1、8.6 空間直線、平面的垂直（1）（精講）思維導圖常見考法考法一 線面垂直【例1】（2021江西景德鎮市景德鎮一中）在四棱錐中，平面，為的中點，為的中點，（1）取中點，證明：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明: 因為中點，在中，則而，則在等腰三角形中，.又在中，, 則，因為平面，平面，則，又，即，則平面，因為平面，所以，因此.又，由知平面；（2）在中，又，平面，平面，即為三棱錐的高，在中，設點到平面的距離為，則，即點到平面的距離為.【一隅三反】1（2021陜西省黃陵縣中學高一期末）如圖所示，為的直徑，C為上一點，平面，于E，于F.求證：平面.【答案

2、】證明見解析【解析】證明：為O的直徑，C為O上點，所以因為平面，平面，所以又,所以 面又平面，則又，所以平面又平面，所以又因為，所以平面2（2021寧夏銀川市銀川一中高一期末）如圖，在三棱錐中，平面ABC，底面ABC是直角三角形，O是棱的中點，G是的重心，D是PA的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）證明：平面ABC，且平面ABC，底面ABC是直角三角形且，又平面PAB，平面PAB，平面.(2)證明：連結并延長交于點，連結，,是的重心， 為邊上的中線， 為邊上的中點，又有為邊上的中點， ，平面PBC，平面PBC，同理可得平面PBC

3、，又平面DOE，平面DOE，平面DOE平面PBC，又有平面DOE， 平面3（2021陜西咸陽市高一期末）將棱長為2的正方體沿平面截去一半（如圖1所示）得到如圖2所示的幾何體，點，分別是，的中點.（）證明：平面；（）求三棱錐的體積.【答案】（）證明見解析；（）1.【解析】（）如圖所示：連接，易知，因為平面，平面，所以，又，所以平面.在中，點，分別是，的中點，所以.所以平面.（）平面，是三棱錐在平面上的高，且.點，分別是，的中點，.考法二 線線垂直【例2】（2020全國專題練習）如圖，在三棱柱中，側面為矩形， ，D是的中點，與交于點O，且平面(1)證明：；(2)若，求三棱柱的高.【答案】（1）證明

4、見解析；（2）.【解析】（1）證明：由題意且 , ,所以,又側面， ,又與交于點 ，所以,平面 又因為 平面,所以(2)在矩形中，由平面幾何知識可知 ， 設三棱柱的高為，即三棱錐的高為又，由得，【一隅三反】1（2021西安市航天城第一中學高一期末）如圖，在三棱柱中，側棱底面，分別為棱的中點（1）求證：；（2）若求三棱錐的體積【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）因為側棱底面，平面，所以，因為為中點，故，而，故平面，而平面，故.（2）取的中點為，連接.因為，故，故，因為，故，且，故，因為三棱柱中，側棱底面，故三棱柱為直棱柱，故底面，因為底面，故，而，故平面，而，故.2（2021廣西河池市高

5、一期末）如圖，在三棱柱中，（1）若三棱柱的體積為1，求三棱錐的體積；（2）證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設三棱柱的高為，的面積為，由三棱柱的體積為1，可得，可得三棱錐的體積為.（2）如圖所示：取的中點，連，,，,，,，平面，平面 平面，平面，3（2021扶風縣法門高中高一期末）如圖，三棱錐VABC中， VA=VBAC=BC=，AB，VC=1（1）證明： ABVC；（2）求三棱錐VABC的體積【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：取AB的中點為D，連接VD，CD，VA=VB，是等腰三角形，ABVD，是等腰三角形， ABCD，所以AB平面VDC又VC平面VD

6、C，故ABVC.（2）由（1）知AB平面VDC，所以，又VC=1，所以是等邊三角形，所以，故三棱錐VABC的體積等于考法三 面面垂直【例3】（2021江西景德鎮市景德鎮一中高一期末）如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，為與的交點，為棱上一點.（1）證明：平面平面；（2）若平面，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為四邊形為正方形，則，底面，平面，平面，平面，平面平面；（2）如下圖所示，連接，四邊形為正方形，且，則為的中點，因為平面，平面，平面平面，為的中點，為的中點，平面，平面，且，的面積為，所以，.【一隅三反】1（2021陜西寶雞市高一期末）如圖，在三棱錐中，為

7、線段的中點，為線段上一點（1）求證：平面平面；（2）當面時，求三棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：由，為線段的中點， 可得，由，可得 平面，又平面，可得 又 所以平面，平面，所以平面平面；（2）解：平面，平面，且平面平面，可得， 又為的中點，可得為的中點，且，由平面，可得平面，可得，則三棱錐的體積V= 2（2021全國高一課時練習）在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PCD，E，F分別為PC，AB的中點求證：（1）平面平面ABCD；（2）平面PAD【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）平面PCD，平面PCDABCD為矩形，又：，平面PAD，

8、平面PAD 平面PAD平面ABCD平面平面ABCD（2）連接AC，BD交于點O，連接OE，OF，ABCD為矩形，O點為AC中點E為PC中點平面PAD，平面PAD平面PAD同理可得：平面PAD平面平面PAD平面OEF平面PAD3（2021全國高一課時練習）如圖所示，已知在三棱錐中，M為的中點，D為的中點，且為正三角形（）求證：平面；（）求證：平面平面；（）若，求三棱錐的體積【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）【解析】證明：因為為的中點，為的中點，所以是的中位線，.又平面，平面，所以平面.（2）證明：因為為正三角形，為的中點，所以.又，所以.又因為，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以平面

9、.(3)因為平面，所以平面，即是三棱錐的高.因為，為的中點，為正三角形，所以.由平面，可得，在直角三角形中，由，可得.于是.考法四 空間距離【例4】（2020全國專題練習）在棱長為的正方體中求出下列距離：（1）點到面的距離；（2）線段到面的距離；（3）點到面的距離；（4）到平面的距離.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）因為正方體，則平面，所以點到面的距離為邊長；（2）因為平面，且平面，所以線段到面的距離為；（3）因為平面，所以點到面的距離為面對角線的AC的，即；（4）設到平面的距離為h，三棱錐的體積為V，在中，則的面積為，利用等體積法可得：，所以【一隅三反】1（2020北京二十中高一期末）如圖，正四棱錐的高為，且底面邊長也為，則點到平面的距離為（ ）ABCD【答案】A【解析】由正四棱錐的性質可知，其底面為正方形，連接、，設交點為點，連接，則平面，且，底面對角線的長度為，側棱長度為，斜高，設點到平面的距離為，由，即，解得故選：A.2（2020全國）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為A2BCD1【答案】D【解析】因為線面平行，所求求線面距可以轉化為求點到面的距離，選用等體積法平面，到平面的距離等于到平面的距離，由題計算得，在中，邊上的高，所以