1、 微課課題球的內接計算問題引入：球是我們日常生活中見到的一種非常美的幾何體，今天我們學習-球的內接計算問題。一基礎梳理1.如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內接多面體，這個球稱為多面體的外接球.2.球面積公式S=4兀R24球體積公式：v=3兀R3二典例講解題型一球的內接長方體與正方體例1.（2014陜西高考理第5題）已知底面邊長為1,側棱長為2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（B.4兀C.2兀AB解析：因為正四棱柱的各頂點在同一球面上，所以球是正四棱柱的外接球。正四棱柱就是長方體，它的體對角線就是外接球的直徑。有2R=12+12+（2）2，得R=

2、1，所以該球體4廠4一4兀積為V=3R2=3兀12=亍，故選d.點評：本題考查正四棱柱和球的幾何特征，以及球的體積計算公式。關鍵是找到正四棱柱中與球直徑有關的量，求出球半徑。變式1（2013年高考天津卷文第10題）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上.若球的9兀TOC o 1-5 h z體積為2,則正方體的棱長為. HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 9兀3解析：因為球的體積為三，球半徑為r=。設正方體的棱長為a，則正方體的體對角線為球的直徑，即v3a=2r，解得a=壬3。題型二球的內接棱柱與棱錐例2.（2013年高考遼寧卷文第10題，理第12題

3、）已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AA=12,AB丄AC,則球O的半徑為（）1 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document A.塑7B.2頁C.13D.3J022解析：由球心作面ABC的垂線，則垂足為BC中點M。計算AM=2，由垂徑定理，0M=6,|513所以半徑R=（2）2+62=2，故選c.另法：本題還可以通過補形，把三棱柱補成長方體，利用題型一來求解.點評：本題考查三棱柱和球的幾何性質，球的半徑計算以及補形法.變式2【2014大綱高考理第8題，文第10題】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4

4、，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A甞耳解析：如圖，設球的半徑為R，球心為0,正四棱錐底面中心為為E,則OE垂直棱錐底面，由已知條件可知球心在正四棱錐的高PE上，在RtABC中，由勾股定理，得OE2+AE2=OA2,所以（4-R）2+（2）2二R2，解得R=4，所81兀以球的表面積S=4兀R2=，故選A.TOC o 1-5 h z變式3.2012全國新課標理11.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面上，AABC是邊長為1的正三角形，SC為球0的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（） HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 八邁、込22 HY

5、PERLINK l bookmark29 o Current Document A.BC.D. HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 6632解析：如圖，ABC的外接圓的半徑r二3舟-1半，點0到面ABC的距離OM=R2r2J諄）2=2J6離為SN=2OM=因為SC為球O的直徑，所以點S到面ABC的距另：V-S3AABC排除B,C,D變式4V=-S3AABCxSN=-X遇x込=遼343（2013年高考課標II卷文第15題）已知正四棱錐O-ABCD的體積為底面邊長為J3，則以0為球心，0A為半徑的球的表面積為B解析：如圖，設正四棱錐的高為h，則3X（.：3）2h=，解得高h=。貝I底面正方形的對角線長為2x亍3=6,所以OA，（322）2+（）2=壬6,所以22球的表面積為4兀6）2=24兀.三.方法小結1有關多面體外接球的問題，是高考的一個重要考點，主要考查學生的空間想象能力，等價轉化能力以及運算能力.2.解決球的內接問題既要運用多面體的知識，又要運用