1、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義 課堂練習(xí)小結(jié) 布置作業(yè)第四節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量兩事件 A , B 獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件 A , B 獨(dú)立 .設(shè) X,Y是兩個(gè)r.v，若對任意的x,y,有 則稱 X 和 Y 相互獨(dú)立 .一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義用分布函數(shù)表示,即 設(shè) X,Y是兩個(gè)r.v，若對任意的x,y,有則稱 X 和 Y 相互獨(dú)立 . 它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積 .其中是X和Y的聯(lián)合密度， 幾乎處處成立，則稱 X 和 Y 相互獨(dú)立 .對任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是連續(xù)型r.v ，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：這里

2、“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為 0 的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y 的邊緣密度 . 若 (X,Y)是離散型 r.v ，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱 X 和Y 相互獨(dú)立.對(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有 例1 設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？解x0 y 0二、例題即可見對一切 x, y, 均有：故 X , Y 獨(dú)立 . 若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0 x1 0y1 由于存在面積不為0的區(qū)域，故 X 和 Y 不獨(dú)立 . 例2 甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會(huì)面.如果甲來到的時(shí)間在12:15到12:45之間是均勻分布. 乙獨(dú)立地到達(dá),

3、而且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少？解 設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻,Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn),以分為單位,依題意,XU(15,45), YU(0,60)所求為P( |X-Y | 5) ,甲先到的概率由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘的概率P(XY)解一P( | X-Y| 5 ) =P( -5 X -Y 5)P(XY)解二P(X Y)P( | X-Y| 5 ) 類似的問題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú)立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的 . 若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊

4、2小時(shí)，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率. 在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的. 若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間隔小于0.5秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾. 求發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率.盒內(nèi)有 個(gè)白球 , 個(gè)黑球,有放回地摸球 例3 兩次.設(shè)第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(1) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律;(2) 判斷 的相互獨(dú)立性;(3) 若改為無放回摸球,解上述兩個(gè)問題.(1) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律解如下表所示 :(2)由上表可知故 的相互獨(dú)立.(3) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示 :故 不是相互獨(dú)立.由上表知 :可見三、課堂練習(xí) 1. 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y) 的概率密度是問 X 和 Y 是否相互獨(dú)立? 2. 證明 對于二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X,Y) , X 和 Y 相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù) . 這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入