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1、近世代數 10 群對集合的作用、伯恩賽德引理 9/3/2021 本節介紹群對集合的作用的概念和理論，它是群的某些應用的理論基礎，也是分析有限群結構的有力工具. 9/3/2021問題： 如果有一個集合，集合上有一些變換t1，t2，t3等等，其中每個變換都會把集合中的每個元素變成集合中的另一個元素，那么如果我們把能夠互相轉變的元素看作是同一種元素，這個集合里一共有多少種“真正不同”的元素呢？ 伯恩賽德引理告訴我們，這個數目就是在每個變換t1,t2,t3下不變的元素的個數的平均數。 9/3/2021一、群對集合的作用設是上的一個置換群，任取和稱為群元素對的作用，并稱群作用于集合上.稱為目標集.下面把

2、置換群對目標集的作用這一概念推廣到一般的群上. 9/3/2021定義1設是一個群,是一個非空集合（稱為目標集），若對應上的一個變換滿足則稱作用于上，稱為對的作用.是可逆變換.易證 9/3/2021例1：設是一個群,的作用為定義對容易驗證滿足定義1 的條件：這種作用稱為群對其本身的左平移或左正則作用. 9/3/2021例2：設是一個群,的作用為定義對容易驗證滿足定義1 的條件：這種作用稱為群對其本身的共軛作用. 9/3/2021例3：設是一個群,的作用為定義對滿足：此作用稱為群對其子群集的共軛作用. 9/3/2021二、軌道與穩定子群定義2設為目標集，群作用于上，則集合稱為在作用下的一個軌道，稱

3、為此軌道的一個代表元.設（1）確定在作用下的所有軌道.解：例4 9/3/2021軌道性質：（1）若在中定義二元關系為：則是中的一個等價關系，且每一個等價類就是一個軌道（2）（3）構成的一個劃分 9/3/2021不動點：由性質看出：目標集被劃分為軌道的并，反過來，在群的作用下可用軌道來研究群的結構，并解決軌道長度與軌道數的問題.定義3設若則稱是的一個不動點.性質： 9/3/2021穩定子群：設群作用于上定義4則稱子群為的穩定子群，記作設（2）確定在作用下的所有穩定子群.例4 9/3/2021例1：設是一個群,的作用為定義對這種作用稱為群對其本身的左平移或左正則作用.若取而稱G在 上可遷 9/3/2021例2：設是一個群,的作用為定義對這種作用稱為群對其本身的共軛作用.若取 9/3/2021例3：設是一個群,的作用為定義對此作用稱為群對其子群集的共軛作用.若取 9/3/2021穩定子群和軌道的關系：(1)軌道公式：證明：是映射且是單射，顯然也是滿射.(2)(3)同一軌道中元素的穩定子群階數相同 9/3/2021三、伯恩賽德引理定理1（Burnside引理）設有限群作用于有限集上，則在作用下的軌道數目為其中為元素在上的不動點數目，求和是對群中每個元素求和. 9

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