1、第三節 垂徑定理北師大版九年級數學下冊第三章 圓第1頁，共23頁。 1.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等. 2.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.定理回顧第2頁，共23頁。如圖，完成下列各題：應用一下:（1） AOB ,AB .（2）AB ABAOB ， （3）AOB AB ， .第3頁，共23頁。 1.在紙上任意畫一個O，以O的一條直徑為軸，把O對折 (如圖)，你發現了什么？ 圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條過圓心的直線（直徑）.導入新課第4頁，共23頁。 2.在對折O后，用針在半圓上刺一個小孔，得兩個重

2、合的點 A、B (如圖).把對折的圓攤平，那么折痕 CD 是直徑，點 A、B 是關于直線 CD 的一對對稱點.連接 AB，得弦 AB(如圖)，這時直徑 CD 與弦 AB有怎樣的位置關系？CDABAMBM還有哪些等量關系？第5頁，共23頁。 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.該定理的題設是：垂直于弦的直徑該定理的結論是：平分這條弦，并且平分弦所對的弧垂徑定理幾何語言敘述定理：CD為O的直徑，且CDAB，AMBM， ， . 第6頁，共23頁。 求證：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧. 已知，如圖，AB是O的一條弦，CD 是O的一條直徑，并且CDAB，垂足為M，求證：AMBM

3、， ， .第7頁，共23頁。CDAB，AM BM，AOC BOC， ，AOD 180 AOC， BOD 180 BOC， AOD BOD .證明：連接OA，OB， 則OA OB，第8頁，共23頁。 如圖，AB是O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M. （1）上圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？ （2）你能發現圖中有哪些等量關系？說一說你的理由。想一想：第9頁，共23頁。 求證：平分弦 (不是直徑) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧. 已知，如圖，AB是O的一條弦，CD是O的一條直徑，CD交AB于點M，且AM=BM， 求證：CDAB， ， .第10頁，共23頁。 A

4、M BM ， CDAB ， AOC BOC， ， AOD 180AOC， BOD 180 BOC， AOD BOD .證明：連接OA，OB， 則OA OB，第11頁，共23頁。 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.垂徑定理的逆定理幾何語言敘述定理：AMBM，CD為O的直徑，CDAB， ， .第12頁，共23頁。你可以寫出相應的命題嗎?垂徑定理的逆定理 只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論.第13頁，共23頁。例題講解 如圖，一 條公路的轉彎處是一段弧（即圖中 ，點O是 所在圓的圓心）.其中CD 600m，E為 上一點，且OECD，垂足為F，EF 90m.求這段彎路的半徑

5、.第14頁，共23頁。則：OF （R90）m，OECD，CF CD 600 300（m），在RtOCF中，由勾股定理得：OC2 CF2OF2，R2 3002（R90）2解得：R 545，這段彎路的半徑為545m.解：連接OC，設彎路的半徑為Rm，第15頁，共23頁。 1.1400年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋（如圖）是圓弧形，它的跨度（即弧所對的弦長）為37.4m，拱高（即弧的中點到弦的距離）為7.2m，求橋拱所在圓的半徑（結果精確到0.1m）.練一練第16頁，共23頁。解：過拱橋所在圓的圓心O作AB的垂線，交 于點C，交AB于點D，則CD=7.2m，由垂徑定理，得：AD AB 37.4 18

6、.7（m）設O的半徑為Rm，在RtAOD中：AO R，OD R7.2，AD 18.7由勾股定理，得：AO2 OD2AD2，R2 (R7.2)218.72 解得：R27.9故橋拱所在圓的半徑約為27.9m.第17頁，共23頁。 2.如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況。（1）兩條弦在圓心的同側（2）兩條弦在圓心的兩側第18頁，共23頁。1.兩條弦在圓心的同側證明：連接OA、OB、OC、OD，作直徑MNAB，則MNCD，由垂徑定理，得： ， ,AON BON，CON DONAONCON BON DON即 AOC BOD 第19頁，共23頁。2.兩條弦在圓心的兩側證明：連接OA、OB、OC、OD，作直徑MNAB，則MNCD，由垂徑定理，得： ， ,AOMBOM，CONDONAOMAOC CON180 BOM BOD DON180 AOCBOD 圓的兩條平行弦所夾的弧相等第20頁，共23頁。