1、1(本小題總分值12分)(2019河北衡水中學(xué)模擬)已經(jīng)知道橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(2),2)，且過點P(eq f(r(2),2)，eq f(r(3),2)，動直線l：ykxm交橢圓C于不同的兩點A，B，且eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()0(O為坐標(biāo)原點)(1)求橢圓C的方程(2)討論3m22k2是否為定值？假設(shè)為定值，求出該定值；假設(shè)不是，請說明理由1解：(1)由題意可知eq f(c,a)eq f(r(2),2)，a22c22(a2b2)，即a22b2.又點P(eq f(r(2),2)，eq f(r(3)

2、,2)在橢圓上，eq f(2,4a2)eq f(3,4b2)1.由聯(lián)立，解得b21，a22，故所求的橢圓方程為eq f(x2,2)y21.(2)3m22k2為定值，理由如下：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()0，可知x1x2y1y20.聯(lián)立eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,2)y21，)消去y，化簡整理得(12k2)x24kmx2m220.由16k2m28(m21)(12k2)0，得12k2m2，x1x2eq f(4km,12k2)，x1x2eq f(2m22,12k2).又x1x2y1y20，即x1x2(kx

3、1m)(kx2m)0，整理得(1k2)x1x2km(x1x2)m20.將代入上式，得(1k2)eq f(2m22,12k2)kmeq f(4km,12k2)m20.化簡整理得eq f(3m222k2,12k2)0，從而得到3m22k22.2(本小題總分值12分)(2019湖北八市十二校第二次聯(lián)考)已經(jīng)知道函數(shù)f(x)(2a1)ln xaxeq f(2,x)(aR)(1)當(dāng)a1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)eq f(ex1axa,x2)，假設(shè)x2是g(x)的唯一極值點，求a.2解：(1)當(dāng)a1時，f(x)ln xxeq f(2,x)，定義域為(0，)f(x)eq f(1,

4、x)1eq f(2,x2)eq f(x1x2,x2).令f(x)0，解得x2.當(dāng)0 x2時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x2時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(2，)上單調(diào)遞減故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，)(2)由題意得，g(x)(2a1)ln xaxeq f(2,x)eq f(ex1axa,x2)，x(0，)g(x)eq f(2a1,x)aeq f(2,x2)eq f(ex1ax2ex1axa2x,x4)eq f(x2ex1ax2xa,x3)，x(0，)由于x2是g(x)的唯一極值點，那么有以下兩種情形；情形一：ex1ax2xa0對任意的x

5、(0，)恒成立情形二：ex1ax2xa0對任意的x(0，)恒成立設(shè)h(x)ex1ax2xa，x(0，)，h(1)0，h(x)ex12ax1.當(dāng)a0時，h(x)ex11，那么h(1)0.可得x1時，函數(shù)h(x)獲得極小值即最小值，h(x)h(1)0.滿足題意當(dāng)a0時，2a0，h(x)ex12ax1在(0，)上單調(diào)遞增又h(0)eq f(1,e)10，h(1)2a0，存在x0(0，1)，使得h(x0)0.當(dāng)xx0時，h(x)0，h(x)在(x0，)上單調(diào)遞增，h(x0)h(1)0h(2)，這與題意不符當(dāng)a0時，設(shè)p(x)ex12ax1，xR，p(x)ex12a，令p(x)0，解得x1ln(2a)可

6、得p(x)在(，1ln(2a)上單調(diào)遞減，在(1ln(2a)，)上單調(diào)遞增(i)當(dāng)aeq f(1,2)時，1ln(2a)1，由h(x)在(0，1ln(2a)上單調(diào)遞減，可得h(x)h(0)0，h(x)在(0，1ln(2a)上單調(diào)遞減，h(eq f(1,2)h(1)0h(1ln(2a)，這與題意矛盾，舍去(ii)當(dāng)0aeq f(1,2)時，1ln(2a)1，由h(x)p(x)的單調(diào)性及h(0)0，h(1)0，知當(dāng)x(0，1時，都有h(x)0.又h(x)在(1，3)上單調(diào)遞增，h(3)e26a1e26eq f(1,2)10，那么存在x1(1，3)，使得h(x1)0.0 xx1時，h(x)0，如今h

7、(x)單調(diào)遞減，h(eq f(1,2)h(1)0h(x1)，這與題意矛盾，舍去綜上可得a0.3.(本小題總分值12分)(2019廣東深圳高三第一次調(diào)研)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O，其右焦點為F(1，0)，且點P(1，eq f(3,2)在橢圓C上(1)求橢圓C的方程(2)設(shè)橢圓的左、右頂點分不為A，B，M是橢圓上異于A，B的任意一點，直線MF交橢圓C于另一點N，直線MB交直線x4于點Q，求證：A，N，Q三點在同一條直線上3(1)解：(方法一)設(shè)橢圓C的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)一個焦點坐標(biāo)為F(1，0)，另一個焦點坐標(biāo)為(1，0)

8、由橢圓定義可知2aeq r(112f(3,2)02)eq r(112f(3,2)02)4，a2，b2a2c23，橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(方法二)設(shè)橢圓C的方程為eq f(x2,m)eq f(y2,n)1(mn0)一個焦點坐標(biāo)為F(1，0)，mn1.點P(1，eq f(3,2)在橢圓C上，eq f(1,m)eq f(9,4n)1.由得m4，n3，橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)證明：由題意知直線MN的歪 率不為0，設(shè)直線MN的方程為xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程并消去x得(3m24)y2

9、6my90，那么0，y1y2eq f(6m,3m24)，y1y2eq f(9,3m24).又直線BM的方程為yeq f(y1,x12)(x2)，令x4得Q(4，eq f(2y1,x12)eq o(AN,sup6()(x22，y2)，eq o(AQ,sup6()(6，eq f(2y1,x12)6y2(x22)eq f(2y1,x12)eq f(6y2x122y1x22,x12)eq f(6y2my1122y1my212,my112)eq f(4my1y26y1y2,my11)eq f(4mf(9,3m24)6f(6m,3m24),my11)0，eq o(AN,sup6()eq o(AQ,sup6

10、().又eq o(AN,sup6()和eq o(AQ,sup6()有公共點A，A，N，Q三點在同一條直線上4(本小題總分值12分)(2019湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)三模)已經(jīng)知道函數(shù)f(x)aln xxeq f(1a,x).(1)當(dāng)a2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)設(shè)g(x)exmx23，當(dāng)ae21時，對任意x11，)，存在x21，)，使f(x1)2e2g(x2)，求證：me2e.4(1)解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，又f(x)eq f(a,x)1eq f(a1,x2)eq f(x1xa1,x2).由f(x)0，得x1或xa1.當(dāng)a2，即a11時，由f(x)0得1xa1；由f(x)0得0 x1或xa1.當(dāng)a2即a11時，當(dāng)x0時都有f(x)0.當(dāng)a2時，單調(diào)減區(qū)間是(1，a1)，單調(diào)增區(qū)間是(0，1)，(a1，)；當(dāng)a2時，單調(diào)增區(qū)間是(0，)，沒有單調(diào)減區(qū)間(2)證明：當(dāng)ae21時，由(1)知f(x)在(1，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增從而f(x)在1，)上的最小值為f(e2)e23.對任意x11，)，存在x21，)，使g(x2)f(x1)2e2，即存在x21，)，使g(x)的值不超過f(x)2e2在區(qū)間1，)上的最小值e232e2.由e232e2exmx23得exmx2e2，meq f(e2e