1、三角形中作輔助線的常用方法舉例 一、延長已知邊構造三角形：例如：如圖 7-1：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B，求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有 AD，BC 的三角形全等，有幾種方案：ADC 與BCD， AOD 與BOC，ABD 與BAC，但根據現有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設 法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長 DA，CB，它們的延長交于 E 點， ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90 （垂直的定義）E在DBE 與CAE 中EE (公共角) DBE CAE (已證) BD AC (已知)ADO圖7 1BCeq

2、 oac(,)DBE CAE（AAS）EDEC EBEA （全等三角形對應邊相等）EDEAECEB即：ADBC。（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創造條件。）連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 9-1：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延長于 E 。 求證：BD2CE分析：要證 BD2CE，想到要構造線段 2CE，同時 CE 與ABC 的平分線垂直，想到要將其延長。F證明：分別延長 BA，CE 交于點 F。AEBECF （已知）DBEFBEC90 （垂直的定義）在BEF 與

3、BEC 中，BC圖9 112(已知)BE BE (公共邊 )BEF BEC (已證)eq oac(,)BEF BEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形對應邊相等）BAC=90 BECF （已知）BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD 與ACF 中BAC CAF (已證)BDA BFC (已證)ABAC (已知)eq oac(,)ABD ACF （AAS）BDCF （全等三角形對應邊相等） BD2CE四、取線段中點構造全等三有形。例如：如圖 11-1：ABDC，AD 求證：ABCDCB。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中點 N，連接 NB，NC，再由

4、SAS 公理有ABN eq oac(,，)DCN 故 BNCN，ABNDCN。下面只需證NBCNCB，再取 BC 的中點 M，連接 MN，則由 SSS 公理有NBMeq oac(,，)NCM 所以NBCNCB。問題得證。證明：取 AD，BC 的中點 N、M，連接 NB，NM，NC。則 AN=DN，BM=CM， eq oac(,在)ABN 和DCNAN DN (輔助線的作法 )中 AD (已知)AB DC (已知)eq oac(,)ABN DCN （SAS）ABNDCN NBNC （全等三角形對應邊、角相等） 在NBM 與NCM 中NBNC (已證)BMCM (輔助線的作法)NMNM (公共邊)

5、NAB M圖11 1DC NMB NCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形對應角相等） NBC ABN NCBDCN 即ABCDCB。巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在ABC 中，BD：DC1：3，AE：ED2：3，求 AF：FC。 解：過點 D 作 DG/AC，交 BF 于點 G所以 DG：FCBD：BC因為 BD：DC1：3所以 BD：BC1：4即 DG：FC1：4，FC4DG因為 DG：AFDE：AE 所以 DG：AF3：2又因為 AE：ED2：3即所以 AF：FC例 2. 如圖 2，BCCD，AFFC，求 EF：FD：4DG1：6解：過點 C 作 CG/DE 交 AB

6、于點 G，則有 EF：GCAF：AC因為 AFFC所以 AF：AC1：2即 EF：GC1：2， 因為 CG：DEBC：BD又因為 BCCD所以 BC：BD1：2 CG：DE1：2 因為 FDEDEF即 DE2GC所以 EF：FD小結：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現的兩條已知線段的交點 處，且所作的輔助線與結論中出現的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的 奧妙！例 3. 如圖 3，BD：DC1：3，AE：EB2：3，求 AF：FD。 解：過點 B 作 BG/AD，交 CE 延長線于點 G。 所以 DF：BGCD：CB因為 BD：DC1：3所以 CD：CB3：4即 DF：BG3：4

7、， 因為 AF：BGAE：EB又因為 AE：EB2：3所以 AF：BG2：3即所以 AF：DF例 4. 如圖 4，BD：DC1：3，AFFD，求 EF：FC。 解：過點 D 作 DG/CE，交 AB 于點 G所以 EF：DGAF：AD因為 AFFD所以 AF：AD1：2圖 4即 EF：DG1：2因為 DG：CEBD：BC，又因為 BD：CD1：3， 即 DG：CE1：4，CE4DG所以 BD：BC1：4因為 FCCEEF所以 EF：FC練習：如圖 5，BDDC，AE：ED1：5，求 AF：FB。如圖 6，AD：DB1：3，AE：EC3：1，求 BF：FC。答案：1、1：10； 2. 9：1二

8、由角平分線想到的輔助線1：7圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質： a、對稱性；b、角平分 點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的 一般有兩種。線 上 的作 法 ，從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長 邊上截取短邊）。通常情況下，出現了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和 已知條件。與角有關的輔助線（一）、截取構全等例1 如圖 1-2，AB/CD，BE 平分BCD，ACE

9、 平分BCD，點 E 在 AD 上，求證：BC=AB+CD。 分析 ：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構造全等三角形，即利用解平分E D線來構造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段B F圖1-2C的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一 部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明 延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等， 進而達到所證明的目的。例2 已知：如圖 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證 DCAC 分析 ：此題還是利用角平分線來構造全

10、等三角形。構造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。AC例3 已知：如圖 1-4，在ABC 中，C=2B,ADE平分BAC，求證：AB-AC=CD分析 ：此題的條件中還有角的平分線，在證明 中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的 和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的BD圖1-3AE線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？BDC圖1-4（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明 問題。例1 如圖 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。 求證：ADC+B=180A分析 ：可由

11、 C 向BAD 的兩邊作垂線。近而證ADCEDF與B 之和為平角。BC圖 2-1例2 如圖 2-2，在ABC 中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。 求證：BC=AB+ADA分析 ：過 D 作 DEBC 于 E，則 AD=DE=CE，則構造出D全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。B圖2-2EC例3 已知如圖 2-3，ABC 的角平分線 BM、CN 相交于點 P。求證：BAC的平分線也經過點 P。分析 ：連接 AP，證 AP 平分BAC 即可，也就是證 P 到 AB、 AC 的距離相等。（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形BANDP圖2-3MF

12、C從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一 邊相交）。例1 已知：如圖 3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中點。求證：DH=（AB-AC）A分析 ：延長 CD 交 AB 于點 E，則可得全等三角形。問題可證。DCEBH圖示 3-1例2 已知：如圖 3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD 為AAFBC 的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析 ：給出了角平分線給出

13、了邊上的一點作角平分線的DEB垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角 形。圖3-2C例 3已知：如圖 3-3 在ABC 中，AD、AE 分別BAC 的內、外角平分線， 過頂點 B 作 BFAD，交 AD 的延長線于 F，連結 FC 并延長交 AE 于 M。AM求證：AM=ME。BD分析 ：由 AD、AE 是BAC 內外角平分線，可得 EAFCEAF，從而有 BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。N圖3-3例4 已知：如圖 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD延長線于 M。求證：AM=（AB+AC）分析 ：題設中給出了角平分線 AD，自然想到以

14、AD 為軸作對稱變換，作eq oac(,AB)1D 關于 AD 的對稱AED，然后只需證 DM=EC，另外21由求證的結果 AM= （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可2AEF嘗試作ACM 關于 CM 的對稱FCM，然后只需證 DF=CBDnCF 即可。M圖3-4三 由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法： 1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線 段等于長線段。對于證明有關線段

15、和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第 三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。例 1如圖，AC 平分BAD，CEAB，且B+D=180，求證：AE=AD+BE。A DE C例 3 已知：如圖，等腰三角形 ABC 中，AB=AC， A=108，BD 平分 ABC。求證：BC=AB+DC。BADBC例 4 如圖，已知 RtABC 中，ACB=90，AD 是CAB 的平分線，DMAB1A于 M，且 AM=MB。求證：CD= 2 DB。MC D

16、 B1如圖，ABCD，AE、DE 分別平分BAD 各ADE，求證：AD=AB+CD。D CEA B2.如圖，ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是過 A 的一條直線，且 B，C 在 AE 的異側，BDAE 于 D，CEAE 于 E。求證：BD=DE+CE四 由中點想到的輔助線三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。（一）、由中點應想到利用三角形的中位線例 2如圖 3，在四邊形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分別是 BC、AD 的中點，BA、 CD 的延長線分別交 EF 的延長線 G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結 BD，并取 BD 的中點為 M，連結

17、ME、MF， ME 是 BCD 的中位線，M ECD，MEF=CHE，MF 是 ABD 的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE， 從而BGE=CHE。（二）、由中線應想到延長中線例 3圖 4，已知 ABC 中，AB=5，AC=3，連 BC 上的中線 AD=2，求 BC 的長。 解：延長 AD 到 E，使 DE=AD，則 AE=2AD=22=4。在 ACD 和 EBD 中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而 BE=AC=3。在 ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90， B D = =，故 B C

18、 = 2 B D = 2。例 4如圖 5，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分線，AD 又是 BC 邊上的中 線。求證：ABC 是等腰三角形。證明：延長 AD 到 E，使 DE=AD。仿例 3 可證：BEDCAD，故 EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。（三）、直角三角形斜邊中線的性質例 5如圖 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。 證明：取 AB 的中點 E，連結 DE、CE，則 DE、CE 分別為 RtABD，RtABC斜 邊 A B上 的 中 線 ， 故 D E = C E =AB ，

19、因此 CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在 ADE 和 BCE 中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此 AC=BD。（四）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例 6如圖 7，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于點 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延長線于點 E。求證：BD=2CE。證明：延長 BA，CE 交于點 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，從而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3

20、。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中 BE 是等腰 BCF 的底邊 CF 的中線。（五）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可 得到全等三角形。1如圖，AB=CD，E 為 BC 的中點，BAC=BCA，求證：AD=2AE。A3B E C D如圖，AB=AC，AD=AE，M 為 BE 中點，BAC=DAE=90。求證：AMDC。ABDD5已知：如圖 AD 為ABC 的中線，AE=EF，求證：BF=ACBM CAD CED五 全等三角形輔助

21、線（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC 中，AB=5，AC=3，則中線 AD 的取值范圍是_.AB D C2：如圖，ABC 中，E、F 分別在 AB、AC 上，DEDF，D 是中點，試比較 BE+CF 與 EF 的大小.AEBDFC3：如圖，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中點，求證：AD 平分BAE.AB D E C中考應用例題：以 ABC 的兩邊 AB、AC 為腰分別向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE ，BAD CAE 90 ,置關系及數量關系連接 DE，M、N 分別是 BC、DE 的中點探究：AM 與 DE 的位（1）如圖 當 A

22、BC 為直角三角形時，AM 與 DE 的位置關系是 ，線段 AM 與 DE 的數量關系是 ；0（2）將圖中的等腰 Rt ABD 繞點 A 沿逆時針方向旋轉 (0 90)后， 如圖所示，（1）問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由（二）、截長補短1.如圖， ABC 中，AB=2AC，AD 平分 BAC ，且 AD=BD，求證：CDACACBD2：如圖，ACBD，EA,EB 分別平分CAB,DBA，CD 過點 E，求證;ABAC+BDADEB3：如圖，已知在 VABC 內， BAC 60 ， C 400C，P，Q 分別在 BC，CA上，并且 AP，BQ 分別是 BAC ， ABC 的角平分線。

23、求證：BQ+AQA=AB+BPBQPCa b4 ：如圖，在四邊形 ABCD 中， BC BA,AD CD ，BD 平分 ABC ，求證：A C 1800ADBC5（三）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分線 AD,CE 相交于點 O，求證：OE=ODAEO2：（06 鄭州市中考題）如圖，ABC 中，AB CDD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）說明 BE=CF的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE 、BE的長.ABEGCFD60 03.如圖，OP 是MON 的平分線，請你利用該圖形畫一對以 OP 所

24、在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題： （1）如圖，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分別是BAC、BCA 的平分線，AD、CE 相交于點 F。請你判斷并寫出 FE 與 FD 之間的數量關系； （2）如圖，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，B請說明理由。OMPEFBDEFD圖NA圖CA圖C(第 23 題圖)（四）、旋轉1：正方形 ABCD 中，E 為 BC 上的一點，F 為 CD 上的一點，BE+DF=EF，求EAF 的度數.A DFBEC2：D

25、為等腰 Rt ABC 斜邊 AB 的中點，DMDN,DM,DN 分別交 BC,CA 于點 E,F。（1）當 MDN 繞點 D 轉動時，求證 DE=DF。B（2）若 AB=2，求四邊形 DECF 的面積。AEMCFAN3. 如圖， ABC 是邊長為 3 的等邊三角形， BDC 是等腰三角形，且BDC 1200，以 D 為頂點做一個 角，使其兩邊分別交 AB 于點 M，交 AC 于點 N，連接 MN，則 AMN 的周長為 ；A4已知四邊形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ，ABC 120o，MBN 60o， MBN 繞B點旋轉，它的兩邊分別交 AD，DC （或它們的延長

26、線）于 E，F 當 MBN 繞 B 點旋轉到 AE CF 時（如圖 1），易證AE CF EF當 MBN 繞 B 點旋轉到 AE CF 時，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段 AE，CF ， EF 又有怎樣的 數量關系？請寫出你的猜想，不需證明AAABE MBE MBCD CF FNNDFNCDEM（圖 1）（圖 2）（圖 3）5.已知:PA=的兩側.2,PB=4,以 AB 為一邊作正方形 ABCD,使 P、D 兩點落在直線 AB如圖,當APB=45時,求 AB 及 PD 的長;當APB 變化,且其它條件不變時,求 PD 的最大值,及相應AP

27、B 的大小. 6.在等邊 ABC 的兩邊 AB、AC 所在直線上分別有兩點 M、N，D 為 VABC 外一點，且MDN 60 , BDC 120,BD=DC. 探究：當 M、N 分別在直線 AB、AC上移動時，BM、NC、MN 之間的數量關系及 AMN 的周長 Q 與等邊 ABC 的周長 L 的關系圖 1圖 2圖 3（I）如圖 1，當點 M、N 邊 AB、AC 上，且 DM=DN 時，BM、NC、MN 之間的數Q量關系是 ； 此時 L；如圖 2，點 M、N 邊 AB、AC 上，且當 DM DN 時，猜想（I）問的兩個 結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖 3，當 M、N 分別在邊 AB、

28、CA 的延長線上時，若 AN= x ，則 Q= （用 x 、L 表示）梯形中的輔助線1、平移一腰：例 1. 如圖所示，在直角梯形 ABCD 中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求 CD 的長.解： 過點 D 作 DEBC 交 AB 于點 E. 又 ABCD，所以四邊形 BCDE 是平行四邊形. 所以 DEBC17，CDBE.D CAB在 RtDAE 中，由勾股定理，得D CAE2DE2AD2，即 AE217215264.所以 AE8.AEB所以 BEABAE1688.即 CD8.例 2 如圖，梯形 ABCD 的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4，求另一腰 BC 的取

29、 值范圍。解： 過點 B 作 BM/AD 交 CD 于點 M，在BCM 中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以 BC 的取值范圍是：54BC54，即 1BC9。2、平移兩腰：例 3 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F 分別是 AD、BC 的中點，連接 EF，求 EF 的長。解： 過點 E 分別作 AB、CD 的平行線，交 BC 于點 G、H，可得 EGHEHG=BC=90則EGH 是直角三角形因為 E、F 分別是 AD、BC 的中點，容易證得 F 是 GH 的中點所以 EF 1 1GH ( BC BG CH ) 2 21 1(

30、BC AE DE ) BC ( AE DE ) 2 21 1 ( BC AD) (3 1) 12 23、平移對角線：例 4、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形 AB CD 的面積解：如圖，作 DEAC，交 BC 的延長線于 E 點ADBC 四邊形 ACED 是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 在DBE 中， BD=3，DE=4，BE=5 BDE=90A D作 DHBC 于 H，則 DH BD ED 12BE 5B H C E S梯形ABCD(AD BC) DH2125 526例 5 如圖，在等腰梯形 ABCD

31、中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD= 5 2 ，求證：A CBD。解： 過點 C 作 BD 的平行線交 AD 的延長線于點 E， 易得四邊形 BCED 是平行四邊形，則 DE=BC，CE=BD= 5 2 ，所以 AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形 ABCD 中，AC=BD= 5 2 ，所以在ACE 中，AC2CE2(5 2)2(5 2)2100 AE2，從而 ACCE，于是 ACBD。例 6 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求 梯形 ABCD 的面積。解： 過點 D 作 DE/AC，交 BC 的延長線于點 E， 則

32、四邊形 ACED 是平行四邊形，即S S S ABD ACD DCE。所以S梯形 ABCDSDBE由勾股定理得EH DE2DH2AC2DH2 1521229（cm）BH BD 2 DH 2 20 2 12 2 16（cm）所以SDBE1 1 BE DH (9 16) 12 150( cm 2 ) 2 2，即梯形 ABCD 的面積是150cm2。（二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉化為三角形。例 7 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5， 求 CD 的長。解： 延長 BA、CD 交于點 E。 在BCE 中，B=50，C=80。所以E=50，從而

33、BC=EC=5同理可得 AD=ED=2所以 CD=ECED=52=3例 8. 如圖所示，四邊形 ABCD 中，AD 不平行于 BC，ACBD，ADBC. 判斷 四邊形 ABCD 的形狀，并證明你的結論.解： 四邊形 ABCD 是等腰梯形.證明：延長 AD、BC 相交于點 E，如圖所示.AACBD，ADBC，ABBA，DABCBA.DABCBA.EAEB.又 ADBC，DECE，EDCECD.而EEABEBAEEDCECD180， EDCEAB，DCAB.又 AD 不平行于 BC，四邊形 ABCD 是等腰梯形.（三）、作對角線D CBED CA B即通過作對角線，使梯形轉化為三角形。例 9 如圖

34、 6，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD 于點 E， 求證：AD=DE。解： 連結 BD，由 AD/BC，得ADB=DBE； 由 BC=CD，得DBC=BDC。 所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90，BD=BD，所以 RtBADRtBED，得 AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例 10 如圖，在直角梯形 ABCD 中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，對角線 A CBD，垂足為 F，過點 F 作 EF/AB，交 AD 于點 E，求證：四邊形 ABFE 是等腰 梯形。證： 過點 D 作 DGAB 于點 G，則易知四邊形 DGBC 是矩形，所以

35、 DC=BG。因為 AB=2DC，所以 AG=GB。從而 DA=DB，于是DAB=DBA。又 EF/AB，所以四邊形 ABFE 是等腰梯形。2、作兩條高例 11、在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，ABC=60，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰 AB 的長；(2)梯形 ABCD 的面積 解： 作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，又ADBC， 四邊形 AEFD 是矩形， EF=AD=3cm AB=DCAD BE FC ( BC EF ) 1cmB E F C在 RtABE 中，B=60，BE=1cmAB=2BE=2cm，AE 3 BE 3cmS梯形 ABCD( AD B

36、C ) AE24 3cm2（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。例 13 如圖，在梯形 ABCD 中，AB/DC，O 是 BC 的中點，AOD=90，求證： ABCD=AD。證：取 AD 的中點 E，連接 OE，則易知 OE 是梯形 ABCD 的中位線，從而 OE= （ABCD）在AOD 中，AOD=90，AE=DE所以 OE AD由、得 ABCD=AD。2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延 長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線。例 14 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分別是 BD、AC 的中點，求證：（1）EF/AD；（2）

37、EF ( BC AD)。證： 連接 DF，并延長交 BC 于點 G，易證AFDCFG 則 AD=CG，DF=GF由于 DE=BE，所以 EF 是BDG 的中位線從而 EF/BG，且 EF BG因為 AD/BG，BG BC CG BC AD1所以 EF/AD，EF ( BC AD )23、在梯形中出現一腰上的中點時，過這點構造出兩個全等的三角形達到解 題的目的。例 15、在梯形 ABCD 中，ADBC， BAD=900，E 是 DC 上的中點，連接 AE 和 BE，求AEB=2CBE。解： 分別延長 AE 與 BC ，并交于 F 點BAD=900 且 ADBCFBA=1800BAD=900又AD

38、BCDAE=F(兩直線平行內錯角相等)AED=FEC （對頂角相等）DE=EC （E 點是 CD 的中點）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF 中FBA=900且 AE=FE BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）在FEB 中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBE例 16、已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC，ABBC，E 是 CD 中點，試問： 線段 AE 和 BE 之間有怎樣的大小關系？解：AE=BE，理由如下： 延長 AE，與 BC 延長線交于點 FA DDE=CE，AED=CEF，EDAE=FBC FADEFCEAE=EFABBC， BE=AE例

39、 17、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，E 為 DC 中點，EFAB 于 F 點，AB=3c m，EF=5cm，求梯形 ABCD 的面積解： 如圖，過 E 點作 MNAB，分別交 AD 的延長線于 M 點，交 BC 于 N 點 DE=EC，ADBCDEMCNE四邊形 ABNM 是平行四邊形EFAB，S梯形 ABCD=S =ABEF=15cmABNM2【模擬試題】（答題時間：40 分鐘）2. 如圖所示，已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B60，AD2，BC8， 則此等腰梯形的周長為（ ）A. 19A DB. 20 C. 21 D. 22B C*8. 如圖所示，梯形 ABCD 中，ADBC，（1）若 E 是 AB 的中點，且 ADBC CD，則 DE 與 CE 有何位置關系？（2）E 是ADC 與BCD 的角平分線的交點