1、 171/1712023最新高中數學復習講義 第一章 集合與簡易邏輯第1課時 集合的概念及運算【基礎練習】1.集合用列舉法表示 2.設集合，則 3.已知集合，則集合_4.設全集，集合，則實數a的值為_【范例解析】例.已知為實數集，集合.若，或，求集合B.分析：先化簡集合A，由可以得出與的關系；最后，由數形結合，利用數軸直觀地解決問題.【反饋演練】1設集合，則=_2設P，Q為兩個非空實數集合，定義集合P+Q=，則P+Q中元素的個數是_ _個3設集合，.（1）若，求實數a的取值范圍；（2）若，求實數a的取值范圍；（3）若，求實數a的值.第2課 命題及邏輯聯結詞【考點導讀】了解命題的逆命題，否命題與

2、逆否命題的意義；會分析四種命題的相互關系了解邏輯聯結詞“或”，“且”，“非”的含義；能用“或”，“且”，“非”表述相關的數學內容理解全稱量詞與存在量詞的意義；能用全稱量詞與存在量詞敘述簡單的數學內容理解對含有一個量詞的命題的否定的意義；能正確地對含有一個量詞的命題進行否定【基礎練習】1.下列語句中：；你是高三的學生嗎？；其中，不是命題的有_ 2.一般地若用p和q分別表示原命題的條件和結論，則它的逆命題可表示為若q則p ，否命題可表示為 ，逆否命題可表示為；原命題與逆否命題互為逆否命題，否命題與逆命題互為逆否命題【范例解析】寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題并判斷真假.平行四邊形的對邊相等；

3、菱形的對角線互相垂直平分；設，若，則.分析：先將原命題改為“若p則q”，在寫出其它三種命題.解：（1）原命題： 逆命題： 否命題： 逆否命題： （2）原命題： 逆命題： 否命題： 逆否命題： （3）原命題： 逆命題： 否命題： 逆否命題： 點評：已知原命題寫出其它的三種命題首先應把命題寫成“若p則q”的形式，找出其條件p和結論q，再根據四種命題的定義寫出其它命題；對于含大前提的命題，在改寫命題時大前提不要動；在寫命題p的否定即時，要注意對p中的關鍵詞的否定，如“且”的否定為“或”，“或”的否定為“且”，“都是”的否定為“不都是”等.例2.寫出由下列各組命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”

4、形式的命題，并判斷真假.（1）p：2是4的約數，q：2是6的約數；（2）p：矩形的對角線相等，q：矩形的對角線互相平分；（3）p：方程的兩實根的符號相同，q：方程的兩實根的絕對值相等.分析：先寫出三種形式命題，根據真值表判斷真假.例3.寫出下列命題的否定，并判斷真假.（1）p：所有末位數字是0或5的整數都能被5整除；（2）p：每一個非負數的平方都是正數；（3）p：存在一個三角形，它的內角和大于180；（4）p：有的四邊形沒有外接圓；（5）p：某些梯形的對角線互相平分.分析：全稱命題“”的否定是“”，特稱命題“”的否定是“” .點評：一些常用正面敘述的詞語及它的否定詞語列表如下：正面詞語等于大于

5、小于是都是否定詞語不等于不大于不小于不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的否定詞語至少有兩個一個也沒有某個某些【反饋演練】1命題“若，則”的逆否命題是_.2已知命題：，則. 3若命題m的否命題n，命題n的逆命題p，則p是m的_ _. 4命題“若，則”的否命題為_5分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假（1）設，若，則或；（2）設，若，則第3 課 充分條件和必要條件【考點導讀】理解充分條件，必要條件和充要條件的意義；會判斷充分條件，必要條件和充要條件從集合的觀點理解充要條件，有以下一些結論：若集合，則是的充分條件；若集合，則是的必要條件；若集合，則是的充要條件3

6、. 會證明簡單的充要條件的命題，進一步增強邏輯思維能力【基礎練習】1.若，則是的充分條件若，則是的必要條件若，則是的充要條件2.用“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件和既不充分也不必要條件”填空.（1）已知，那么是的_ _條件（2）已知兩直線平行，內錯角相等，那么是的_ _條件 （3）已知四邊形的四條邊相等，四邊形是正方形，那么是的_ _條件3.若，則的一個必要不充分條件是【范例解析】例.用“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件和既不充分也不必要條件”填空.（1）是的_條件；（2）是的_條件；（3）是的_條件；（4）是或的_條件.分析：從集合觀點“小范圍大范圍”進行理解判斷，注意特殊

7、值的使用.【反饋演練】1設集合，則“”是“”的_ 條件2已知p：1x2，q：x(x3)0，則p是q的 條件3已知條件，條件若是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍2023最新高中數學復習講義 第二章 函數A映射特殊化函數具體化一般化概念圖像表 示 方 法定義域 值域單調性 奇偶性基本初等函數冪函數指數函數對數函數二次函數指數對數互 逆函數與方程應用問題【知識導讀】第1課 函數的概念【考點導讀】1.在體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型的基礎上，通過集合與對應的語言刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域2.準確理解函數的概念，能

8、根據函數的三要素判斷兩個函數是否為同一函數【基礎練習】1設有函數組：，；，；，；，；，其中表示同一個函數的有_ y122xO = 2 * GB3 122xyO = 1 * GB3 122xO = 3 * GB3 y2.設集合，從到有四種對應如圖所示：122xO = 4 * GB3 y其中能表示為到的函數關系的有_ 3.寫出下列函數定義域：(1) 的定義域為_； (2) 的定義域為_；(3) 的定義域為_； (4) 的定義域為_且且4已知三個函數:(1)； (2)； (3)寫出使各函數式有意義時，的約束條件： (1)_； (2)_； (3)_5.寫出下列函數值域：(1) ，；值域是(2) ； 值

9、域是(3) ， 值域是【范例解析】例1.設有函數組：，；，；，；，其中表示同一個函數的有分析：判斷兩個函數是否為同一函數，關鍵看函數的三要素是否相同解：在中，的定義域為，的定義域為，故不是同一函數；在中，的定義域為，的定義域為，故不是同一函數；是同一函數點評：兩個函數當它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數而當一個函數定義域和對應法則確定時，它的值域也就確定，故判斷兩個函數是否為同一函數，只需判斷它的定義域和對應法則是否相同即可例2.求下列函數的定義域： ； ；解：（1） 由題意得：解得且或且，故定義域為 由題意得：，解得，故定義域為例3.求下列函數的值域：（1），；（2）；（3）分析：運用

10、配方法，逆求法，換元法等方法求函數值域解：，函數的值域為；解法一：由，則，故函數值域為解法二：由，則，故函數值域為（3）解：令，則，當時，故函數值域為點評：二次函數或二次函數型的函數求值域可用配方法；逆求法利用函數有界性求函數的值域；用換元法求函數的值域應注意新元的取值范圍【反饋演練】1函數f(x)的定義域是_2函數的定義域為_3. 函數的值域為_4. 函數的值域為_5函數的定義域為_6.記函數f(x)=的定義域為A，g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定義域為B(1) 求A；(2) 若BA，求實數a的取值范圍解：(1)由20，得0，x0，得(xa1)(x2a)0a2a，B=(2a，

11、a+1) BA， 2a1或a+11，即a或a2，而a1，a1或a2，故當BA時， 實數a的取值范圍是(,2,1)第2課 函數的表示方法【考點導讀】1.會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法，列表法，解析法）表示函數2.求解析式一般有四種情況：（1）根據某個實際問題須建立一種函數關系式；（2）給出函數特征，利用待定系數法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式【基礎練習】1.設函數，則_；_2.設函數，,則_3_；第5題3.已知函數是一次函數，且，,則_15_ (0 x2)4.設f(x)，則ff()_5.如圖所示的圖象所表示的函數解析式為_【范例解析】例1.已知二次函數的最小值

12、等于4，且，求的解析式分析：給出函數特征，可用待定系數法求解解法一：設，則解得故所求的解析式為解法二：，拋物線有對稱軸故可設將點代入解得故所求的解析式為解法三：設，由，知有兩個根0，2，可設，將點代入解得故所求的解析式為點評：三種解法均是待定系數法，也是求二次函數解析式常用的三種形式：一般式，頂點式，零點式xyO1234102030405060例2例2.甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發前往乙家如圖，表示甲從出發到乙家為止經過的路程y（km）與時間x（分）的關系試寫出的函數解析式分析：理解題意，根據圖像待定系數法求解析式解：當時，直

13、線方程為，當時，直線方程為，點評：建立函數的解析式是解決實際問題的關鍵，把題中文字語言描述的數學關系用數學符號語言表達要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域【反饋演練】1若，則（ D ） 2已知，且，則m等于_3. 已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)x22x求函數g(x)的解析式解：設函數的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，則點在函數的圖象上第3課 函數的單調性【考點導讀】1.理解函數單調性，最大（小）值及其幾何意義；2.會運用單調性的定義判斷或證明一些函數的增減性【基礎練習】1.下列函數中： ； ； ； 其中，在區間(0，2)上是遞增函數的序號有_2.函數的遞增區間是_

14、 R _3.函數的遞減區間是_4.已知函數在定義域R上是單調減函數，且，則實數a的取值范圍_5.已知下列命題：定義在上的函數滿足，則函數是上的增函數；定義在上的函數滿足，則函數在上不是減函數；定義在上的函數在區間上是增函數，在區間上也是增函數，則函數在上是增函數；定義在上的函數在區間上是增函數，在區間上也是增函數，則函數在上是增函數其中正確命題的序號有_【范例解析】例 . 求證：（1）函數在區間上是單調遞增函數；（2）函數在區間和上都是單調遞增函數分析：利用單調性的定義證明函數的單調性，注意符號的確定證明：（1）對于區間內的任意兩個值，且，因為，又，則，得，故，即，即所以，函數在區間上是單調增

15、函數（2）對于區間內的任意兩個值，且，因為，又，則，得，故，即，即所以，函數在區間上是單調增函數同理，對于區間，函數是單調增函數；所以，函數在區間和上都是單調增函數點評：利用單調性定義證明函數的單調性，一般分三步驟：（1）在給定區間內任意取兩值，；（2）作差，化成因式的乘積并判斷符號；（3）給出結論例2.確定函數的單調性分析：作差后，符號的確定是關鍵解：由，得定義域為對于區間內的任意兩個值，且，則又，即所以，在區間上是增函數點評：運用有理化可以對含根號的式子進行符號的確定【反饋演練】1已知函數，則該函數在上單調遞_減_，（填“增”“減”）值域為_2已知函數在上是減函數，在上是增函數，則_25_

16、.3. 函數的單調遞增區間為.4. 函數的單調遞減區間為 5. 已知函數在區間上是增函數，求實數a的取值范圍解：設對于區間內的任意兩個值，且，則，得，即第4課 函數的奇偶性【考點導讀】1.了解函數奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡單函數的奇偶性；2.定義域對奇偶性的影響：定義域關于原點對稱是函數為奇函數或偶函數的必要但不充分條件；不具備上述對稱性的，既不是奇函數，也不是偶函數【基礎練習】1.給出4個函數：；其中奇函數的有_；偶函數的有_；既不是奇函數也不是偶函數的有_2. 設函數為奇函數，則實數 1 3.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（ A ）A. B. C. D.【范例解析

17、】例1.判斷下列函數的奇偶性：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）分析：判斷函數的奇偶性，先看定義域是否關于原點對稱，再利用定義判斷解：（1）定義域為，關于原點對稱；,所以為偶函數（2）定義域為，關于原點對稱；，故為奇函數（3）定義域為，關于原點對稱；，且，所以既為奇函數又為偶函數（4）定義域為，不關于原點對稱；故既不是奇函數也不是偶函數（5）定義域為，關于原點對稱；，則且，故既不是奇函數也不是偶函數（6）定義域為，關于原點對稱；，又，故為奇函數點評：判斷函數的奇偶性，應首先注意其定義域是否關于原點對稱；其次，利用定義即或判斷，注意定義的等價形式或例2. 已知定義在上的函數是

18、奇函數，且當時，求函數的解析式，并指出它的單調區間分析：奇函數若在原點有定義，則 解：設，則，又是奇函數，當時，綜上，的解析式為作出的圖像，可得增區間為，減區間為，點評：（1）求解析式時的情況不能漏；（2）兩個單調區間之間一般不用“”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過“”實現轉化；（4）根據圖像寫單調區間 【反饋演練】1已知定義域為R的函數在區間上為減函數，且函數為偶函數，則（ D ）A B C D2. 在上定義的函數是偶函數，且，若在區間是減函數，則函數（ B ）A.在區間上是增函數，區間上是增函數B.在區間上是增函數，區間上是減函數C.在區間上是減函數，區間上是增函數D.在區間上是減

19、函數，區間上是減函數3. 設，則使函數的定義域為R且為奇函數的所有的值為_1，3 _4設函數為奇函數，則_5若函數是定義在R上的偶函數，在上是減函數，且，則使得的x的取值范圍是（2，2）6. 已知函數是奇函數又，,求a，b，c的值；解：由，得，得又，得，而，得，解得又，或1若，則，應舍去；若，則所以，綜上，可知的值域為第5 課 函數的圖像【考點導讀】1.掌握基本初等函數的圖像特征，學會運用函數的圖像理解和研究函數的性質；2.掌握畫圖像的基本方法：描點法和圖像變換法【基礎練習】向上平移3個單位向右平移1個單位1.根據下列各函數式的變換，在箭頭上填寫對應函數圖像的變換：向右平移3個單位作關于y軸對

20、稱的圖形（1） ；（2） 2.作出下列各個函數圖像的示意圖：（1）； （2）； （3）解：（1）將的圖像向下平移1個單位，可得的圖像圖略；（2）將的圖像向右平移2個單位，可得的圖像圖略；Oyx11（3）由，將的圖像先向右平移1個單位，得的圖像，再向下平移1個單位，可得的圖像如下圖所示：3.作出下列各個函數圖像的示意圖：（1）； （2）； （3）； （4）解：（1）作的圖像關于y軸的對稱圖像，如圖1所示；（2）作的圖像關于x軸的對稱圖像，如圖2所示；（3）作的圖像及它關于y軸的對稱圖像，如圖3所示；1Oyx圖1（4）作的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示1Oyx圖21Oyx圖41

21、Oyx圖314. 函數的圖象是（ B ）A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO-1-1-1-11111【范例解析】例1.作出函數及，的圖像分析：根據圖像變換得到相應函數的圖像解：與的圖像關于y軸對稱；與的圖像關于x軸對稱；將的圖像向左平移2個單位得到的圖像；保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分圖略點評：圖像變換的類型主要有平移變換，對稱變換兩種平移變換：左“+”右“”，上“+”下“”；對稱變換：與的圖像關于y軸對稱；與的圖像關于x軸對稱；與的圖像關于原點對稱

22、；保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分例2.設函數.（1）在區間上畫出函數的圖像；（2）設集合. 試判斷集合和之間的關系，并給出證明.分析：根據圖像變換得到的圖像，第（3）問實質是恒成立問題解：（1）（2）方程的解分別是和，由于在和上單調遞減，在和上單調遞增，因此.由于.【反饋演練】Oy11BxOyx11A1函數的圖象是（ B ） Oy11DxOyx11C2. 為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象向右平移1個單位長度得到3已知函數的圖象有公共點A，且點A的橫坐

23、標為2，則=4設f(x)是定義在R上的奇函數，且y=f (x)的圖象關于直線對稱，則f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_ 5. 作出下列函數的簡圖：（1）； （2）； （3）2023高中數學復習講義 第二章 函數B第6課 二次函數【考點導讀】1.理解二次函數的概念，掌握二次函數的圖像和性質；2.能結合二次函數的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系【基礎練習】已知二次函數,則其圖像的開口向_上_；對稱軸方程為；頂點坐標為 ，與軸的交點坐標為，最小值為二次函數的圖像的對稱軸為,則_2_，頂點坐標為，遞增區間為，遞減區間為函

24、數的零點為實系數方程兩實根異號的充要條件為；有兩正根的充要條件為；有兩負根的充要條件為已知函數在區間上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是_【范例解析】例1.設為實數，函數，（1）討論的奇偶性；（2）若時，求的最小值分析：去絕對值解：（1）當時，函數此時，為偶函數當時，此時既不是奇函數，也不是偶函數（2）由于在上的最小值為，在內的最小值為故函數在內的最小值為點評：注意分類討論；分段函數求最值，先求每個區間上的函數最值，再確定最值中的最值例2.函數在區間的最大值記為，求的表達式分析：二次函數在給定區間上求最值，重點研究其在所給區間上的單調性情況解：直線是拋物線的對稱軸，可分以下幾種情況進行討論

25、：（1）當時，函數，的圖象是開口向上的拋物線的一段，由知在上單調遞增，故；（2）當時，有=2；（3）當時，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，若即時，若即時，若即時，綜上所述，有=點評：解答本題應注意兩點：一是對時不能遺漏；二是對時的分類討論中應同時考察拋物線的開口方向，對稱軸的位置及在區間上的單調性【反饋演練】1函數是單調函數的充要條件是2已知二次函數的圖像頂點為，且圖像在軸上截得的線段長為8，則此二次函數的解析式為3. 設，二次函數的圖象為下列四圖之一： 則a的值為 （ B ）A1B1CD4若不等式對于一切成立，則a的取值范圍是5.若關于x的方程在有解，則實數m的取值范圍是 6.已知函數

26、在有最小值，記作（1）求的表達式；（2）求的最大值解：（1）由知對稱軸方程為，當時，即時，；當，即時，；當，即時，；綜上，（2）當時，；當時，；當時，故當時，的最大值為37. 分別根據下列條件,求實數a的值：（1）函數在在上有最大值2；（2）函數在在上有最大值4解：（1）當時，令，則；當時，令，（舍）；當時，即綜上，可得或（2）當時，即，則；當時，即，則綜上，或8. 已知函數（1）對任意，比較與的大小；（2）若時，有，求實數a的取值范圍解：（1）對任意，故（2）又，得，即，得，解得第7課 指數式與對數式【考點導讀】1.理解分數指數冪的概念，掌握分數指數冪的運算性質；2.理解對數的概念，掌握對數

27、的運算性質；3.能運用指數，對數的運算性質進行化簡，求值，證明，并注意公式成立的前提條件；4.通過指數式與對數式的互化以及不同底的對數運算化為同底對數運算【基礎練習】1.寫出下列各式的值： ； _4_； ；_0_； _1_； _4_2.化簡下列各式：（1）；（2）3.求值：（1）_38_；（2）_1_；（3）_3_【范例解析】例1. 化簡求值：（1）若，求及的值；（2）若，求的值分析：先化簡再求值解：（1）由，得，故；又，；，故（2）由得；則點評：解條件求值問題：（1）將已知條件適當變形后使用；（2）先化簡再代入求值例2.（1）求值：；（2）已知，求分析：化為同底解：（1）原式=；（2）由，得

28、；所以點評：在對數的求值過程中，應注意將對數化為同底的對數例3. 已知，且，求c的值分析：將a，b都用c表示解：由，得，；又，則，得，點評：三個方程三個未知數，消元法求解【反饋演練】1若，則2設，則3已知函數，若，則b4設函數若，則x0的取值范圍是（，1）（1，+） 5設已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于6若，則k =_1_7已知函數，且（1）求實數c的值；（2）解不等式解：（1）因為，所以，由，即，（2）由（1）得：由得，當時，解得當時，解得，所以的解集為第8課 冪函數、指數函數及其性質【考點導讀】1.了解冪函數的概念，結合函數，的圖像了解它們的變化情況；2.理解指數函數的

29、概念和意義，能畫出具體指數函數的圖像，探索并理解指數函數的單調性；3.在解決實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型【基礎練習】1.指數函數是R上的單調減函數，則實數a的取值范圍是2.把函數的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個單位，得到的圖像，則3.函數的定義域為_R_；單調遞增區間；值域4.已知函數是奇函數，則實數a的取值5.要使的圖像不經過第一象限，則實數m的取值范圍6.已知函數過定點，則此定點坐標為【范例解析】例1.比較各組值的大小：（1），；（2），其中；（3），分析：同指不同底利用冪函數的單調性，同底不同指利用指數函數的單調性解：（1），而，（2）且，（3）點評

30、：比較同指不同底可利用冪函數的單調性，同底不同指可利用指數函數的單調性；另注意通過0，1等數進行間接分類例2.已知定義域為的函數是奇函數,求的值；解：因為是奇函數，所以=0，即 又由f（1）= f（1）知例3.已知函數，求證：（1）函數在上是增函數；（2）方程沒有負根分析：注意反證法的運用證明：（1）設， ，又，所以，則故函數在上是增函數（2）設存在，滿足，則又，即，與假設矛盾，故方程沒有負根點評：本題主要考察指數函數的單調性，函數和方程的內在聯系【反饋演練】1函數對于任意的實數都有（ C ）ABC D2設，則（ A ）A2x1 B3x2 C1x0 D0 x13將y=2x的圖像 ( D ) 再

31、作關于直線y=x對稱的圖像，可得到函數的圖像A先向左平行移動1個單位B先向右平行移動1個單位C先向上平行移動1個單位D 先向下平行移動1個單位1O11xy第4題4函數的圖象如圖，其中a、b為常數，則下列結論正確的是（ C ）ABC D5函數在上的最大值與最小值的和為3，則的值為_2_6若關于x的方程有實數根，求實數m的取值范圍解：由得，7已知函數（1）判斷的奇偶性；（2）若在R上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍解：（1）定義域為R，則，故是奇函數（2）設，當時，得，即；當時，得，即；綜上，實數a的取值范圍是第9課 對數函數及其性質【考點導讀】1.理解對數函數的概念和意義，能畫出具體對數函數的

32、圖像，探索并理解對數函數的單調性；2.在解決實際問題的過程中，體會對數函數是一類重要的函數模型；3.熟練運用分類討論思想解決指數函數，對數函數的單調性問題【基礎練習】1. 函數的單調遞增區間是2. 函數的單調減區間是【范例解析】例1. （1）已知在是減函數，則實數的取值范圍是_（2）設函數，給出下列命題：有最小值； 當時，的值域為；當時，的定義域為；若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是則其中正確命題的序號是_分析：注意定義域，真數大于零解：（1），在上遞減，要使在是減函數，則；又在上要大于零，即，即；綜上，（2）有無最小值與a的取值有關；當時，成立；當時，若的定義域為，則恒成立，即，即成立；

33、若在區間上單調遞增，則解得，不成立點評：解決對數函數有關問題首先要考慮定義域，并能結合對數函數圖像分析解決例3.已知函數，求函數的定義域，并討論它的奇偶性和單調性.分析：利用定義證明復合函數的單調性解：x須滿足所以函數的定義域為（1，0）（0，1）.因為函數的定義域關于原點對稱，且對定義域內的任意x，有，所以是奇函數.研究在（0，1）內的單調性，任取x1、x2（0，1），且設x10，即在（0，1）內單調遞減，由于是奇函數，所以在（1，0）內單調遞減.點評：本題重點考察復合函數單調性的判斷及證明，運用函數性質解決問題的能力【反饋演練】1給出下列四個數：；.其中值最大的序號是_.2設函數的圖像過點

34、，則等于_5_ _3函數的圖象恒過定點，則定點的坐標是4函數上的最大值和最小值之和為a，則a的值為5函數的圖象和函數的圖象的交點個數有_3_個.第6題6下列四個函數：； ；.其中，函數圖像只能是如圖所示的序號為_.7求函數,的最大值和最小值解：令，則，即求函數在上的最大值和最小值故函數的最大值為0，最小值為8已知函數（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性；（3）討論的單調性，并證明解：（1）解：由 ，故的定義域為（2），故為奇函數（3）證明：設，則， 當時，故在上為減函數；同理在上也為減函數；當時，故在，上為增函數第10課 函數與方程【考點導讀】1.能利用二次函數的圖像與判別式的正負，判斷一元二

35、次方程根的存在性及根的個數，了解函數零點與方程根的聯系2.能借助計算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的實質3.體驗并理解函數與方程的相互轉化的數學思想方法【基礎練習】1.函數在區間有_1 _個零點2.已知函數的圖像是連續的，且與有如下的對應值表：1234562.33.401.33.43.4則在區間上的零點至少有_3_個【范例解析】例1.是定義在區間c，c上的奇函數，其圖象如圖所示：令，則下列關于函數的結論：若a0，則函數的圖象關于原點對稱； 若a=1，2bbc，且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點.證明： 的圖象與x軸有兩個交點.第11課 函數模型及其應用【考點導讀】1.能

36、根據實際問題的情境建立函數模型，結合對函數性質的研究，給出問題的解答2.理解數據擬合是用來對事物的發展規律進行估計的一種方法，會根據條件借助計算工具解決一些簡單的實際問題3.培養學生數學地分析問題，探索問題，解決問題的能力【基礎練習】1今有一組實驗數據如下：1.993.04.05.16.121.54.047.51218.01現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律， 其中最接近的一個的序號是_2.某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例

37、為x(0 x 1)，則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤 = (出廠價投入成本)年銷售量.()寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；()為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？解：（）由題意得y = 1.2(1+0.75x)1(1 + x) 1000( 1+0.6x )（0 x 1）整理得 y = 60 x2 + 20 x + 200（0 x 1）. （）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當即 解不等式得.答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應滿足0 x 0.33

38、. 【范例解析】例. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示()寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系式p=f(t)；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數關系式Q=g(t)；()認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)解：()由圖一可得市場售價與時間的函數關系為 由圖二可得種植成本與時間的函數關系為g(t)= (t150)2+100，0t300 ()設t時刻的純收益為h(t)，則

39、由題意得h(t)=f(t)g(t)，即 當0t200時，配方整理得h(t)=(t50)2+100，所以，當t=50時，h(t)取得區間0，200上的最大值100；當20087.5可知，h(t)在區間0，300上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大 【反饋演練】1把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，則這兩個正三角形面積之和的最小值是_ 2某地高山上溫度從山腳起每升高100m降低0.7，已知山頂的溫度是14.1，山腳的溫度是26，則此山的高度為_17_m3某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x

40、0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為_45.6_萬元 4某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少時用料最省?第4題xy解：由題意得 xy+x2=8，y=(0 x0,S13a2a3a12a13,因此，在S1，S2，S12中Sk為最大值的條件為：ak0且ak+10,即a3=12, ， d0, 2k3d3,4,得5.5k7.因為k是正整數，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：由d0得a1a2a

41、12a13，因此若在1k12中有自然數k,使得ak0,且ak+10,則Sk是S1，S2，S12中的最大值。又2a7=a1+a13=S130, a70, a7+a6=a1+a12=S120, a6a70故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依題意得：最小時，Sn最大；d3, 6(5)6.5.從而，在正整數中，當n=6時，n (5)2最小，所以S6最大.點評：該題的第(1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易.第(2)問難度較高，為求Sn中的最大值Sk（1k12）：思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak0且ak+10；而思路之二則是通過等差數列的性質等和性探尋數列的分布規律

42、，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視Sn為n的二次函數，借助配方法可求解，它考查了等價轉化的數學思想、邏輯思維能力和計算能力，較好地體現了高考試題注重能力考查的特點.第3課數列的求和【考點導讀】對于一般數列求和是很困難的，在推導等差、等比數列的和時出現了一些方法可以遷移到一般數列的求和上，掌握數列求和的常見方法有： （1）公式法： 等差數列的求和公式， 等比數列的求和公式（2）分組求和法：在直接運用公式求和有困難時常，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和（如：通項中含因式，周期數列等等）（3）倒序相加法：如果一個數列a，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把

43、正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2（4）錯項相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列的對應項相乘所組成，此時求和可采用錯位相減法。（5）裂項相消法：把一個數列的各項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項之和變成首尾若干少數項之和。【基礎練習】1已知公差不為0的正項等差數列an中,Sn為前n項之和,lga1、lga2、lga4成等差數列，若a5=10,則S5 = 30 。2已知數列an是等差數列,且a2=8,a8=26,從an中依次取出第3項,第9項,第27項,第3n項,按原來的順序

44、構成一個新的數列bn, 則bn=_3n+1+2_3若數列滿足：，2，3.則. 【范例導析】例1.已知等比數列分別是某等差數列的第5項、第3項、第2項，且（）求； （）設，求數列解：（I）依題意 （II） 點評：本題考查了等比數列的基本性質和等差數列的求和，本題還考查了轉化的思想。例2數列前項之和滿足：求證：數列是等比數列；若數列的公比為,數列滿足：，求數列的通項公式；定義數列為，求數列的前項之和。解：（1）由得：兩式相減得：即, 數列是等比數列。 （2），則有 。 （3），點評：本題考查了與之間的轉化問題，考查了基本等差數列的定義，還有裂項相消法求和問題。例3已知數列滿足，（）求數列的通項公式

45、； （）設，求數列的前項和；（）設，數列的前項和為求證：對任意的，分析：本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉化成等比型的數列，對數列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。解：（），又，數列是首項為，公比為的等比數列 ， 即. （） （）， 當時，則， 對任意的， 點評：本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數列的通項，第二問分組求和法是非常常見的方法，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會放成等差、等比數列求和，或者放縮之后可以裂項相消求和。【反饋演練】1已知數列的通項公式，其前項和為，則數列的前10項的和為 75 。 2已知數列的通項公式，其

46、前項和為，則 377 。3已知數列的前項和為，且，則數列的通項公式為。4已知數列中，且有，則數列的通項公式為，前項和為。5數列an滿足a1=2，對于任意的nN*都有an0, 且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知數列bn的通項為bn=2n1+1.(1)求數列an的通項an及它的前n項和Sn；(2)求數列bn的前n項和Tn；解：(1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.6數列an中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求數列an的通項公式；(2)設Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)設bn=(nN*),Tn=b1+b

47、2+bn(nN*),是否存在最大的整數m，使得對任意nN*均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.解：(1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差數列，d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5，當n5時，Sn=n2+9n，當n5時，Sn=n29n+40，故Sn=(3)bn=；要使Tn總成立，需T1=成立，即m8且mZ，故適合條件的m的最大值為7.第4課數列的應用【考點導讀】1能在具體的問題情景中發現數列的等差、等比關系，并能用有關知識解決相應的問題。2注意基本數學思想方法的運用，構造思想：已知數列構造新數列，轉化思想：將非等差、等比

48、數列轉化為等差、等比數列。【基礎練習】1若數列中，且對任意的正整數、都有，則 .2設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為 。3已知等差數列的公差為2，若成等比數列，則 。【范例導析】例1已知正數組成的兩個數列，若是關于的方程的兩根（1）求證：為等差數列； （2）已知分別求數列的通項公式； （3）求數。（1）證明：由的兩根得： 是等差數列（2）由（1）知 又也符合該式， （3） 得.點評：本題考查了等差、等比數列的性質，數列的構造，數列的轉化思想，乘公比錯項相減法求和等。例2設數列滿足 ，且數列是等差數列，數列是等比數列。（I）求數列和的通項公式；（II）是否存在，使，若存在，求出

49、，若不存在，說明理由。解：由題意得： ；由已知得公比 （2），所以當時，是增函數。又， 所以當時，又， 所以不存在，使。【反饋演練】1制造某種產品，計劃經過兩年要使成本降低，則平均每年應降低成本 。2等比數列的前項和為，則 54 。3設為等差數列，為數列的前項和，已知，為數列的前項和，則4.已知數列 （1）求數列的通項公式； （2）求證數列是等比數列；（3）求使得的集合. 解：（1）設數列，由題意得：解得：（2）由題意知：，為首項為2，公比為4的等比數列（3）由5.已知數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意，滿足關系. 證明：是等比數列；證明： ，得 故:數列an是等比數列 2023高中數學

50、復習講義 第六章 不等式【知識圖解】不等式一元二次不等式基本不等式二元一次不等式組應用解法應用幾何意義應用證明 【方法點撥】不等式是高中數學的重要內容之一，不等式的性質是解、證不等式的基礎，兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理及其變形在不等式的證明和解決有關不等式的實際問題中發揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數的重要工具，不等式的概念和性質涉及到求最大（小）值，比較大小，求參數的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數、數列、三角函數、解析幾何、導數等知識的綜合，綜合性強，難度較大，是高考命題的熱點，也是高考復習的難點.掌握用基本不

51、等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系和相互轉化。線性規劃問題有著豐富的實際背景，且作為最優化方法之一又與人們日常生活密切相關，對于這部分內容應能用平面區域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規劃問題。同時注意數形結合的思想在線性規劃中的運用。第1課基本不等式【考點導讀】能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。能用基本不等式解決綜合形較強的問題。【基礎練習】1.“ab0”是“ab0，y0，

52、a0 由0得y-b0 x+y當且僅當，即時，等號成立（2）法一：由，可得， 注意到可得，當且僅當，即時等號成立，代入中得，故的最大值為18法二：，代入中得：解此不等式得下面解法見解法一，下略點撥：求條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數為一元函數，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決. 【反饋練習】1.設a1,且,則的大小關系為mpn 2.已知下列四個結論：若則； 若,則；若則； 若則。其中正確的是3.已知不等式對任意正實數恒成立，則正實數的最小值為64.（1）已知：，且：，求證：，并且求等號成立的條件（2）設實數x，y滿足y+x2=0，0a1，求證：。解： （1

53、）分析：由已知條件，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有，無法利用，故猜想先將所求證的式子進行變形，看能否出現型，再行論證證明：等號成立當且僅當時由以上得即當時等號成立說明：本題是基本題型的變形題在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式要注意靈活運用均值不等式（2） ，0a0的解集是4.若不等式的解集是，則b=_-2_ c=_-3_.【范例導析】例.解關于的不等式分析：本題可以轉化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論.解:原不等式等價于等價于： （*）a時，（*）式等價于0 xa時，（*）式等價于0由知

54、：當0a，x；當a0時，x；當a0時，當，x綜上所述可知：當a0時，原不等式的解集為（，2）；當a0時，原不等式的解集為；當0a時，原不等式的解集為（，）（2，）。思維點撥:含參數不等式,應選擇恰當的討論標準對所含字母分類討論,要做到不重不漏.【反饋練習】1.若關于x的不等式的解集為R，則的取值范圍是 2.不等式解集為，則ab值分別為-12，-23.若函數f(x) = 的定義域為R，則的取值范圍為4.已知M是關于x的不等式2x2+(3a7)x+3a2a20解集，且M中的一個元素是0，求實數a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集.解：原不等式即(2xa1)(x2a3)0，由適合不等式故得，所以

55、，或.若，則，此時不等式的解集是；若，由，此時不等式的解集是。第3課線性規劃【考點導讀】會在直角坐標系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對應的區域，能由給定的平面區域確定所對應的二元一次不等式、二元一次不等式組.能利用圖解法解決簡單的線性規劃問題，并從中體會線性規劃所體現的用幾何圖形研究代數問題的思想.【基礎練習】1.原點（0,0）和點P（1,1）在直線的兩側，則a的取值范圍是0a0，xy+20，2x+y5-4,所以a的取值范圍是（2）方程在內有解， 則在內有解。 當時，所以時，在內有解點撥：本題用的是參數分離的思想.例2.甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過，已知汽車每小

56、時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度的平方成正比，且比例系數為；固定部分為元（1）把全程運輸成本元表示為速度的函數，并指出這個函數的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？分析：需由實際問題構造函數模型，轉化為函數問題求解解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為，全程運輸成本為故所求函數為，定義域為（2）由于都為正數，故有，即當且僅當，即時上式中等號成立若時，則時，全程運輸成本最小；當，易證，函數單調遞減，即時，綜上可知，為使全程運輸成本最小，在時，行駛速度應為；在時，行駛速度應為點撥：本題主要考查建立函數關系式、不等式性質（公式

57、）的應用也是綜合應用數學知識、思想和方法解決實際問題的一道優秀試題【反饋練習】1.設，函數，則使的的取值范圍是2.如果函數的單調遞增區間是(-，a，那么實數a的取值范圍是_ a-1_3.若關于的不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍為4已知二次函數f (x)=,設方程f (x)=x的兩個實根為x1和x2如果x12x20，即2023高中數學復習講義 第七章 立體幾何初步【知識圖解】空間幾何體構成幾何體的基本元素柱、錐、臺、球的特征直觀認識線面平行與垂直表面積與體積中心投影與平行投影直觀圖與三視圖的畫法點、線、面之間的位置關系平面的基本性質確定平面的位置關系空間中的平行關系直線與直線的平行關系直線與

58、平面平行的判斷及性質平面與平面平行的判斷及性質空間中的垂直關系直線與平面垂直的判斷及性質平面與平面垂直的判斷及性質直線與直線的垂直關系【方法點撥】立體幾何研究的是現實空間，認識空間圖形，可以培養學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。空間的元素是點、線、面、體，對于線線、線面、面面的位置關系著重研究它們之間的平行與垂直關系，幾何體著重研究棱柱、棱錐和球。在復習時我們要以下幾點：1注意提高空間想象能力。在復習過程中要注意：將文字語言轉化為圖形，并明確已知元素之間的位置關系及度量關系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關系；能從復雜圖形中邏輯的分析出基本

59、圖形和位置關系，并借助直觀感覺展開聯想與猜想，進行推理與計算。2歸納總結，分門別類。從知識上可以分為：平面的基本性質、線線、線面、面面的平行與垂直、空間中角與距離的計算。3抓主線，攻重點。針對一些重點內容加以訓練，平行和垂直是位置關系的核心，而線面垂直又是核心的核心，角與距離的計算已經降低要求。4復習中要加強數學思想方法的總結與提煉。立體幾何中蘊含著豐富的思想方法，如：將空間問題轉化成平面圖形來解決、線線、線面與面面關系的相互轉化、空間位置關系的判斷及角與距離的求解轉化成空間向量的運算。第1課 空間幾何體【考點導讀】1觀察認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活

60、中簡單物體的結構；2能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖；3通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。【基礎練習】1一個凸多面體有8個頂點，如果它是棱錐，那么它有 14 條棱， 8 個面；如果它是棱柱，那么它有 12 條棱 6 個面。2.（1）如圖，在正四面體ABCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是 。 （2）如圖，E、F分別