1、 音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可以改善物質生活，但數學能給予以上的一切。 克萊因 哲學家也要學數學，因為他必須跳出浩如煙海的萬變現象而抓住真正的實質。又因為這使靈魂過渡到真理和永存的捷徑。 柏拉圖 一個國家只有數學蓬勃的發展，才能展現它國力的強大。數學的發展和至善和國家繁榮昌盛密切相關。 拿破侖 在通常意義下，Fourier變換存在的條件需要函數f (t)在(-,+)上絕對可積. 很多常見的初等函數(例如常數函數、多項式函數、正弦與余弦函數等)都不滿足這個要求. 另外，很多以時間 t 為自變量的函數，當t0時，往往沒有定義，或者不需要知道t0的

2、情況, 此時可以認為當t0時, f (t)0. 于是Fourier變換的表達式為 第八章 Laplace變換但是仍然需要f (t)在 上絕對可積的條件. 對定義在 上的函數 f (t), 如果考慮 那么 容易滿足在 上絕對可積的要求. 例 如為常數、多項式、正弦與余弦函數等, 這是因為 時,是衰減速度很快的函數. 如果 取得適當大，那么 的Fourier變換可能有意義. 的Fourier變換為將 記為s, 可寫成 這就是本章要討論的Laplace變換, 它放寬了對函數的限制, 使之更適合某些工程實際, 且仍然保留Fourier變換中許多好的性質, 在某些工程問題中更實用、更方便.1 Lapla

3、ce變換的定義 2 周期函數和d 函數的Laplace變換 8.1 Laplace變換的定義定義8.1設 在上有定義, 并且積分 (s是復參變量)關于某一范圍s 收斂，則由這個積分確定的函數稱為函數 的Laplace變換, 并記做 即 8.1.1 Laplace變換的定義的像函數， 稱為 稱為 的像原函數. 已知 是的Laplace變換，則記 并稱為的Laplace逆變換.因為在Laplace變換中不必考慮 時的情況，所以經常記作 例8.1 求單位階躍函數 的Laplace變換.根據Laplace變換的定義， 當時， 例8.2 求指數函數 (其中a是實數)的Laplace變換. 這個積分當 時

4、收斂，且 所以根據Laplace變換的定義 回憶,理解與問題:(1) 回憶:含參量積分就是一個含參量的積分.(2) 拉氏變換實際是實函數f (t)的集合到復函數F(s)的集合的一種對應關系所以記F(s)為Lf(t),并稱F(s)為f(t)的象函數.集合A f(t)集合B F(s)(3) 由(2)產生了以下問題: 集合A中都有什么樣的實函數? 換句話說, A中不同實函數的象函數是否也不同?若L什么實函數有拉氏變換？是A到B 的一一對應,則L就有逆映射L-1. 內分段連續, 并且當時, 的增長速度不超過某一指數函數, 即存在常數和使得在 上， 在定理8.1 設函數 的任何有限區間則在半平面上， 存

5、在, 且 是s的解析函數, 其中 稱為的增長指數. 8.1.2 Laplace變換存在定理 定理8.2如果在處收斂，則這個積分在 上處處收斂, 且由這個積分確定的函數 在上解析；如果 在處發散, 則這個積分在 上處處發散. 類似于冪級數中 ，有下面定理. 根據定理8.2，存在實數s (或是)使得在 上, 積分收斂, 而在上，積分處處發散. 在收斂區域內， Laplace變換的像函數 是s的解析函數. O實軸虛軸s例8.3 求的Laplace變換. Laplace變換存在，且 于是類似可得 因為故在 上，注:計算過程與高等數學算法一致,應用兩次分部積分記住結果法即可.在學習了拉氏變換的微分性質以

6、后,我們還將給出本題的其它證明方法.例8.4 求的Laplace變換. 解 如果a是正整數 m, 則由分部積分法, 易求得方法, 可求出當不是正整數時, 利用復變函數論的其中是G函數.設是以T 為周期的函數, 即 且在一個周期內分段連續，則 令則例8.5 周期函數的Laplace變換 而當時，所以 于是這就是周期函數的Laplace變換公式. 附錄3(見P181 )給出了一些常見函數的拉氏變換.請特別記住以下結果(六個):定理8.3設 是 的所有孤立奇點(有限個)， 除這些點外, 處處解析, 且存在當時, 其中是的實函數, 且 選取使所有孤立奇點都在 內, 則當 時， 8.1.3 Laplac

7、e 逆變換計算公式其中是的增長指數. 積分路徑是在右半平面 上的任意一條直線 這就是Laplace逆變換的一般公式, 稱為Laplace 變換的反演積分. 應用Laplace變換的性質計算逆變換的方法，也是常用的方法。Laplace逆變換的一種較一般的方法。后面還有 應用復變函數論中的留數理論作為工具，是計算簡便的方法。在使用時, 應該根據具體情形采用例 求 的Laplace逆變換. 解是 的1級極點， 由計算 留數的法則， 例8.6 求的Laplace逆變換. 解和2級極點. 和分別是 的1級故由計算留數的法則 例8.7求 解和分別是 的3級和2級極點. 故由計算留數的法則 當是有理函數時,

8、 可把它化為部分分式 再求逆變換，一般來說這樣更為方便. 例8.8求 的Laplace逆變換. 解法1和分別是 的1級和3級極點， 故由計算留數的法則 解法2可分解為形如 可以求得因為 所以 1 線性性質 3 像函數的微分性質 6 位移性質 5 像函數的積分性質 2 微分性質 4 積分性質 7 延遲性質 10 卷積定理 9 初值和終值定理 8 相似性質 8.2 Laplace變換的性質以下假定所考慮的 Laplace 變換的像原函數都滿足存在定理的條件. (1) 線性性質 設a, b 是常數， 則 由Laplace變換的定義及積分的線性性質可證. (2) 微分性質 設 則 此性質可以將f (t

9、)的微分方程轉化為F(s)的代數方程.推論對正整數n, 有 特別地，當 時， 在這個性質中，要求存在且滿足Laplace 變換存在定理的條件例8.9求的Laplace變換. 解因為所以使用同樣方法，可得 參見例8.3, 與這里方法不同 根據 和線性性質 例8.10求的Laplace變換. 解根據線性性質與利用 也可以求出當m是正整數時， 參見例8.4 事實上, 設 則 因為 所以 于是 (3) 像函數的微分性質 設 則 一般地，對正整數n, 有 例8.11 求的Laplace變換. 使用同樣方法，可得 根據 與例8.12 求 解因為 所以(4) 積分性質 設 則 (5) 位移性質 設 則 其中

10、是的增長指數. 例8.13求 和 故根據 使用同樣方法，可得 由例9 例8.14求 使用同樣方法，可得 根據例10 與 (6) 像函數的積分性質 設 且 存在，積分 收斂，則 推論如果像函數積分性質的條件滿足, 且積分收斂，則例8.15求 的Laplace變換，并求積分解由 已知 故根據 再利用 (7) 延遲(平移)性質 設 若當 時, 則對任何非負實數t , 有 Ottf (t)f (t-t)(8) 相似性質 設 則 其中下面介紹Laplace變換的卷積性質卷積定理. Laplace變換的卷積性質不僅能用來求出某些函數 的Laplace逆變換, 而且在線性系統的研究中起著重 要作用. 因為在

11、Laplace變換中, 總認為t 0時像原函數 恒為零. 因此, 與 的卷積為 卷積定理 設 和滿足Laplace變換 存在的條件，即存在 和使得 如果則 或 對一個系統進行分析和研究, 首先要知道該系統的數學模型, 也就是要建立該系統特性的數學表達式. 所謂線性系統, 在許多場合, 它的數學模型可以用一個線性微分方程來描述, 或者說是滿足疊加原理的一類系統. 這一類系統無論是在電路理論還是在自動控制理論的研究中, 都占有很重要的地位. 本節將主要討論拉氏變換在求解線性微分方程中的應用.8.3 Laplace變換的應用像原函數(常微分方程的解)像函數常微分方程像函數的代數方程Laplace逆變換Laplace變換解代數方程基本思路例8.16求常系數線性微分方程的初值問題 的解.解設 是初值問題解 的 Laplace變換的像. 對方程兩邊進行Laplace變換， 根據 和初值條件, 利用 及因為所以由于是例8.17求一階微分方程組 滿足初值條件的解.解設是所要求的解，記 對方程組兩邊進行Laplace變換， 由 和 初值條件解