2a (x1

37、x1=x2=-b2a 沒有實根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+c0 (a0) x|xx2 xR|x-b2a R ax2+bx+c0 (a0) x|x1 觀測上表，引導學生進一步觀測出：ax2+bx+c0對一切xR都成立的條件為a0，0;ax2+bx+c0對一切xR都成立的條件為a0，0.一元二次不等式解法。 探討結果： (1)略. (2)(2,3);(-，2)(2，+);(-13，-5). (3)ax2+bx+c0(a0)對一切xR都成立，則a0且0;ax2+bx+c0(a0)對一切xR都成立，則a0，0. 應用例如 例1解不等式mx2-2x+10. 活動：此題對解集的影響因素較

38、多，若處理不當，不僅要分類探討，而且極易漏解或重復.較好的解決方法是整體考慮，分區間探討，方為上策.顯然此題首先要探討m與0的大小，又由=4-4m=4(1-m)，故又要探討m與1的大小.我們將0與1分別標在數軸上，將區間進行劃分，這樣就可以保證不重不漏. 解：=4-4m=4(1-m)， 當m0時，0，此時x1=1+1-mm 解集為x|1+1-mm 當m=0時，方程為-2x+10，解集為x|x12， 當00，此時x1=1+1-mmx2=1-1-mm， 解集為x|x1+1-mm或x1-1-mm. 當m=1時，不等式為(x-1)20， 其解集為x|x1; 當m1時，此時0，故其解集為R. 點評：在以

39、上的探討中，請不要漏掉在端點的解集的狀況. 變式訓練 解關于x的不等式2x2+kx-k0. 解：=k2+8k=k(k+8). (1)當0，即k-8或k0時，方程2x2+kx-k=0有兩個不相等的實根， 所以不等式2x2+kx-k0的解集是 x|-k-kk+84x-k+kk+84; (2)當=0，即k=-8或k=0時，方程2x2+kx-k=0有兩個相等的實根， 所以不等式2x2+kx-k0的解集是-k4，即0,2; (3)當0，即-8 所以不等式2x2+kx-k0的解集為. 例2已知關于x的一元二次不等式ax2+(a-1)x+a-10的解集為R，求a的取值范圍. 活動：原不等式的解集為R，即對一

40、切實數x不等式都成立，故必然有y=ax2+(a-1)x+a-1的圖象開口向下，且與x軸無交點，反映在數量關系上則有a0且0. 解：由題意，知要使原不等式的解集為R，務必a0，0， 即a0a-12-4aa-10 a03a2-2a-10 a0a1或a-13 a-13. a的取值范圍是(-，-13). 點評：此題若無一元二次不等式的條件，還應考慮a=0的狀況，但對此題講a=0時式子不恒成立.(想想為什么) 變式訓練 若函數f(x)=kx2-6kx+k+8的定義域為R，求實數k的取值范圍. 解：顯然k=0時滿足.而k0時不滿足， k0=36k2-4kk+800 k的取值范圍是0,1. 例3解 關于x的

41、不等式x2-x-a(a-1)0. 活動：對應的一元二次方程有實數根1-a和a，不等式中二次項的系數為正，所以要寫出它的解集需要對兩根的大小進行探討. (1)當最高次項系數含有字母時，首先需探討該系數是否為零. (2)整合結論時，對所探討的對象按一定的順序進行整理，做到不重不漏. 解：原不等式可以化為(x+a-1)(x-a)0， 若a-(a-1)，即a12，則xa或x1-a. x(-，1-a)(a，+); 若a=-(a-1)，即a=12，則(x-12)20. xx|x12，xR; 若a-(a-1)，即a12，則x1-a. x(-，a)(1-a，+). 點評：解含參數的一元二次不等式，尋常狀況下，

42、均需分類探討，那么如何探討呢?首先，務必弄明了它的解集與哪些因素有關.一般地，一元二次不等式的解集(以ax2+bx+c0為例)常與以下因素有關：(1)a;(2);(3)兩根x1、x2的大小.其中系數a影響著解集結果的形式，關系到不等式對應的方程是否有解，而兩根x1、x2的大小關系到解集結果的次序;其次再根據具體狀況，合理分類，確保不重不漏. 變式訓練 已知a1a2a30，則使得(1-aix)21(i=1,2,3)都成立的x取值范圍是() A.(0，1a1)B.(0，2a1)C.(0，1a3)D.(0，2a3) 答案：B 解析：(1-aix)21a 2ix2-2aix0a 2ix(x-2ai)0

43、. 解集為(0，2ai).又02a12a22a3，x(0，2a1).應選B. 例4若關于x的方程22x+2xa+a+1=0有實根，求實數a的取值范圍. 活動：教師引導學生思考探究，由于2x0，故問題等價于關于2x的二次方程有正根時，求實數a的取值范圍.因而可利用一元二次方程與二次函數之間的關系進行求解. 解：設f(t)=t2+at+a+1，當t=2x0時，方程f(t)=0有實根，就轉化為求函數f(t)在t軸正方向上至少有一個交點的條件，所以f(0)0或f00，0，-a20.解得a-1或-1a2-22. 故所求a的取值范圍是a2-22. 點評：注意換元法與轉化法的運用，充分利用數形結合思想. 變

44、式訓練 已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且不等式f(x)-2x的解集為(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式; (2)若f(x)的最大值為正數，求a的取值范圍. 解：二次函數f(x)的二次項系數為a，令f(x)=ax2+bx+c. 由f(x)-2x的解集為(1,3)，ax2+bx+c-2x，即ax2+(b+2)x+c0的解集為(1,3). f( x)=ax2-(4a+2)x+3a. (1)由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0. =0，得5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-15. 又a0，a=-15.f(x)=-15x2

45、-65x-35. (2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-1+2aa)2-a2+4a+1a，及a0，得f(a)max=-a2+4a+1a.由 解得a-2-3或-2+3 知能訓練 1.已知關于x的二次不等式px2+px-40對任意實數x都成立，求實數p的范圍. 2.已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有兩個負實根，求實數k的取值范圍. 答案： 1.解：當p=0時，-40，成立. 當p0且0時，得-16 綜上，知-16 2.解：要使原方程有兩個負實根，務必 2k+100 x1+x20 x1x20k+10k2+k-20-4k2k+103k-22k+10k-1-20或k-1

46、k23或k-1-2 實數k的取值范圍是k|-2 課堂小結 1.由學生歸納總結本節是如何解決含有字母參數的不等式的求解方法?需要注意哪些問題?怎樣確定解題的切入點? 2.教師畫龍點睛，總結本節課用到的不等式的基礎知識，領悟分類探討思想、化歸思想、換元思想等數學思想方法的運用. 作業 習題33A組5、6、7;B組3、4. 設計感想 1.本課時設計重視以學生為主體，改變學生學習方式，提高學習質量.為了發揮教學過程的整體教育功能，保持教學系統的最大活力，在教學中綜合運用多種教學方法，形成良好的整體結構，發揮教學的最大效益. 2.本課時設計根據近幾年高考特點適當對例題、習題做了一些拓展，目的是讓學生進一

47、步理解一些數學方法和數學思想，拓寬學生的數學視野.但嚴格操縱了題目難度及題目數量，以大多數學生的接受水平作為參考依據.否則，在我們的教學中就有可能穿新鞋走老路，隨便提高教學要求，對教學效果產生負面影響. 3.本課時設計沒有單純從教學內容出發而進行設計，而是重視了對深層次的教學目的的考慮.這正是值得我們深思的問題，否則，我們的教學將只停留在知識內容或方法上，而忽略能力和素質要求，缺乏深層次的思考. 備課資料 一、備用習題 1.關于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有兩個不等的實根，則m的取值范圍是() A.(-14，+) B.(-，-14) C.-14，+) D.(-14，0)(0，+) 2

48、.不等式x+5x-122的解集是() A.-3，12 B.-12，3 C.12，1)(1,3 D.-12，1)(1,3 3.若不等式ax2+5x+b0的解集為x|13 4.若方程x2-(k+2)x+4=0有兩負根，求k的取值范圍. 5.已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解集為R，求實數a的取值范圍. 6.解關于x的不等式(并將解按a的值進行分類)x2-(a+a2)x+a30(aR). 7.若ax2-2x+a的值可取得一切正實數，求a的取值范圍. 參考答案： 1.D解析：由m0且0，得m-14，選D. 2.D解析：原式可化為x+52x-12x-10 x-12，1)(1,3. 3.-

49、6-1解析：由a00 x1+x2=13+12x1x2=1312 a00-5a=56ba=16 a=-6，b=-1. 4.解：由0 x1+x20 x1x20 -k+22-160k+2040 k-6或k2k-2 k-6. 5.解：若a2-1=0，即a=1或a=-1. 當a=-1時，原不等式解集為x|x12，不滿足題意; 當a=1時，原不等式解集為R，滿足題意. 若a2-10，即a1時，要使原不等式的解集為R， 務必a2-100 a2-10a-12-4a2-1-10 -35 實數a的取值范圍是(-35，1)1=(-35，1. 6.解：化為(x-a2)(x-a)0(在數軸上，不等式的解應在兩根a、a2之外，但a、a2誰大?需要探討)，對比a與a2的大小：a2-a=a(a-1)根為0、1，將數軸分成三段. 當a0時，aa2，原不等式的解集為(-，a)(a2，+); 當a=