1、18.2 特殊的平行四邊形18.2.3 正方形(第2課時)人教版 數學 八年級 下冊 寧寧在商場看中了一塊正方形紗巾，但不知是否是正方形，只見售貨員阿姨拉起紗巾的一組對角，另一組對角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾的另一組對角，剩下的那組對角也能完全重合.阿姨認為這樣就能證明紗巾是正方形，把紗巾給了寧寧，你認為寧寧手上的紗巾一定是正方形嗎？ 導入新知做一做：把可以活動的菱形框架的一個角變為直角，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形【討論】 滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角或對角線相等探究新知知識點 正方形的判定已知：如圖,在菱形ABCD中,AC , DB是

2、它的兩條對角線, AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO求證：對角線相等的菱形是正方形.探究新知四邊形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,ACDB.AC=DB, AO=BO=CO=DO,AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形，DAB=ABC=BCD=ADC=90,四邊形ABCD是正方形.證明：做一做：準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形【討論】滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等或對角線互相垂直探究新知矩形已知：如圖,在矩形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, ACDB.求證：矩形ABCD是

3、正方形.證明：四邊形ABCD是矩形, AO=CO=BO=DO ，ADC=90. ACDB, AD=AB=BC=CD, 矩形ABCD是正方形.求證：對角線互相垂直的矩形是正方形.探究新知ABCDO正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角正方形常見的判定方法先證是矩形再證是菱形或先證是菱形再證是矩形探究新知平行四邊形5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或對角線相等一組鄰邊相等或對角線互相垂直一組鄰邊相等或對角線互相垂直一個角是直角或對角線相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結探究新知例1 已知：如圖，ABC中，C=90，CD

4、平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求證：四邊形CFDE是正方形C=90， DEBC于E，DFAC于F,DEC=90， DFC=90，四邊形CFDE有三個直角， 它是矩形.又CD平分ACB, DE=DF.四邊形CFDE是正方形.探究新知素養考點 1由矩形到正方形的識別證明： DEAC，DFBC ，DEC=DFC=90.又 C=90 ，四邊形ADFC是矩形.過點D作DGAB，垂足為G.AD是CAB的平分線,DEAC，DGAB，同理得DG=DF，四邊形EDFC是正方形. 如圖，在直角三角形中，C=90，A、B的平分線交于點D.DEAC，DFBC.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG鞏固練

5、習證明： DE=DG.ED=DF，證明：四邊形ABCD為正方形,OB=OC,ABO=BCO =45,BOC=90=COH+BOH.EGFH,COH=BOE,OE=OH.BACDOEHGF例2 如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EGFH.求證：四邊形EFGH是正方形.探究新知素養考點 2由菱形到正方形的識別OE=OF=OG=OH.EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,BOE+BOH=90,CHO BEO,同理可證：OE=OF=OG,又EGFH,四邊形EFGH為菱形.四邊形EFGH為正方形.在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN四邊形EFMN

6、是正方形嗎?為什么?四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA， A=B=C=D=90.AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.鞏固練習解：四邊形EFMN是正方形. 理由如下： AE=BF=CM=DN, A=B=C=D, AN=BE=CF=DM,AENBFECMFDNM,EN=FE=MF=NM，ANE=BEF,四邊形EFMN是菱形，NEF=180（AEN+BEF） =180（AEN+ANE） =18090=90.四邊形EFMN是正方形 .鞏固練習在AEN、BFE、CMF、DNM中，在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合），對于任意矩形AB

7、CD，下面四個結論中，存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；存在無數個四邊形MNPQ是矩形；存在無數個四邊形MNPQ是菱形；至少存在一個四邊形MNPQ是正方形所有正確結論的序號是_連接中考1.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（ ）AAC=BD，ABCD，AB=CDBADBC，A=CCAO=BO=CO=DO，ACBDDAO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO基礎鞏固題課堂檢測 2.下列判斷中正確的是（ ） A.四邊相等的四邊形是正方形 B.四角相等的四邊形是正方形 C.對角線垂直的平行四邊形是正方形 D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D課堂檢測3

8、.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形 B當ACBD時，四邊形ABCD是菱形 C當ABC=90時，四邊形ABCD是矩形 D當AC=BD時，四邊形ABCD是正方形 D課堂檢測BDAC4.如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對角線BD平分ABC , P是BD上一點,過點P作PMAD , PNCD ,垂足分別為M、N.(1) 求證：ADB=CDB;(2) 若ADC=90,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. ABDCBD (SAS). ADB=CDB.12課堂檢測CAB

9、DPMN（2）ADC=90, 又PMAD,PNCD, PMD=PND=90. 四邊形NPMD是矩形. ADB=CDB, ADB=CDB=45. DM=PM,DN=PN. 四邊形NPMD是正方形.課堂檢測 如圖，ABC中，D是BC上任意一點，DEAC，DFAB（1）試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由（2）連接AD，當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？解：（1）DEAC，DFAB，四邊形AEDF為平行四邊形.（2）四邊形ADEF為菱形，AD平分BAC，則AD平分BAC時，四邊形AEDF為菱形.課堂檢測能力提升題（3）在（2）的條件下，當ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方

10、形，不說明理由解：由四邊形AEDF為正方形BAC=90，ABC是以BC為斜邊的直角三角形即可課堂檢測如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AFAC，垂足為A，AF=AE（1）求證：BF=DE；（2）當點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由（1）證明：正方形ABCD，AB=AD，BAD=90，AFAC，EAF=90，在ABF 和ADE中，ABAD ，BAFEAD ，AFAE ,ABFADE（SAS），拓廣探索題課堂檢測BAF=EAD，BF=DE；（2）解：當點E運動到AC的中點時,四邊形AFBE是正方形，理由：點E運動到AC的中點，AB=BC，BEAC，BE=AE= AC，AF=AE，又BEAC，FAE=BEC=90，BEAF，四邊形