1、關于模糊數(shù)學(清晰易懂)第一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月2模糊數(shù)學緒論2產(chǎn)生1965年，L.A. Zadeh（扎德） 發(fā)表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想用屬于程度（隸屬度）代替屬于或不屬于。如某員工屬于優(yōu)秀的程度為0.6, 屬于良好的程度為0.2，屬于一般的程度為0.1，屬于較差的程度為0.1。第二張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月3模糊代數(shù)，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學分支 涉及學科分類、識別、評判、預測、控制、排序、選擇； 模糊產(chǎn)品洗衣

2、機、攝象機、照相機、電飯鍋、空調、電梯人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學、土木、農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟、文學、音樂模糊數(shù)學緒論第三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月4 模糊彩色電視機可根據(jù)室內的光線、距離屏幕 的遠近來自動調節(jié)屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空調器由于用微機進行模糊控制，到了設定時刻，空調器能夠根據(jù)室溫需要，采用經(jīng)濟的工作狀態(tài)，調節(jié)合適的房間溫度，既省電又省事。 模糊煮飯器一次最多可煮1.8升米飯，內裝鍋體溫度、室溫、蒸氣三種傳感器，用它煮飯時，每分鐘檢測一次加熱狀況，根據(jù)檢測結果采用模糊理論對火力強弱進行微妙控制，使煮出來的米飯松軟可口。第四張，PPT共一百零六頁，

3、創(chuàng)作于2022年6月5下面我們正式走進模糊的世界第五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月6一、經(jīng)典集合與模糊集合 模糊集合. uAA. u非此及彼第六張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月7亦此亦彼UA模糊集合 ,元素 x若 x 位于 A 的內部， 則用1來記錄，若 x 位于 A 的外部， 則用0來記錄，若 x 一部分位于 A 的內部，一部分位于 A 的外部，則用x 位于 A 內部的長度來表示 x 對于 A 的隸屬程度。第七張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月8定義：設U是論域，稱映射確定了一個U上的模糊子集 。映射 稱為 隸屬函數(shù)， 稱為 對 的隸屬程度，簡稱隸屬度。越

4、接近于0, 表示 x 隸屬于A 的程度越小；越接近于1, 表示 x 隸屬于A 的程度越大；0.5, 最具有模糊性，過渡點第八張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月9模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里 表示 對模糊集A的隸屬度是 。第九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月10（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：第十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月11例1. 有100名消費者，對5種商品 評價，結果為：81人認為x1 質量好，53人認為x2 質量好，所有人認為x3 質量好，沒有人認為x4 質量好，24人認為x

5、5 質量好則模糊集A（質量好）第十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月12 例2：考慮年齡集U=0,100，O=“年老”，O也是一個年齡集，u = 20 A，40 呢？札德給出了 “年老” 集函數(shù)刻畫:10U50100第十二張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月13再如，Y= “年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)： 1050U第十三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月14二、模糊集的運算定義：設A，B是論域U的兩個模糊子集，定義相等：包含：并：交：補： 表示取大；表示取小。模糊集合的運算第十四張，PPT共一百零六頁，

6、創(chuàng)作于2022年6月15例3.則：0.30.910.80.60.20.10.80.30.5第十五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月16并交余計算的性質1. 冪等律2. 交換律3. 結合律4. 吸收律第十六張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月176. 0-1律7. 還原律8. 對偶律5. 分配律第十七張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月18三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機運動集合（4）U中的一個以 作為彈性邊界的模糊子集A，制約著 的運動。 可以覆蓋 也可以不覆蓋致使 對A的隸屬關系是不確

7、定的。第十八張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月19特點：在各次試驗中， 是固定的，而 在隨機變動。模糊統(tǒng)計試驗過程：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對A的隸屬度：第十九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月20對129人進行調查, 讓他們給出“青年人”的年齡區(qū)間，問年齡 27屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。第二十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月21對年齡27作出如下的統(tǒng)計處理：A(27) = 0.78第二十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月222、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的

8、性質套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。 一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。 偏小型：適合描述“小”“少”“冷”“淺”“疏”“青年”等 偏大型：適合描述“大”“多”“熱”“深”“密”“老年”等 中間型：適合描述“中”“不太多”“不太深”“不太濃” “暖和”“中年”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。第二十二張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月23常用的模糊分布第二十三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月24第二十四張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月253、其它方法德爾菲法：專家評分法； （1）選擇專家； （2）確定影響債權價值的

9、因素，設計價值分析對象征詢意見表； （3）向專家提供債權背景資料，以匿名方式征詢專家意見； （4）對專家意見進行分析匯總，將統(tǒng)計結果反饋給專家； （5）專家根據(jù)反饋結果修正自己的意見； （6）經(jīng)過多輪匿名征詢和意見反饋，形成最終分析結論。第二十五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月26四、模糊關系與模糊矩陣1.模糊關系的定義所謂A，B兩集合的直積中的一個模糊關系R，是指以為論域的一個模糊子集，序偶的隸屬度為一般地，若論域為n個集合的直積，則它所對應的是n元模糊關系R，其隸屬度函數(shù)為n個變量的函數(shù) 。顯然當隸屬度函數(shù)值只取“0”或“1”時，模糊關系就退化為普通關系。第二十六張，PPT共一

10、百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月27 假設物品之間完全相似者為“1”、完全不相似者為“0”，其余按具體相似程度給出一個01之間的數(shù)，就可確定出一個U上的模糊關系R，列表如下 設有七種物品：蘋果、乒球、書、籃球、花，桃、菱形組成的一個論域U，并設x1 , x2 x7分別為這些物品的代號，則 現(xiàn)在就物品兩兩之間的相似程度來確定它們的模糊關系。第二十七張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月28四、模糊矩陣定義：設 稱R為模糊矩陣。當 只取0或1時，稱R為布爾（Boole）矩陣。當模糊方陣 的對角線上的元素 都為1時，稱R為模糊單位矩陣。例如：第二十八張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月2

11、9（1）模糊矩陣間的關系及運算定義：設 都是模糊矩陣，定義相等：包含：并：交：余：第二十九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月30例4：第三十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月31（2）模糊矩陣的合成定義：設 稱模糊矩陣為A與B的合成，其中 。即：定義：設A為 階，則模糊方陣的冪定義為第三十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月32例5：第三十二張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月33（3）模糊矩陣的轉置定義：設 稱 為A的轉置矩陣，其中 。性質：第三十三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月34（4）模糊矩陣的 截矩陣定義：設 對任意的 稱為模糊矩陣A

12、的 截矩陣，其中顯然，截矩陣為Boole矩陣。第三十四張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月35例6：第三十五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月36截矩陣的性質：性質1.性質2.性質3.性質4.第三十六張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月37（5）特殊的模糊矩陣定義：若模糊方陣滿足則稱A為自反矩陣。例如是模糊自反矩陣。定義：若模糊方陣滿足則稱A為對稱矩陣。例如是模糊對稱矩陣。第三十七張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月38定義：若模糊方陣滿足則稱A為模糊傳遞矩陣。例如是模糊傳遞矩陣。第三十八張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月39模糊聚類分析一、基本概念

13、及定理第三十九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月40模糊聚類分析定理：R是n階模糊等價矩陣是等價的Boole矩陣。意義：將模糊等價矩陣轉化為等價的Boole矩陣，可以得到有限論域上的普通等價關系，而等價關系是可以分類的。因此，當在0,1上變動時，由 得到不同的分類。第四十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月41模糊聚類分析第四十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月42例6：設對于模糊等價矩陣模糊聚類分析第四十二張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月43模糊聚類分析畫出動態(tài)聚類圖如下：0.80.60.50.41第四十三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月

14、44模糊聚類分析第四十四張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月45例7：設有模糊相似矩陣模糊聚類分析第四十五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月46（1）Q型聚類：對多種屬性指標的不同樣本對象進行歸類；（2）R型聚類：對多個樣品對象的不同屬性指標進行歸類； R型聚類分析的主要作用是： 1、不但可以了解個別變量之間的關系的親疏程度，而且可以了解各個變量組合之間的親疏程度。 Q型聚類分析的優(yōu)點是：1、可以綜合利用多個變量的信息對樣本進行分類； 2、分類結果是直觀的，聚類譜系圖非常清楚地表現(xiàn)其數(shù)值分類結果； 3、聚類分析所得到的結果比傳統(tǒng)分類方法更細致、全面、合理。模糊聚類分析Q型與R

15、型聚類分析：第四十六張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月47二、模糊聚類的一般步驟、建立數(shù)據(jù)矩陣模糊聚類分析第四十七張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月48（1）標準差標準化模糊聚類分析第四十八張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月49（2）極差正規(guī)化（3）極差標準化（4）最大值規(guī)格化其中：模糊聚類分析第四十九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月50、建立模糊相似矩陣（指標屬性點間的距離）（1）相似系數(shù)法夾角余弦法相關系數(shù)法模糊聚類分析第五十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月51（2）距離法（樣本點間的距離）絕對值距離歐氏距離切比雪夫距離模糊聚類分析閔可

16、夫斯基距離第五十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月52（3）貼近度法最大最小法算術平均最小法幾何平均最小法模糊聚類分析第五十二張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月533、聚類并畫出動態(tài)聚類圖（1）模糊傳遞閉包法（將相似矩陣化為等價矩陣）步驟：模糊聚類分析第五十三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月54模糊聚類分析第五十四張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月55解：由題設知特性指標矩陣為采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為模糊聚類分析第五十五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月56用最大最小法構造模糊相似矩陣得到模糊聚類分析第五十六張，PPT共一百零六頁，

17、創(chuàng)作于2022年6月57用平方法合成傳遞閉包第五十七張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月58取 ，得模糊聚類分析第五十八張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月59取 ，得取 ，得模糊聚類分析第五十九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月60取 ，得取 ，得模糊聚類分析第六十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月61畫出動態(tài)聚類圖如下：0.70.630.620.531模糊聚類分析第六十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月62F,則認為各類之間有明顯的差異。F服從自由度為r-1，n-r的F分布。第六十九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月70模糊聚類分析

18、的簡要流程:YN第七十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月71模式識別的本質特征：一是事先已知若干標準模式，稱為標準模式庫；二是有待識別的對象。所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模糊的，或說標準模式庫中提供的模式是模糊的。模糊模式識別第七十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月72 模式識別是科學、工程、經(jīng)濟、社會以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學模式就是在已知各種標準類型(數(shù)學形式化了的類型)的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數(shù)學形式化，有時數(shù)學形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質，此時識別就要運用模糊數(shù)學方法。模糊模式識別第七十二張

19、，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月73 在科學分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當我們取到一個新的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的模式識別問題。在經(jīng)濟分析，預測與決策中，在知識工程與人工智能領域中，也常常遇到這類問題。 本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標準模糊集的識別問題 點對集；另一類是模糊集對標準模糊集的識別問題 集對集。模糊模式識別第七十三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月74點對集1. 問題的數(shù)學模型 (1) 第一類模型：設在論域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF (

20、X )，將這些模糊集視為 n 個標準模式，x0 X 是待識別的對象，問 x0 應屬于哪個標準模式 Ai ( i =1，2， n ) ? (2) 第二類模型：設 AF ( X )為標準模式，x1, x2, , xn X 為 n 個待選擇的對象，問最優(yōu)錄選對象是哪一個 xi (i =1，2， n ) ?模糊模式識別第七十四張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月75一最大隸屬原則最大隸屬原則：最大隸屬原則：模糊模式識別第七十五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月76 原則的例子 在論域U=0,100(分數(shù))上確定三個代表學習成績的模集糊 =“優(yōu)”， =“良”， =“差”。當某學生的數(shù)學

21、成績?yōu)?8分時，該學生的數(shù)學成績該評為優(yōu)、良、還是差？ 為此，要先建立模糊集 隸屬函數(shù)。有人用指派法建立了論域U上模糊集 的隸屬函數(shù)為:第七十六張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月77第七十七張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月78 把x=88分別代入上述三個隸屬函數(shù)，得: 據(jù)原則，88分相對三個模型應隸屬于 ，即可評為優(yōu)。 第七十八張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月79原則的例子 設論域U=x1, x2, x3(三名學生的學習成績),在U上確定以一個模糊集 =“優(yōu)”，若三個學生的英語成績分別為x1=70, x2=80, x3=90現(xiàn)據(jù)英語成績從三名學生中招聘一人做翻

22、譯，應優(yōu)先招聘誰？ 由計算結果可知，第三位同學的成績最靠近優(yōu)。據(jù)原則應首先聘任第三位同學。把三個同學的英語成績分別代入隸屬函數(shù):得:第七十九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月80 (2)擇近原則 設論域U上有m個模糊子集 構成一個標準模型庫 為待識別的對象。若存在i0 1,2,m使得: 2.貼近度及其擇近原則 (1)貼近度 貼近度是描述模糊集之間彼此靠近程度的指標,是我國學者汪培莊教授提出的,由于研究的問題不同,貼近度也有不同的定義形式,它的一般定義為: 設A，B是論域U上的兩個模糊子集，則稱為A與B的貼近度。待識別對象歸入Ai0類。第八十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月

23、81 (3)實用貼近度 實際工作中實用的幾個貼近度計算公式：第八十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月82第八十二張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月83 例：茶葉的模型識別 論域U=茶葉, 其等級標準模型庫 待識別的茶葉樣品為B,衡量茶葉質量指標為:條索,色澤,凈度,湯色,香氣和滋味。模型庫與樣品的有關數(shù)據(jù)如右表。貼近度計算公式:第八十三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月84按擇近原則:第八十四張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月85貼近度計算改用： 上述兩種計算貼近度公式，計算數(shù)值不同，但歸類果一樣，那一種更好？茶葉樣品第八十五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)

24、作于2022年6月86閾值原則：有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限制下隸屬于該模糊集對應的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數(shù)學描述如下：第八十六張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月87第八十七張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月88例如 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隸屬度規(guī)定為對于x1 = 27 歲及 x2 = 30 歲的人來說，若取閾值第八十八張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月

25、891 = 0.7，故認為 27 歲和 30 歲的人都屬于“青年人” 范疇。則因 Y(27) = 0.862 1，而 Y(30) = 0.5 2, 而 Y(30) = 0.5 = 2 ，第八十九張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月90模糊綜合評判一級模糊綜合評判第九十張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月91模糊綜合評判第九十一張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月92模糊綜合評判第九十二張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月93模糊綜合評判第九十三張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月94模糊綜合評判第九十四張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月95根據(jù)運算的不同定義，可得到以下不同模型：模糊綜合評判第九十五張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月96例如有單因素評判矩陣則B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18)第九十六張，PPT共一百零六頁，創(chuàng)作于2022年6月97模糊綜合評判