1、 二次函數中的數學思想 Mathematical thinking in the quadratic function 宜賓翠屏棠湖外語學校 黃 江 燕 - 新世紀教育網版權所有數學是一種精神，一種理性的精神。 正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活。 -克萊因- 新世紀教育網版權所有 數學的學習，更重要的是數學思想的學習,只有突破數學思想，才能進行創造性的學習.- 新世紀教育網版權所有一：再學函數 -類比的數學思想一次函數反比例函數二次函數定義圖像性質應用- 新世紀教育網版權所有二：探究二次函數圖像與性

2、質 -從特殊到一般的數學思想- 新世紀教育網版權所有求函數解析式交點式頂點式一般式 已知某二次函數的圖像過（-1，10）、（1，4）、（2，7）三點，求這個函數的解析式。已知某二次函數圖像頂點（-2，1）且經過（1,0)，求二次函數解析式 。已知某二次函數圖像與X軸交于(2,0) (-1,0)且過點(0,-2)求二次函數解析式 。=+=+=+-724410cbacbacba解：設所求函數解析式為cbxaxy+=2解:拋物線的頂點為(2,-1)設解析式為:y=a(x-2)2-1把點(-1,2)代入 a(-1-2)2-1=2解:拋物線與X軸交于 點(2,0)(-1,0)設解析式為: y=a(x-2

3、)(x+1)把點(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2- 新世紀教育網版權所有 方程思想是通過列方程（組）求解函數問題的解題策略，體現了已知和未知的對立統一關系， 除用待定系數法求二次函數解析式外，在二次函數的一些綜合題目中也時有應用。且難度可深可淺，使函數的學習變得更加多樣化。三：二次函數中的方程思想- 新世紀教育網版權所有問題： 是否還有其他的數學思想也滲透在二次函數的學習中呢？- 新世紀教育網版權所有 如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a0) 的圖像,請盡可能多的說出一些結論。yxO-11-34- 新世紀教育網版權所有 問題1. 方程-(x+1)2+4=0有幾個實數解? 問題2.

4、方程-(x+1)2+4=1有幾個實數解?- 新世紀教育網版權所有 問題1. 方程-(x+1)2+4=0有幾個實數解?方程-(x+1)2+4=1有幾個實數解?yxO-1 14-3y=-(x+1)2+4011x1x2結合圖像思考:函數思想- 新世紀教育網版權所有 問題2. 結合圖像思考： 當m為何值時, 方程-(x+1)2+4=m 有兩個不相等的實數根; 有兩個相等的實數根; 沒有實數根?yO-1 14-3y=-(x+1)2+4y=mm1函數思想- 新世紀教育網版權所有yxO-1 14-3問題(3) 若直線y1=kx+m與拋物線y2=ax2+bx+c交于A(1,0),B(-1,4)兩點. 觀察圖像

5、填空：(1)方程ax2+bx+c=kx+m 的解為 . (2)不等式ax2+bx+ckx+m 的解為 . (3)不等式ax2+bx+ckx+m 的解為 . ABx1=-1,x2=1-1x1函數思想x-1或x1- 新世紀教育網版權所有點評 感覺到數學的美，感覺到數與形的協調，感覺到幾何的優雅，它是所有的數學家都清楚的真實的美的感覺。 -龐加萊用數表達，用形釋義，數形結合，相得益彰。- 新世紀教育網版權所有五：轉化的數學思想思路：將二元方程解的問題轉化為二次函數的問題來求解。例：已知實數x、y滿足 ，則 的最大值為 。- 新世紀教育網版權所有點評 轉化思想就是換一個角度去看，換一種方式去想，換一種

6、觀點去處理，把“新知識”等價轉化為“舊知識”以使問題朝著有利于解決的方向發展。- 新世紀教育網版權所有例：若函數的圖象與x軸總有交點，求a的取值范圍。 解析：由于題設中并未說明函數的次數也未說明圖象與x軸交點的個數，因此，所給函數既可以是二次函數，又可以是一次函數。- 新世紀教育網版權所有六：分類討論的數學思想 當被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來分別求解，這種方法稱為分類討論思想。兩個原則：（1）每次分類按同一個標準進行。（2）不重復、不遺漏。- 新世紀教育網版權所有例：若函數的圖象與x軸總有交點，求a的取值范圍。 情況一：當 時，函數為一次函數，解得a

7、=-2或a=-1；顯然a=-1不符合題意，應舍去。而當a=-2時，與x軸有一個交點。 情況二：當 時，解得 且 ，由函數圖象與x軸總有交點，得 ，所以，綜上所述，a的取值范圍是a-1- 新世紀教育網版權所有點評 分類討論思想的作用是培養思維的周密性、克服思維的片面性，防止漏解、錯解。這實際上是一種“分而治之，各個擊破”的策略。 在二次函數的中考壓軸題中，分類討論的思想更是體現的淋漓盡致。- 新世紀教育網版權所有 類比的數學思想 從特殊到一般的數學思想 函數中的方程思想 數形結合的數學思想 轉化的數學思想 分類討論的數學思想 思想回顧 函數思想- 新世紀教育網版權所有二次函數中的其他數學思想：圖

8、形變換思想函數建模思想 - 新世紀教育網版權所有數形結合思想、方程思想、轉化思想、分類討論思想：例：如圖,二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標分別為-1,3，與y軸負半軸交于點C，則下列說法正確的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3）只有當a= 時，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC為等腰三角形的a的值可以有3個。ABCD- 新世紀教育網版權所有數形結合思想、方程思想、轉化思想、分類討論思想：例：如圖,二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標分別為-1,3，與y軸負半軸交于點C，則下列說法正確的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3

9、）只有當a= 時，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC為等腰三角形的a的值可以有3個。ABCDEADB E- 新世紀教育網版權所有數形結合思想、方程思想、轉化思想、分類討論思想：例：如圖,二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標分別為-1,3，與y軸負半軸交于點C，則下列說法正確的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3）只有當a= 時，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC為等腰三角形的a的值可以有3個。ABCDABCO- 新世紀教育網版權所有在數學的天地里 重要的不是我們知道什么 而是我們怎么去知道什么- 新世紀教育網版權所有 如圖為二次函數的圖象，給出下列說法： ；方程 的根為 ； ；當 x1 時，y隨x值的增大而增大；當 時， 其中，正確的說法有 （請寫出所有正確說法的序號）思維訓練1：- 新世紀教育網版權所有思維訓練2： 如圖,二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點,與y軸交于A點. (1)根據圖象確定a、b、c的符號,并說明理由;(2)如果點A的坐標為(0,-3),ABC=45,ACB=60,求這個二次函數的解析式.- 新世紀教育網版權所有思維訓練3：例：如圖,二次函數y=x2 +（2k-1)x+k+1的圖象與x軸交于O、A兩點. (1)求這個二次函數的解析式