1、第三節平行關系1.直線與平面平行的判定與性質文字語言圖形語言符號語言判定定理若平面外一條直線與此_的一條直線平行,則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)_,_,_,l性質定理如果一條直線與一個平面平行,那么過該直線的任意一個平面與已知平面的_與該直線平行(線面平行線線平行)_,_,_,lb平面內交線laalll=b2.平面與平面平行的判定與性質文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內有兩條_都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行(線面平行面面平行)_,_,_,_,_,性質定理如果兩個平行平面同時與第三個平面_,那么它們的_平行_,_,_,ab相交直線abab=Pab相交交線=a=b判斷

2、下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”).(1)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.()(2)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.()(3)若直線a與平面內無數條直線平行,則a.()(4)若直線a平面,P,則過點P且平行于直線a的直線有無數條.()(5)若平面平面,直線a平面,則直線a平面.()【解析】(1)錯誤.當這兩條直線為相交直線時,才能保證這兩個平面平行.(2)正確.如果兩個平面平行,則在這兩個平面內的直線沒有公共點,則它們平行或異面.(3)錯誤.若直線a與平面內無數條直線平行,則a或a.(4)錯誤.有且只有一條直線,且該直線為過直

3、線a和點P的平面與平面的交線.(5)錯誤.若平面平面,直線a平面,則a或a.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.下列命題中,正確的是()(A)若ab,b,則a(B)若a,b,則ab(C)若a,b,則ab(D)若ab,b,a,則a【解析】選D.由直線與平面平行的判定定理知選項D正確.2.已知直線l,m,平面,下列條件能得出的是()(A)l,m,且l,m(B)l,m,且lm(C)l,m,且lm(D)l,m,且lm【解析】選C.如圖,在正方體AC1中,AA1平面ABCD,BB1平面A1B1C1D1且AA1BB1,則平面ABCD平面A1B1C1D1,故選C.3.直線a不平行于平面,則下列結論成立的

4、是()(A)內的所有直線都與a異面(B)內不存在與a平行的直線(C)內的直線都與a相交(D)直線a與平面有公共點【解析】選D.因為直線a不平行于平面,則直線a與平面相交或直線a在平面內,所以選項A,B,C均不正確.故選D.4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結論中,正確的結論是_(只填序號).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1.【解析】借助圖形可知AD1與DC1所在的直線為異面直線,故錯誤.答案:考向 1 線面平行的判定與性質 【典例1】(1)若一條直線和兩個相交平面都平行,則這條直線和它們的交線的位置關系是.(2)如圖,在正方體ABCD-A1

5、B1C1D1中,點N在BD上,點M在B1C上,并且CM=DN.求證:MN平面AA1B1B.【思路點撥】(1)把文字敘述轉化為符號敘述,然后利用線面平行的性質,把線面平行轉化為線線平行.(2)“線線平行”“線面平行”“面面平行”是可以互相轉化的.本題可以采用任何一種轉化方式.【規范解答】(1)已知a,a,=l,設過a的平面=m,a,am.設過a的平面=n,a,an,mn.n,m,m.又m,=l,ml.al.答案:平行(2)方法一:如圖所示,作MEBC交BB1于E;作NFAD交AB于F,連接EF,則在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,BD=B1C,B1M=BN.又BD=B1C,又BC

6、=AD,ME=NF.又MEBCADNF,四邊形MEFN為平行四邊形,MNEF.又EF平面AA1B1B,MN平面AA1B1B,MN平面AA1B1B.方法二:過M作MQBB1交BC于Q,連接NQ.MQ平面AA1B1B,BB1平面AA1B1B,MQ平面AA1B1B.由MQBB1得又CM=DN,CB1=DB,NQDC,NQAB.NQ平面AA1B1B,AB平面AA1B1B,NQ平面AA1B1B.又MQNQ=Q,平面MQN平面AA1B1B.又MN平面MQN,MN平面AA1B1B.【互動探究】若將本例題(2)中的條件“CM=DN”改為則如何證明?【證明】將 轉化為CM=DN.以下同例題.【拓展提升】1.判斷

7、或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點).(2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba).(3)利用面面平行的性質(,aa).(4)利用面面平行的性質(,a,a,aa).(5)利用空間向量,證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.2.判斷或證明兩直線平行的常用方法(1)利用公理4(ab,bcac).(2)利用線面平行的性質定理(a,a,=bab).(3)利用面面平行的性質定理(,=a,=bab).(4)利用線面垂直的性質定理(a,bab).(5)利用向量共線證明.【提醒】利用線面平行的性質或判定定理時,適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法.【變式備選】(1)如圖,四邊形AB

8、CD是平行四邊形,點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:APGH.【證明】如圖,連接AC交BD于點O,連接MO,四邊形ABCD是平行四邊形,O是AC的中點.又M是PC的中點,APOM.又AP平面BDM,AP平面BDM.平面PAHG平面BDM=GH,PAGH.(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,CDAB,DC= AB,試在線段PB上找一點M,使CM平面PAD,并說明理由.【解析】當M為PB的中點時,CM平面PAD.方法一:取AP的中點F,連接CM,FM,DF.則FMAB,FM= AB.CDAB,CD= AB,FMCD,FM=CD,四

9、邊形CDFM為平行四邊形,CMDF.DF平面PAD,CM平面PAD,CM平面PAD.方法二:在四邊形ABCD中,設BC的延長線與AD的延長線交于點Q,連接PQ,CM.CDAB,QCD=QBA.CQD=BQA,CQDBQA,C為BQ的中點.M為BP的中點,CMPQ.PQ平面PAD,CM平面PAD,CM平面PAD.方法三:取AB的中點E,連接EM,CE,CM.在四邊形ABCD中,CDAB,CD= AB,E為AB的中點,AEDC,且AE=DC,四邊形AECD為平行四邊形.CEDA.DA平面PAD,CE平面PAD,CE平面PAD.同理,根據E,M分別為BA,BP的中點,得EM平面PAD.CE平面CEM

10、,EM平面CEM,CEEM=E,平面CEM平面PAD.CM平面CEM,CM平面PAD.考向 2 面面平行的判定與性質 【典例2】(1)(2013西安模擬)設m,n是平面內的兩條不同直線,l1,l2是平面內的兩條相交直線,則的一個充分而不必要條件是()(A)m且l1 (B)ml1且nl2(C)m且n (D)m且nl2(2)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證:B,C,H,G四點共面;平面EFA1平面BCHG.【思路點撥】(1)逐項驗證,既要驗證充分性,還要驗證必要性.(2)要證明B,C,H,G四點共面,可證明直線GH與直線BC共面;

11、可利用面面平行的判定定理證明.【規范解答】(1)選B.對于選項A,不合題意;對于選項B,由于l1與l2是相交直線,而且由l1m可得l1,同理可得l2,故可得,充分性成立,而由不一定能得到l1m,l2n,它們也可以異面,故必要性不成立,故選B;對于選項C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分條件;對于選項D,由nl2可轉化為n,同選項C,故不符合題意.綜上選B.(2)G,H分別是A1B1,A1C1的中點,GH是A1B1C1的中位線,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四點共面.E,F分別是AB,AC的中點,EFBC.EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.A1G

12、EB,四邊形A1EBG是平行四邊形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.【互動探究】在本例(2)條件下,若D1,D分別為B1C1,BC的中點,求證:平面A1BD1平面AC1D.【證明】如圖所示,連接A1C交AC1于點H,四邊形A1ACC1是平行四邊形,H是A1C的中點,連接HD,D為BC的中點,A1BHD.A1B平面A1BD1,DH平面A1BD1,DH平面A1BD1.又由三棱柱的性質知,D1C1BD,四邊形BDC1D1為平行四邊形,DC1BD1.又DC1平面A1BD1,BD1平面A1BD1,DC1平面A1BD1,又DC

13、1DH=D,平面A1BD1平面AC1D.【拓展提升】1.判定面面平行的四個方法(1)利用定義:即判斷兩個平面沒有公共點.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行.(4)利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行.2.面面平行的性質(1)兩平面平行,則一個平面內的直線平行于另一平面.(2)若一平面與兩平行平面相交,則交線平行.【變式備選】如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABC=ACD=90, BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E為PD的中點,AB=1.證明:直線CE平面PAB.【證明】取AD中點F,連接EF,CF,在PAD中,EF是中位

14、線,可得EFPA.EF平面PAB,PA平面PAB,EF平面PAB.RtABC中,AB=1,BAC=60,又RtACD中,CAD=60,AD=4,結合F為AD中點,得ACF是等邊三角形,ACF=BAC=60,可得CFAB.CF平面PAB,AB平面PAB,CF平面PAB.EF,CF是平面CEF內的相交直線,平面CEF平面PAB.CE平面CEF,CE平面PAB.【典例3】如圖所示,平面平面,點A,點C,點B,點D,點E,F分別在線段AB,CD上,且AEEB=CFFD.(1)求證:EF.(2)若E,F分別是AB,CD的中點,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60,求EF的長.考向 3 平行關系

15、的綜合應用 【思路點撥】(1)要證EF,可轉化為證明EF與內的某一直線平行或證明EF所在的平面與平行.(2)以EF為邊構造三角形可求得EF的長.【規范解答】(1)當AB,CD在同一平面內時,由,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,ACBD.AEEB=CFFD,EFBD.又EF,BD,EF. 當AB與CD異面時,設平面ACD=DH,且DH=AC.,平面ACDH=AC,ACDH,四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點G,使AGGH=CFFD,得GFHD.又AEEB=CFFD=AGGH,EGBH.又EGGF=G,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF.綜上,EF.（2）如圖所示，連接

16、AD，取AD的中點M，連接ME，MF.E，F分別為AB，CD的中點，MEBD，MFAC，且ME= BD=3，MF= AC=2，EMF為AC與BD所成的角（或其補角），EMF=60或120.在EFM中由余弦定理得即EF= 或EF=【拓展提升】三種平行關系的轉化方向及注意事項(1)轉化方向如圖所示:(2)注意事項在應用線面平行、面面平行的判定定理和性質定理進行平行轉化時,一定要注意定理成立的條件,嚴格按照定理成立的條件規范書寫步驟,如把線面平行轉化為線線平行時,必須說清經過已知直線的平面與已知平面相交,則直線與交線平行.【變式訓練】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心

17、,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ平面PAO?【解析】當Q為CC1的中點時,平面D1BQ平面PAO.證明如下:Q為CC1的中點,P為DD1的中點,QBPA.P,O分別為DD1,DB的中點,D1BPO.又D1B平面PAO,PO平面PAO,QB平面PAO,PA平面PAO,D1B平面PAO,QB平面PAO,又D1BQB=B,D1B,QB平面D1BQ,平面D1BQ平面PAO.【滿分指導】平行關系證明題的規范解答 【典例】(12分)(2012山東高考)如圖,幾何體E-ABCD是四棱錐,ABD為正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求證:BE=DE.(2)若BCD

18、=120,M為線段AE的中點,求證:DM平面BEC.【思路點撥】已知條件條件分析ABD為正三角形三角形三個內角相等,三邊相等CB=CDCBD為等腰三角形,若O為DB的中點,則COBDECBD證明線面垂直M為AE的中點可構造三角形的中位線【規范解答】（1）取BD的中點O，連接CO，EO.由于CB=CD，所以COBD.1分又ECBD，ECCO=C，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，所以BDOE.3分又O為BD的中點，所以BE=DE.5分（2）方法一：取AB的中點N，連接DM，DN，MN.因為M是AE的中點，所以MNBE.6分又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.7分又因為A

19、BD為正三角形,所以BDN=30.又CB=CD，BCD=120，因此CBD=30，所以DNBC.9分又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDN=N，故平面DMN平面BEC.11分又DM平面DMN，所以DM平面BEC.12分方法二：延長AD，BC交于點F，連接EF.因為CB=CD，BCD=120，所以CBD=30.7分因為ABD為正三角形，所以BAD=ABD=60，ABC=90，所以AFB=30，所以AB= AF.9分又AB=AD，所以D為線段AF的中點.10分連接DM，由點M是線段AE的中點，因此DMEF. 11分又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.12

20、分【失分警示】(下文見規范解答過程)1.(2012四川高考)下列命題正確的是()(A)若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行(B)若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行(C)若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行(D)若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行【解析】選C.利用線面位置關系的判定和性質解答.A錯誤,如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等,但兩條母線相交;B錯誤,ABC的三個頂點中,A,B在的同側,而點C在的另一側,且AB平行于,此時可有A,B,C三點到平面距離相等,但兩平面相交;D錯誤,如教室中兩個相鄰墻面都與地面

21、垂直,但這兩個面相交.2.(2013衡水模擬)已知直線m,n和平面,則mn的一個必要不充分條件是()(A)m,n (B)m,n(C)m,n (D)m,n與成等角【解析】選D.對于A,m,n為mn的既不充分也不必要條件;對于B,m,n為mn的充分不必要條件;對于C,m,n為mn的既不充分也不必要條件;對于D,m,n與成等角為mn的必要不充分條件,故選D.3.(2013新余模擬)已知直線m,n與平面,給出下列三個命題:若m,n,則mn;若m,n,則mn;m,m,則.其中真命題的個數是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】選C.對于,m,n可能平行、相交或異面,正確,所以真命題的個數為2.4.

22、(2012遼寧高考改編)如圖,直三棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC= AA=1,點M,N分別為AB和BC的中點.證明:MN平面AACC.【證明】方法一:連接AB,AC,由已知BAC=90,AB=AC,三棱柱ABC-ABC為直三棱柱, 所以M為AB的中點.又因為N為BC的中點,所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.方法二:取AB中點P,連接MP,NP,而M,N分別為AB與BC的中點,所以MPBBAA,PNAC.因為MP,PN平面AACC,AA,AC平面AACC,所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而M

23、N平面MPN,因此MN平面AACC.1.設,為三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,在命題“=m,n,且,則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組,使該命題為真命題.,n;m,n;n,m.可以填入的條件有()(A)或 (B)或(C)或 (D)或或【解析】選C.由面面平行的性質定理可知,正確;當n,m時,n和m在同一平面內,且沒有公共點,所以平行,正確.2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AB,CC1的中點,在平面ADD1A1內且與平面D1EF平行的直線()(A)不存在 (B)有1條(C)有2條 (D)有無數條【解析】選D.平面ADD1A1與平面D1EF有公共點D1,

24、由平面的基本性質中的公理知必有過該點的公共線l,在平面ADD1A1內與l平行的線有無數條,且它們都不在平面D1EF內,由線面平行的判定定理知它們都與平面D1EF平行,故選D.第四節垂直關系1.直線與平面垂直(1)定義條件:直線l與平面內的_一條直線都垂直.結論:直線l與平面垂直.任何（2）判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條_直線都垂直,那么該直線與此平面垂直_,_,_,_,_,l性質定理如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線_,_,ab相交lalbabab=Aab平行2.二面角二面角的定義從一條直線出發的_所組成的圖形叫作二面角.這條直線叫作

25、二面角的_,這兩個半平面叫作二面角的_二面角的度量二面角的平面角以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分別作_棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.平面角是_的二面角叫作直二面角兩個半平面棱面垂直于直角3.平面與平面垂直(1)定義:兩個平面相交,如果所成的二面角是_,就說這兩個平面互相垂直.直二面角(2)定理 文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經過另一個平面的一條_,那么這兩個平面互相垂直.AB_性質定理如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于它們_的直線垂直于另一個平面.=MNAB_AB垂線AB交線ABMN于點B判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”).

26、(1)直線l與平面內的無數條直線都垂直,則l.()(2)若直線a平面,直線b,則直線a與b垂直.()(3)異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為(0, .()(4)二面角是指兩個相交平面構成的圖形.()(5)若兩個平面垂直,則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.()(6)若平面內的一條直線垂直于平面內的無數條直線,則.()【解析】(1)錯誤.直線l與平面內的無數條直線都垂直時,直線l與平面可平行,可相交,直線l也可在平面內.(2)正確.由b可得b平行于內的一條直線,設為b,因為a,所以ab,從而ab.(3)錯誤.異面直線所成角的范圍是(0, ,而二面角的范圍是0,.(4)錯誤.二面角

27、是從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.(5)錯誤.若平面平面,則平面內的直線l與可平行,可相交,也可在平面內.(6)錯誤.平面內的一條直線垂直于平面內的無數條直線,不能保證該直線垂直于此平面,故不能推出.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.設,為不重合的平面,m,n為不重合的直線,則下列命題正確的是()(A)若,=n,mn,則m(B)若m,n,mn,則n(C)若n,n,m,則m(D)若m,n,mn,則【解析】選C.C選項中,n,n,.又m,m.2.設a,b,c表示三條不同的直線,表示兩個不同的平面,則下列命題中不正確的是() 【解析】選D.由a,ba可得,b與的位置關系有:b,b

28、,b與相交,所以D不正確.3.直線a平面,b,則a與b的位置關系是.【解析】由b可得b平行于內的一條直線,設為b.因為a,所以ab,從而ab,但a與b可能相交,也可能異面.答案:垂直4.將正方形ABCD沿AC折成直二面角后,DAB=.【解析】如圖,取AC的中點O,連接DO,BO,則DOAC,BOAC,故DOB為二面角的平面角,從而DOB=90.設正方形邊長為1,則DO=BO= 所以DB=1,故ADB為等邊三角形,所以DAB=60.答案:60考向 1 直線與平面垂直的判定和性質 【典例1】(1)(2013海淀模擬)設l,m,n為三條不同的直,為兩個不同的平面,下列命題中正確的個數是()若l,m,

29、則lm;若m,n,lm,ln,則l;若lm,mn,l,則n;若lm,m,n,則ln.(A)1(B)2(C)3(D)4(2)(2013鷹潭模擬)如圖,三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,ABBC,DE垂直平分線段PC,且分別交AC,PC于D,E兩點,PB=BC,PA=AB.求證:PC平面BDE;若點Q是線段PA上任一點,判斷BD,DQ的位置關系,并證明你的結論.【思路點撥】(1)根據線面平行、面面平行及線面垂直的判定定理和性質定理逐個判斷.(2)利用線面垂直的判定定理證明;證明BD平面PAC即可.【規范解答】(1)選B.對于,直線l,m可能互相平行,不正確;對于,直線m,n可能是平行直線,此時不

30、能得l,不正確;對于,由“平行于同一條直線的兩條直線平行”與“若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面”得知,正確;對于,由lm,m得l,由n,得n,因此有ln,正確.綜上所述,其中命題正確的個數是2,故選B.(2)DE垂直平分線段PC,PB=PC,DEPC,BEPC,又BEDE=E,PC平面BDE.由得,PCBD.PA底面ABC,PABD.又PCPA=P,BD平面PAC,當點Q是線段PA上任一點時都有BDDQ.【互動探究】本例題(2)若改為“設Q是線段PA上任意一點,求證:平面BDQ平面PAC”,如何證明?【證明】由(2)的解法可知BD平面PAC.又BD平面BDQ,平面B

31、DQ平面PAC.【拓展提升】1.判定線面垂直的四種方法方法一:利用線面垂直的判定定理.方法二:利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”.方法三:利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則與另一個也垂直”.方法四:利用面面垂直的性質定理.2.線面垂直性質的重要應用當直線和平面垂直時,則直線與平面內的所有直線都垂直,給我們提供了證明空間兩線垂直的一種重要方法.【提醒】解題時一定要嚴格按照定理成立的條件規范書寫過程,如用判定定理證明線面垂直時,一定要體現出“平面中的兩條相交直線”這一條件.【變式備選】如圖,幾何體ABCDPE中,底面ABCD是邊長為4的正方形,PA平面ABCD,P

32、AEB,且PA=2BE= (1)證明:BD平面PEC.(2)若G為BC上的動點,求證:AEPG. 【證明】(1)連接AC交BD于點O,取PC的中點F,連接OF,EF,EBPA,且EB= PA,又OFPA,且OF= PA,EBOF,且EB=OF,四邊形EBOF為平行四邊形,EFBD.又EF平面PEC,BD平面PEC,BD平面PEC.(2)連接BP, EBA=BAP=90,EBABAP,PBA=BEA,PBA+BAE=BEA+BAE=90,PBAE.PA平面ABCD,PA平面APEB,平面ABCD平面APEB.BCAB,平面ABCD平面APEB=AB,BC平面APEB,BCAE.又BCPB=B,A

33、E平面PBC.G為BC上的動點,PG平面PBC,AEPG.考向 2 面面垂直的判定與性質【典例2】(2013惠州模擬)如圖所示,ABC為正三角形,CE平面ABC,BDCE,CE=CA=2BD,M是EA的中點.求證:(1)DE=DA.(2)平面BDM平面ECA.【思路點撥】(1)由于CE=2BD,故可考慮取CE的中點F,通過證明DEFADB來證明DE=DA.(2)證明面面垂直,應先證明線面垂直.【規范解答】(1)取CE的中點F,連接DF.CE平面ABC,CEBC.BDCE,BD= CE=CF=FE,四邊形FCBD是矩形,DFEC.又BA=BC=DF,RtDEFRtADB,DE=DA.(2)取AC

34、中點N,連接MN,NB,M是EA的中點,MN CE.由BD CE,且BD平面ABC,可得四邊形MNBD是矩形,于是DMMN.DE=DA,M是EA的中點,DMEA.又EAMN=M,DM平面ECA,而DM平面BDM,平面BDM平面ECA.【拓展提升】 1.面面垂直的兩個證明思路(1)用面面垂直的判定定理,即先證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線.(2)用面面垂直的定義,即證明兩個平面所成的二面角是直二面角,把證明面面垂直的問題轉化為證明平面角為直角的問題.2.面面垂直的性質應用技巧兩平面垂直,在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面.這是把面面垂直轉化為線面垂直的依據.運用時要注意“平面

35、內的直線”.【變式訓練】(2013寶雞模擬)如圖,矩形ABCD中,ABBC,E,F分別在線段BC和AD上,EFAB,將矩形ABEF沿EF折起,記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF平面ECDF.(1)求證:NC平面MFD.(2)若EC=CD,求證:NDFC.【證明】(1)因為四邊形MNEF,ECDF都是矩形,所以MNEFCD,MN=EF=CD.所以四邊形MNCD是平行四邊形,所以NCMD.因為NC平面MFD,MD平面MFD,所以NC平面MFD.(2)連接ED,因為平面MNEF平面ECDF,且NEEF,所以NE平面ECDF,所以FCNE.又EC=CD,四邊形ECDF為正方形,所以FCED.又N

36、EED=E,所以FC平面NED.又ND平面NED,所以NDFC.考向 3 垂直關系的綜合應用【典例3】如圖所示,M,N,K分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中點.求證:(1)AN平面A1MK.(2)平面A1B1C平面A1MK.【思路點撥】(1)要證線面平行,需證線線平行.(2)要證面面垂直,需證線面垂直. 【規范解答】(1)如圖所示,連接NK.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形AA1D1D,DD1C1C都為正方形,AA1DD1,AA1=DD1,C1D1CD,C1D1=CD.N,K分別為CD,C1D1的中點,DND1K,DN=D1K,四邊形DD1KN為平行

37、四邊形.KNDD1,KN=DD1,AA1KN,AA1=KN,四邊形AA1KN為平行四邊形,ANA1K.A1K平面A1MK,AN平面A1MK,AN平面A1MK.(2)連接BC1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,ABC1D1,AB=C1D1.M,K分別為AB,C1D1的中點,BMC1K,BM=C1K,四邊形BC1KM為平行四邊形,MKBC1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,A1B1BC1.MKBC1,A1B1MK.四邊形BB1C1C為正方形,BC1B1C.MKB1C.A1B1平面A1B1C,B1C平面A1B1C,A1B1B1C=B1,M

38、K平面A1B1C.又MK平面A1MK,平面A1B1C平面A1MK.【拓展提升】垂直關系綜合題的類型及解法(1)三種垂直的綜合問題,一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.(2)垂直與平行結合問題,求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用.(3)垂直與體積結合問題,在求體積時,可根據線面垂直得到表示高的線段,進而求得體積.【變式訓練】(2013唐山模擬)如圖,已知三棱錐A-BPC中,APPC,ACBC,M為AB的中點,D為PB的中點,且PMB為正三角形.(1)求證:DM平面APC.(2)求證:平面ABC平面APC.【證明】(1)M為AB中點,D為PB中點,DMAP.又DM平面APC

39、,AP平面APC,DM平面APC.(2)PMB為正三角形,且D為PB中點,DMPB.又由(1)知DMAP,APPB.又APPC,PBPC=P,AP平面PBC,APBC.又ACBC,APAC=A,BC平面APC.又BC平面ABC,平面ABC平面APC.【滿分指導】解決垂直關系綜合問題的規范解答【典例】(12分)(2012廣東高考)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中點,F是DC上的點且DF= AB,PH為PAD中AD邊上的高.(1)證明:PH平面ABCD.(2)若PH=1,AD= ,FC=1,求三棱錐E-BCF的體積.(3)證明:EF平面PAB.【

40、思路點撥】已知條件條件分析AB平面PADAB垂直平面PAD內的所有直線E是PB的中點三棱錐E-BCF的高為PH的一半E為PB的中點,DF AB可作出PA的中點G,利用三角形的中位線可得GE DF【規范解答】(1)由于AB平面PAD,PH平面PAD,故ABPH.1分又PH為PAD中AD邊上的高,故ADPH.2分ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,PH平面ABCD.4分（2）由于PH平面ABCD，E為PB的中點，PH=1，故E到平面ABCD的距離h= PH= .5分又因為ABCD，ABAD，所以ADCD，6分故 7分因此 8分（3）過E作EGAB交PA于G，連接DG.由于E為PB的中

41、點，G為PA的中點.AD=PD，故DPA為等腰三角形，DGAP.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG. 10分9分又ABPA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.11分又GE AB,DF AB,GE DF.四邊形DFEG為平行四邊形，故DGEF.EF平面PAB.12分【失分警示】(下文見規范解答過程)1.(2013宿州模擬)已知兩條不同的直線m,n,兩個不同的平面,則下列命題中的真命題是()(A)若m,n,則mn(B)若m,n,則mn(C)若m,n,則mn(D)若m,n,則mn【解析】選A.由m,可得m或m,又n,故mn,即A正確;如圖(1),m,n,但mn,故C錯;如圖(2)知B錯;如圖(3)正方體中,m,n,但m,n相交,故D錯.2.(2013上饒模擬)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段AC1上有兩個動點E,F,且EF= .給出下列四