1、中學數學建模教學及應用21世紀課程改革的一個重要目標就是要加強綜合性、應用性內 容，重視聯系學生生活實際和社會實踐。這是在課程、教學中注入素 質教育內容的具體要求。因此，進入 21世紀以后，數學應用題的數 量和分值在會考和高考中將逐步增加，中、低檔題目將逐漸齊全，并 將在命題中轉變傳統的學科體系觀念， 結合生活實際和社會實踐，突 出理論與知識結合，理論與實踐結合，引導學生關心社會、關心未來， 實現高考命題改革與中學教育、教學觀念改革的結合，成為推動素質 教育發展的重要內容。重視和加強中學數學建模與應用， 是數學教學 為實現上述目標的突破口和出發點。首先，數學應用問題，就是指用數學的方法將一個表

2、面上非數學 問題或非完全的數學問題轉化成完全形式化的數學問題。求解數學應用問題的思路和方法，其一般步驟是：.解讀：領會題意，并把題中的普通語言，譯成數學語言；.建模：根據題目要求，分析量與量之間的關系，建立恰當的 數學模型，并注意題目對變量的限制條件，加以括注；.解模：對已經數學化的問題，用所學過的數學知識處理， 求出解答；.驗核：將數學問題的解代入實際問題核查，舍去不合題意的 解，并作答。我們可以用示意圖表示為：|求祠魔|壁暨、薇學模型!:推理 演 苴 * 1不爆流啊 1I實際1冗鍍的解T:載字模郊的群其次，根據大綱要求和現行教材內容，中學數學建模教學的主要 內容有：集合交、并、補的應用，不

3、等式的應用，函數的應用，指數 函數和對數函數的應用，三角函數的應用，向量的應用，復數的應用， 線性規劃的應用，圓錐曲線的應用，等差數列和等比數列的應用，較 復雜的計數問題舉例，立體幾何的應用等。止匕外，結合時代發展的特 點，涉及現代生活的經濟統計圖表（識別、分析、繪制），數據擬合 （最小二乘法），動態規劃（貨郎擔問題，生產計劃問題等），網絡規 劃（繪制、計算、優化），矩陣對策，股票、彩票發行模型，風險決 策，市場預測，存貯原理，供求模型，蛛網模型，法律與犯罪問題， 就業與失業，廣告與稅款等，以及有關跨學科的生態平衡、環境保護、 人口生命等方面的問題的建模。在此基礎上，應對上述內容，對其建模的主

4、要類型進行化歸。一、建立或化歸為函數模型如現實生活中普遍存在著最優化問題-最佳投資、最小成本 等，常常歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變 量的限制條件，運用函數知識和方法解決。例：在NBA勺一場比賽中，某球員跳起投籃，球沿拋物線y =1x2+3.5運行（如圖所示），然后準確落入籃框內。已知籃框5的中心離地面的距離為3.05米。（1）球在空中運行的最大高度為多少米？ （2）如果該球員跳投時，球出手離地面的 高度為2.25米，請問他距離籃框中心的水 平距離是多少？前言：在我們接觸到的與二次函數有關的實 際問題中，有部分題目，其特點是題中給出 解析式，要求學生通過對解析式的觀察、分

5、 析，畫出圖象，并根據圖象找出正確的數量 關系，建立數學模型。分析：（1）由解析式可知，拋物線的開口方向向下，故函數有最大值3.5 ,此時的值即為球在空中運行的最大高度；（2）由籃框的中心離地 面的距離為3.05米，可知此時的函數值是3.05,可求出籃框的中心 所對應的自變量的值，即可求出籃框中心與對稱軸的水平距離；由該球員跳投時，球出手離地面的高度為2.25米，可知此時的函數值是 2.25 ,可求出該球員所在位置對應的自變量的值，即可求出該球員與對稱軸的距離。兩距離之和即為該球員與籃框中心的水平距離。解：（1）因為拋物線y = 1x2+ 3.5的頂點坐標為（0, 3.5）,所以5球在空中運行

6、的最大高度為3.5米；在 y=-1x2+3.5 中，y= 3.05 時，3.05 = 1 X2+3.5 ,解得 x2 = 2.25, 55所以x= 1.5 ,又因為x0,所以x= 1.5 ,當丫= 2.25 時，2.25 = -1x2 +3.5,解得 x2 = 6.25 ,所以 x=2.5,5又因為x0,所以x= - 2.5 ,故運動員距離籃框中心水平距離為11.5 | + 1 - 2.5 | = 4米。反思：通過對解析式的分析，畫出圖象，并通過圖象將生活與數學聯系起來，本題是這類題中最具代表性的。教學中，應先讓學生把“球運行的最大高度”及“人手、籃框的高度”轉化為數學語言。抓 住這兩點，學生

7、就能很容易地找出數量關系，建立起正確的數學模型。二、建立或化歸為方程或不等式模型現實世界中廣泛存在著數量之間的相等或不等關系，如投資決策、 人口控制、資源保護、生產規劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及 的有關數量問題，常歸結為方程或不等式求解。例（2007山東卷）某公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時 間不超過300分鐘的廣告，廣告費用不超過9萬元。甲、乙電視臺的 收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘。假定甲、乙兩個電視臺 為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元。問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能 使公司的收益最大？最大收益是多少

8、萬元？前言：這是高考中繼江蘇卷線性規劃大題后第二個線性規劃大題。要 解決這一題，學生需掌握如何用線性規劃解決實際問題的解題思路： 首先，應準確建立數學模型，即根據題意找出約束條件，確定線性目 標函數。然后，用圖解法求得數學模型的解，即畫出可行域，在可行 域內求得使目標函數取得最值的解。 最后，還要根據實際意義將數學 模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優解。操作步驟：教師引導學生列出如下表格:甲乙合計時間x分鐘y分鐘300收費500元/分鐘200元/分鐘9萬元理清了量與量間的關系，緊接著建立模型。設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為 x分鐘和y分x y 300, y 0.鐘

9、，總收益為Z元。根據題意可列出約束條件500 x 200y 90000, x 0,目標函數為z 3000 x 2000y二元一次不等式組等價于x y 300,5x 2y 900,x 0,y 0.作出二元一次不等式組所表示的平面區域，如圖。作直線 l :3000 x 2000y 0,即3x 2y 0平移直線l,從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數取得最大值x + y = 3005x+2y = 900，解得 x=100, y=200點M的坐標為（100,200）二 Zmax =3000 x+2000y=700000 （元）回歸實際問題。因此該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘

10、 廣告，公司的收益最大，最大收益是 70萬元。反思：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找 出約束條件和目標函數是關鍵。教學中，教師應注意指導學生學會處 理數據（分類、列表格），應讓學生切實學會從實際問題抽象出約束 條件及目標函數。建立或化歸為數列模型現實生活中的許多經濟問題，如增長率、利息（單利、復利） 、 分期付款等與時間相關的實際問題；生物工程中的細胞繁殖與分裂等 問題；人口增長、生態平衡、環境保護，物理學上的衰變、裂變等問 題，常通過建立相應的數列模型求解。例：據估計，由于伊拉克戰爭的影響，伊拉克將產生 100萬難民, 聯合國難民署計劃從4月1日起為伊難民運送食品。第一天運

11、送 1000t,第二天運送1100t,以后每天都比前一天多運送100t,直到達 到運送食品的最大量，然后每天減少 100t,總共運送21300t,連續 運送15天，求在第幾天達到運送食品的最大量？教師引導學生觀察，這是一道以國際時事為背景的應用題，從題中給出的信息我們發現了等差數列的模型。分析：由于前段時間每天都比前一天多運送 100t,后段時間每天 減少100t,所以每天運送的食品量構成兩個等差數列。易知第一個等 差數列的首項與公差，從而求出通項公式。構造出第一個等差數列后， 以此為基礎再構造第二個等差數列。題中連續15天，總共運送21300t,即給出了兩個數列的總項數與總和， 所以可劃歸為

12、等差數列的求和問題。構建模型：設在第n天達到運送食品的最大量，則前 n天每天運送的食品量 是首項為1000,公差為100的等差數列，所以a nT000 十(n 1)x100 100n十900從第(n+1)天起每天運送的食品量是首項為 100n+800,公差為-100的等差數列，項數為 15-n。所以bn =(100n十800)十(14n)(100)解答并檢驗模型：依題意，得n 100000n +900 + (15 n) (100n +800) -(100n+ 800) + (14 n)( 100)22二 21300整理化簡得n2 31n+198=0 ,解得n=9或n=22 (舍去)問題回歸：因

13、此在第9天達到運送食品的最大量。反思：此題的難點在構建模型以及求解問題兩步， 應注意點撥學 生分析首項、公差、項數，從而得出數列的通項公式。其次，教學時， 應特別提點學生注意分清所要涉及的量是 an ,還是Sn ,同時應理清 項數，切不可多一項或少一項。建立或化歸為幾何模型現實世界中涉及一定圖形屬性的應用問題，如航行、建筑、測量、 人造衛星運行軌道等，常需建立相應的幾何模型，應用幾何知識，轉 化為用方程或不等式，或三角知識求解。 TOC o 1-5 h z 例、我艦在敵島A南偏西500相距12海里的B處，發現敵艦正由 島沿北偏西100的方向以10海里/時的速度航行。問我艦需以多大速 度、沿什么

14、方向航行才能用2小時追上敵艦？C前言：本題是一個解斜三角形的實際問題， 要在理解一 八 些術語(如坡角、俯角、方位角、方向角等)的基礎上，/ 正確地將實際問題中的長度、角度看成三角形相應的邊/1：和角，創造可解的條件，綜合運用三角函數知識以及/正弦定理和余弦定理來解決。/ 7A A活動：首先，教師應與學生一起弄清“南偏西 /，丁500”及“北偏西100”這兩個方位角如何畫？由圖 / /*可以看出，要求我艦的追及速度及方向，必須 /X 先求BC及 /ABC;由于在 ABC 中，AB=12, b以 AC=20,Z BAC= 400 +800 = 1200,于是問題歸 結為”已 知三角形的兩邊和它們

15、的夾角，求第三邊”這一數學模型。解析：如圖，在 ABC中，由余弦定理得BC2 二 AC2 I AB2 2ACABcos/BAC221人=20 112 -2 X20X12X（一）= 784, BC = 28我艦的追及速度為14海里/時。又在 ABC中，由正弦定理得AC _ BCsin B sin A即 sin BAC sin A20X,32BC 285.314/ABC = arcsin5-14答：我艦需以14海里/時的速度沿北偏東500arcsin5巨的方向才能用142小時追上敵艦。反思：此類題將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何背景，因此教學時要充分利用數形結合的方法，可充分利用多媒體課件給學生 以動態演示，加強直觀感。建模能力是解題者對各種能力的