1、第12章 扭轉(zhuǎn)與彎曲的幾個(gè)補(bǔ)充問題內(nèi)容提要矩形截面直桿的扭轉(zhuǎn)a變形特點(diǎn)觀測(cè)表明，矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面不再保持為平面而發(fā)生翹曲（圖12.1），因此圓周扭轉(zhuǎn)時(shí)的平面假設(shè)在此不再成立，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力、變形公式也不再適用。b扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力由切應(yīng)力互等定理可知，截面周邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力一定沿著周邊切線方向，而在截面的角點(diǎn)處，切應(yīng)力為零。橫截面上切應(yīng)力分布如圖12.2所示。c應(yīng)力和變形的計(jì)算最大切應(yīng)力發(fā)生于橫截面長邊的中點(diǎn)處，其值為 （12.1）稱為矩形截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)。橫截面短邊上最大切應(yīng)力為 （12.2）桿件上相距為的兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 （12.3）稱為矩形截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩。以上各式中的系數(shù)、和矩

2、形截面的長邊與短邊的比值有關(guān)，其數(shù)值已列入教材表12.1中。當(dāng)10時(shí)，截面成狹長矩形。這時(shí)。如以狹長矩形的短邊長度，則和分別為，（12.4）2薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)開口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)由圖12.4所示，開口薄壁截面可以看成若干狹長的矩形所組成的組合截面，則截面扭轉(zhuǎn)慣性矩為（12.5）組合截面的最大切應(yīng)力將發(fā)生在壁最厚的矩形的長邊上，其值為（12.6）對(duì)于各種型鋼，由于圓角及壁厚不均勻的影響，還要給予修正，其修正公式為閉合薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)其橫截面上任意一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式為（12.7）式中為薄壁中線所圍成的面積，為該點(diǎn)處的壁厚。由于壁厚沿中線是變化的，則最大切應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在壁厚最薄處，即（12.

3、8）閉合薄壁桿件上相距為的兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 （12.9）若桿件的壁厚不變，上式化為（12.10）3非對(duì)稱彎曲非對(duì)稱彎曲主要討論梁無縱向?qū)ΨQ面，或雖然有縱向?qū)ΨQ面，但載荷并不在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的情況。如圖所示，以梁的軸線為軸，橫截面上通過形心的任意兩根相互垂直的軸為和軸。設(shè)純彎曲力偶矩在平面內(nèi)，并將其記為。對(duì)當(dāng)前討論的純彎曲問題，仍采用3.8中提出的兩各假設(shè)，即平面假設(shè)；縱向纖維間無正應(yīng)力。從而可推得在平面內(nèi)作用純彎曲力偶矩時(shí)，橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為 （12.12）同理可得在平面內(nèi)作用純彎曲力偶矩時(shí)，橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為 （12.13）對(duì)于一般性問題，即在包含桿件軸線得任意縱向平面內(nèi)，作用一

4、對(duì)純彎曲力偶。這時(shí)可把作用于桿件兩端的彎曲力偶分解成分別在和平面內(nèi)的力偶矩和，然后將兩者作用的結(jié)果疊加，即 （12.14）另式（12.13）左端為零，不難得到中性軸與軸的夾角為 （12.15）討論兩種特殊情況： 若只在平面內(nèi)作用純彎曲力偶矩，且平面為形心主慣性平面，即、軸為截面的形心主慣性軸，則因，公式（12.13）化為 （12.16）而且，由式（12.15）可得出，故中性軸與軸重合，彎曲為平面彎曲。 若和同時(shí)存在，且它們的作用平面和皆為形心主慣性平面，即、軸為截面的形心主慣性軸，則因，公式（12.14）化為 （12.17） （12.18）4開口薄壁桿件的彎曲切應(yīng)力彎曲中心若橫向力作用平面不是

5、縱向?qū)ΨQ面，即使是形心主慣性平面，如圖12.10a所示，桿件除彎曲變形外，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。只有當(dāng)橫向力通過截面的某一特定點(diǎn)時(shí)，桿件才只有彎曲變形而無扭轉(zhuǎn)變形（圖12.10b）。橫截面內(nèi)這一特定點(diǎn)被稱為彎曲中心或剪切中心，簡稱為彎心。當(dāng)外力通過彎曲中心且平行于截面的形心主慣性軸時(shí)，可得彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式為為了確定的作用線的位置，可選定截面內(nèi)任意點(diǎn)作為力矩中心（圖12.11b），由合力矩定理可得（12.19）式中是對(duì)點(diǎn)的力臂；是微內(nèi)力對(duì)點(diǎn)的力臂。從上式中解出，就確定了作用線的位置。當(dāng)外力通過彎曲中心且平行于截面的形心主慣性軸時(shí)，可得彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式為同樣可得到確定的作用線的位置的公式為 （

6、12.20）因?yàn)楹投纪ㄟ^彎曲中心，兩者的交點(diǎn)就是彎曲中心。5用有限差分法計(jì)算彎曲變形有限差分法是一種數(shù)值方法，它把求解微分方程的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程組，非常適合利用計(jì)算機(jī)求解。如圖12.12所示，將撓曲線表示為的連續(xù)函數(shù)。取橫坐標(biāo)分別為，,的諸點(diǎn)，各點(diǎn)間距均為，這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別記為，則撓曲線的有限差分方程為 （12.21）式中和分別指梁在處的彎矩和彎曲剛度。若在撓曲線上選定一系列點(diǎn)，然后對(duì)每一點(diǎn)都按公式（12.21）寫出一個(gè)有限差分方程，這樣就得到一組代數(shù)方程，其未知量就是所選各點(diǎn)的撓度。解這一組代數(shù)方程，即可求出所選各點(diǎn)的撓度。6組合梁與夾層梁組合梁或夾層梁是指由兩種不同材料制成的組合梁

7、。當(dāng)組合梁的各組成材料之間牢固連接而無相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，可將組合梁看作一個(gè)整體梁。設(shè)圖示組合梁的材料1和材料2的彈性模量分別為和，相應(yīng)的橫截面面積分別為和，若在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用著一對(duì)力偶矩使梁發(fā)生純彎曲。由于平面假設(shè)和縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)仍然成立，則截面1和截面2上的彎曲正應(yīng)力分別為，（12.24）解此類問題的另一種方法為變換截面法，即將兩種材料構(gòu)成的截面，變換單一材料的等效截面，然后按單一材料梁的方法進(jìn)行分析。首先，令，（12.25）式中稱為模量比。則截面1和截面2上的彎曲正應(yīng)力分別為，（12.27）夾層梁一般由薄面板與厚芯材所組成，它也是組合梁，其計(jì)算可按公式（12.25）進(jìn)行。但對(duì)于面板

8、材料強(qiáng)度和彈性模量大大高于芯板的強(qiáng)度和彈性模量時(shí)，工程中常采用如下簡化公式進(jìn)行計(jì)算，即假設(shè)彎矩完全由面板承受，最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在面板橫截面上，計(jì)算公式為 （12.28）式中表示面板橫截面對(duì)軸的慣性矩。假設(shè)剪力完全由芯板承受，并認(rèn)為彎曲切應(yīng)力沿芯材截面均勻分布，則得芯材的為彎曲切應(yīng)力為（12.29）以上簡化理論在工程中得到廣泛應(yīng)用。二、基本要求 1了解非圓截面桿扭轉(zhuǎn)、非對(duì)稱彎曲及開口薄壁桿件的彎曲中心概念2掌握矩形截面、薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算，掌握非對(duì)稱彎曲正應(yīng)力計(jì)算。3初步掌握用有限差分法求彎曲變形。三、典型例題分析例題12.1 (習(xí)題12.5) 某火箭炮平衡機(jī)的扭桿是用六片截面尺寸為75m

9、m12mm的鋼板疊在一起而組成的，受扭部分的長度為1084mm。已知材料的許用切應(yīng)力，扭桿的最大扭轉(zhuǎn)角為，校核扭桿的強(qiáng)度。解：扭桿的每一片都可以看作是獨(dú)立的桿件，其所承受的扭矩為。由截面尺寸求得：由表12.1可查得，則可得由公式（12.3）為扭桿每一片上所承受得扭矩，由上式可得由公式（12.1）可求出扭桿每一片上的最大切應(yīng)力為超過許用切應(yīng)力3%，工程中仍可使用。例題12.2 (習(xí)題12.8)圖示為矩形和正方形截面薄壁桿，若截面中心線長度、壁厚、桿長、材料以及作用在桿端的扭轉(zhuǎn)力偶均相同，試求兩桿切應(yīng)力之比及單位長度扭轉(zhuǎn)角之比。解：由已知條件，則有 或 由式（12.7）和式（12.10）可知，矩形

10、截面和方形截面上的切應(yīng)力之比為由式（12.10）可知，矩形截面和方形截面上的單位長度扭轉(zhuǎn)角之比為例題12.3 (習(xí)題12.13)圖示變截面簡支梁在均布載荷的作用下，將梁分成四個(gè)相等間隔，用有限差分法求跨度中點(diǎn)的撓度。解：將梁分成四個(gè)相等的間隔（圖b），由于對(duì)稱，。點(diǎn)1處，其有限差分方程（12.21）成為因?yàn)榱憾颂帲鲜龇匠毯喕癁?(a)點(diǎn)1處，其有限差分方程（12.21）成為因?yàn)椋瑒t方程簡化為 (b)式(a)和式(b)相加可得例題12.4 (習(xí)題12.14)圖示錐形懸臂梁，截面為矩形，寬度常數(shù)，高度，彈性模量為。將梁分成三個(gè)相等的間隔，用有限差分法求自由端的撓度。解：將梁分成三個(gè)相等的間隔，0點(diǎn)、1點(diǎn)和2點(diǎn)處的彎矩分別為 ， ，對(duì)應(yīng)梁上0點(diǎn)、1點(diǎn)、2點(diǎn)和3點(diǎn)處橫截面的高度為 ， ， ，上述各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的截面慣性矩為現(xiàn)有已知條件僅可列出兩個(gè)差分方程，但方程中卻有三個(gè)未知撓度，因此需要補(bǔ)充一個(gè)方程。為此從梁的固定端向梁的相反方向延伸一個(gè)“虛擬”點(diǎn)的撓度。由對(duì)稱性可知：。因此，0點(diǎn)、1點(diǎn)和2點(diǎn)處的有限差分方程為 (a) (b) (c)聯(lián)立(a)、(b)、(c)三式，并注意到，可得 ， ，梁自由端的撓度即為（原教材答案誤為）例題12.5 (習(xí)題12.16)承受均布載荷的簡支梁，跨長，由木材與加強(qiáng)鋼板組成，橫截面如圖所示。已知載荷集度，鋼板與木