1、專題30運動與變化-函數(shù)思想閱讀與思考所謂函數(shù)思想，就是用運動、變化的觀點來分析問題中的數(shù)量關系，通過函數(shù)的形式，把這種關系表示出來，運用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、解決問題.函數(shù)思想在解決問題中有以下幾個方面的應用：1利用函數(shù)圖象解決問題；2用函數(shù)的觀點研究方程（組）、不等式（組）的解；3建立目標函數(shù)，運用函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.方程與函數(shù)有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系體現(xiàn)在：方程的解是對應的函數(shù)圖象交點的橫坐標函數(shù)圖象的直觀性，使得我們對方程的理解有了一種新的途徑，函數(shù)是初中數(shù)學的主要內(nèi)容，有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函次和二次函數(shù)，要研究它們的性質(zhì)和圖象函數(shù)的思想方法就是用變化運動的觀點來

2、觀察、分析問題應熟悉以下基本問題：常見函數(shù)的性質(zhì)、圖象、畫法；常見函數(shù)的圖象與該函數(shù)的解析式中各個系數(shù)的符號的關系；確定常見函數(shù)解析式的方法；函數(shù)與方程（組）的聯(lián)系.例題與求解【例1】同學們都知道，一次函數(shù)ykxbk0的圖象是一條直線，它可以表示許多實際意義，x比如在圖1中，x表示時間（小時）y表示路程（千米）那么從圖象上可以看出，某人出發(fā)時（0），離某地（原點）2千米，出發(fā)1小時，由x1，得y5，即某人離某地5千米，他走了3千米在圖2中，OA，BA分別表示甲、乙兩人的運動圖象，請根據(jù)圖象回答下列問題：y(1)如果用t表示時間，表示路程，那么甲、乙兩人各自的路程與時間的函數(shù)關系式：甲_，乙_;

3、(2)甲的運動速度是_千米/時；(3)甲、乙同時出發(fā)，相遇時，甲比乙多走_千米（常州市中考試題）yy5432201510A15B21O123xO12345x圖1圖2解題思路：本例采用新視角將行程問題用圖示法表示，解題的關鍵是領會“一次函數(shù)”表示行程問題的意義，從圖象獲得與行程問題相關量的信息.對于某些從正面直接求解比較困難的數(shù)學問題，通過對題設與結(jié)論的觀察與分析，構(gòu)造輔助元素，使問題結(jié)構(gòu)更加清晰，解題過程更加簡化，目標結(jié)論更為明確，這種解題方法稱為構(gòu)造法構(gòu)造法的基本形式是以已知條件為“原料”，以所求結(jié)論為“方向”，構(gòu)造出一種新的數(shù)學形式，常用的構(gòu)造方法有：構(gòu)造實例；構(gòu)造反例；構(gòu)造方程；構(gòu)造函數(shù)

4、；構(gòu)造圖形.【例2】對于方程x22x2m，如果方程實根的個數(shù)恰為3個，則m值等于()A.1B3C2D2.5解題思路：可將m值一一代入原方程，逐一驗證，直至篩選出符合條件的m的值本例的另一解法是把討論方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)yx22x2與函數(shù)ym圖象交點，利用函數(shù)圖象解題【例3】已知b，c為整數(shù)，方程5x2bxc0的兩根都大于1且小于0，求b和c的值（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：解本例的基本思路是利用求根公式，通過解不等式組求出b，c的值，顯然較繁可以構(gòu)造二次函數(shù)，討論二次函數(shù)y5x2bxc與x軸交點在1與0之間時所滿足的約束條件入手【例4】在直角坐標系中有以A（1，1），B(1，一1),

5、C(1，1），D(1，1)為頂點的正方形，設它在折線yxaa上側(cè)部分的面積為S試求S關于a的函數(shù)關系式，并畫出它們的圖象（河北省競賽試題）解題思路：CD，AB平行于x軸且與x軸的距離為1，就a1，0a1，1a0，a1四種情況討論.【例5】如圖，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在水面中心，OA1.25米由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流沿形狀相同的各條拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1米處時距水面最大高度為2.25米(1)如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至落到池外？(2)若水流噴出的拋物線形狀與(1

6、)相同，水池的半徑為3.5米，要使水流不落到池外，此時水流的最大高度應達多少米？（精確到0.1米）（山西省中考試題）AO解題思路：以OA所在的直線為y軸，過點O垂直于OA的直線為x軸，點O為原點，建立直角坐標系，解題的關鍵是求出拋物線的解析式.隨著近年中考和競賽試題改革的不斷深入，數(shù)學應用題已不再停留在“列方程解應用”的層次上，其內(nèi)容繁多，題型多變，解法靈活，函數(shù)應用題的廣泛出現(xiàn)是近年中考的一個顯著特點.函數(shù)應用題的數(shù)量關系是以函數(shù)的形式出現(xiàn)，解題的關鍵是建立量與量之間的函數(shù)關系式，運用相關函數(shù)的性質(zhì)解題.【例6】某商場促銷方案規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標價的80%出售，同時，當顧客在商場內(nèi)消費滿

7、一定金額后，按下表獲得相應的返還金額消費金額（元）返還金額（元）3004003040050050060060100600700700900130150注：“300400”表示消費金額大于300元且小于或等于400元，其他類同.根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠例如，若購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400(180%)30110(元)(1)購買一件標價為1000元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？(2)如果顧客購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226元，那么該商品的標價至少為多少元？（南京市中考試題）解題思路：本題考查的是分段函數(shù)的應

8、用問題，在解答過程中要體現(xiàn)分類討論的思想能力訓練1如圖，是蘭州市市內(nèi)電話費y（元）與通話時間t（分鐘）之間的函數(shù)關系的圖象，則通話7分鐘需付電話費_（元）（甘肅省中考試題）y0.60.2035ty9306303300304050 xy(元)502001020 x(噸)第1題圖第2題圖第4題圖2如圖，某航空公司托運行李的費用與托運行李重量的關系的函數(shù)圖象，由圖中可知行李的重量只要不超過_公斤，就可免費托運3已知a，b為拋物線y(xc)(xcd)2與x軸交點的橫坐標，ab，則|ac|cb|的值為_（全國初中數(shù)學競賽試題）4為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費的方法收

9、費，每月收取水費y（元）與用水量x（噸）之間的函數(shù)關系如圖按上述分段收費標準，小明家三、四月份分別交水費26元和18元，則四月份比三月份節(jié)約用水_噸（武漢5月調(diào)考試題）5某校組織學生到距離學校6千米的光明科技館去參觀學生王紅因事沒能乘上學校的包車，于是準備在學校門口改乘出租車去光明科技館，出租車的收費標準如下：里程3千米以下（含3千米）3千米以上，每增加1千米收費（元）8.001.80(1)寫出出租車行駛的里程數(shù)x3（千米）與費用y（元）之間的函數(shù)關系式：_.(2)王紅同學身上僅有14元錢，乘出租車到科技館的車費夠不夠？請說明理由_（常州市中考試題）6已知邊長為1的正方形ABCD，E為邊CD的

10、中點，動點P在正方形ABCD邊上沿ABCE運動設點P經(jīng)過的路程為eqoac(,x)，APE的面積為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致為()y1O2.5xy1O2.5xy1O2.5xy1O2.5xABCD（天津市競賽試題）7向高為h的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量v與水深h的函數(shù)關系如圖所示，那么水瓶的形態(tài)是()vOHhABCD（黃岡市調(diào)考試題）4C1A0k2B0k78方程4x24k1x4k10的兩根滿足0 x1x2，則k的取值范圍是()1271kDk24449某旅社有100張床位，每床每晚收費10元時，客床可全部租出，若每床每晚收費提高2元，則減少10張床位租出；若每床每晚收費再提高2元，則再減少

11、10張床位租出以每次提高2元的這種方法變化下去，為了投資少而獲利大，每床每晚應提高(A4元或6元B4元C6元10如圖所示，矩形ABCD中，ABa，BCb，b3)D8元（無錫市競賽試題）a3b.在AB，BC，CD和DA上分別取E，F(xiàn)，G，H，使得AEAHCFCG，則四邊形EFGH面積的最大值為()(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2ABC.D24816AHDEGBFC11某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為2元，售價為3元年銷售量為100萬件為獲取更好的效益，公司準備拿出一定資金做廣告通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每年投入的廣告費用為x（10萬元）時，產(chǎn)品的年銷量將是原售量的y倍；同時y又是x的二次函數(shù)，相互

12、關系如下表：x012y11.51.8(1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費，試寫出年利潤S（10萬元）與廣告費x(10萬元)的函數(shù)關系式；(3)如果一年投入的廣告費為1030萬元，問廣告費在什么范圍內(nèi)時，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大？（廣西賽區(qū)選拔賽試題）12.如圖，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的示意圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸橋拱的DGD部分為一段拋物線，頂點G的高度為8米，AD和AD是兩側(cè)高為5.5米的支柱OA和OA為兩個方向的汽車通行區(qū)，寬都為15米，線段CD和CD為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度比為1：

13、4.(1)求橋拱DGD所在拋物線的解析式及CC的長；(2)BE和BE為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應的AB和AB為兩個方向的行人及非機動車通行區(qū)，試求AB和AB的寬；(3)按規(guī)定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米今有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與地面的距離均為7米；它能否從OA（或OA）區(qū)域安全通過？請說明理由.（河北省中考試題）yECBDGAODAEBCx13有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰PQR，PQPR5cm，QR8cm.點B，C，Q，R在同一條直線l上.當C，Q兩點重合時，等腰PQR以1cm/秒的速度沿直線l按箭

14、頭所示方向開始勻速運動，t秒后正方形ABCD與等腰PQR重合部分的面積為scm2.解答下列問題：(1)當t3秒時，求s的值；(2)當t5秒時，求s的值；(3)當5秒t8秒時，求s與t的函數(shù)關系式，并求出s的最大值（吉林省中考試題）ADPBQCRl14.是否存在這樣的實數(shù)k，使得二次方程x22k1x3k20有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間？如果有，試確定k的取值范圍；如果沒有，試述理由.（“祖沖之杯”邀請賽試題）a15.實數(shù)a，b，c滿足acbc0證明：bc24aabc（“祖沖之杯”邀請賽試題）16.如圖，已知點A(1，0)，B(3，0)，C(0，t)，且t0，tanBAC3，拋物線經(jīng)過A，B，C三點.點P(2，m)是拋物線與直線l：ykx1的一個交點(1)求拋物線的解析式；(2)對于動點Q(1，n），求PQQB的最小值；(3)若動點M在直線l上方的拋物線上運動，求AMP的邊AP上的高