1、基于 MINITAB 的現代實用統計網上資源第 14 章時間序列光滑方法14.1 移動平均光滑法例 14-1 就業數據分析。收集了 60 個月內就業數據，其中包含貿易行業、食品行業及金屬行業的就業人數，現在希望分析金屬行業就業人數的變化規律。數據見表 14-W1（數據文件為：TS_就業.MTW）。表 14-W1就業人數數據14.2 單參數指數移動平均14.2.1 移動平均權的分析移動平均的權重取法除了上述最簡單的均勻權外，還有別的類型權重。圖 14-7 顯示的是以等比級數為權重的情況。兩張圖內的公比分別為 0.5(二分之一)及 0.33333(三分之一)為權重的移動平均權圖。這里特別重視本身的

2、值，其前方的權重以幾何級數的速度急劇下降，1貿易食品金屬貿易食品金屬貿易食品金屬132253.544.22133569.343.24136253.947.5231753.044.32233858.542.84236757.148.3331953.244.42334255.343.04336664.748.3432352.543.42434853.642.84437069.449.1532753.442.82533052.342.54537170.348.9632856.544.32632651.542.64637562.649.4732565.344.42732951.742.34738057

3、.950.0832670.744.82833751.542.94838555.850.0933066.944.42934552.243.64936154.849.61033458.243.13035057.144.75035454.249.91133755.342.63135163.644.55135754.649.61234153.442.43235468.845.05236754.350.71332252.142.23335568.944.85337654.850.71431851.541.83435760.144.95438158.150.91532051.540.13536255.64

4、5.25538168.150.51632652.442.03636853.945.25638373.351.21733253.342.43734853.345.05738475.550.71833455.543.13834553.145.55838766.450.31933564.242.43934953.546.25939260.549.22033669.643.14035553.546.86039657.748.1比值越小時下降越快。圖 14-7 等比級數移動平均的權重圖將等比級數移動平均權重概念再進行推廣，就可以得到一般的單參數指數移動權。14.2.2 單參數指數移動平均概念單參數指數平

5、滑法指的就是通過計算指數平均平滑給定的數據，并產生短期。這個程序通常只是適合于沒有季節性趨勢的數據。等學習了第 15 章 ARIMA 模型后，讀者就會更深入地理解到，這里的單參數指數移動平均其實就等價于 ARIMA 模型的一個特例，即 ARIMA(0,1,1) 。單參數指數平滑法最基本的一個遞推公式是這樣的:Ln Yn (1- )Ln-1(14-4)其中，Yt 是原來給定的時間序列，Ln 是平滑后的序列值，0 1 是一個給定的常數。要對公式（14-4）有更深入的了解：此式是從 n =1 算起的，下面將所有的式子都列出來，那就是：L1 Y1 (1- )L0 L2 Y2 (1- )L1 L3 Y3

6、 (1- )L2.Ln2 Yn2 (1- )Ln-3 Ln1 Yn1 (1- )Ln-2 Ln Yn (1- )Ln-1將（14-5）式中倒數第二行代入最后一行，（14-5）下式：Ln Yn (1- )Ln-1 Yn (1- )(Yn1 (1- )Ln-2 ) Yn (1- )Yn1 (1- )2 Ln-2（14-6）2概率概率分布圖離散, 值=z, 概率=e0.50.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0-7-6-5-4-3-2-10X分布圖離散, 值=z, 概率=e0.33 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -7-6-5-4-

7、3-2-10X比值為 0.5 的等比級數移動平均權比值為 0.3333 的等比級數權移動平均權再將（14-5）式中倒數第三行代入（14-6）式中最后一行，,依此類推不入，最后將得到下面（14-7）式:Ln Yn (1- )Yn1 (1- )2 Yn2 (1- )3 Yn3. (1- )n1Y1 (1- )n L0(14-7)看得出來，上式所提供的權是一個以 為首項，以1 為公比的等比級數。當（14-7）中 = 0.5 時，其的系數就如圖（14-7）中左圖的權一樣。下面繪制 = 0.1 及 =0.2 兩種情況的權重圖（見圖 14-8）：圖 14-8 指數權的權重圖從圖 14-8 中可以看出， 越

8、小，公比1 越大，權重降落的速度越慢（如左半部 =0.1 時權重的降落比右半部 = 0.2 權重的降落就慢很多），也就是實際參加光滑的項數越多，自然會使光滑的效果越顯著。反之， 越大，公比1 越小，則權重降落的速度越快，實際參加光滑的項數越少，光滑的效果就差些，保真的效果就更好些。如何選取 之值？按統計學家的建議，通常取 = 0.2 效果會比較好，它將兼顧到光滑與保真。當然，實際情況會很復雜，可以先用 = 0.2 試驗一下，如果需要更加光滑時，可將 再調小些；如果需要更加保真時，可將 再調大些。對于（14-7）中的 L0 之估計方法也有很多種，它通常代表整個序列的平均值，在 MINITAB中，

9、使用最開始的 6 個觀測值平均而得到。14.2.3 單參數指數移動平均的計算例 14-2 （續例 14-1）對于收集到的 60 個月金屬行業就業人數的數據，希望用單參數指數權光滑的方法得到金屬行業就業人數的變化規律。數據見表 14-W1（數據文件為：TS_就業.MTW）。3概率概率分布圖離散, 值=z, 概率=e0.20.40.30.20.10.0-40-30-20-100X = 0.1 指數權的權重圖 = 0.2 指數權的權重圖分布圖離散, 值=z, 概率=e0.10.40.30.20.10.0-40-30-20-100X例 14-3商業的零售指數。這里收集到自 1953 年到 1970 年

10、的 18 年中每月平均，列表如下（數據見表 14-W2），數據文件為：TS_商業.MTW。希望物價零售指數分析零售指數的變化規律。表 14-W2商業的零售指數數據表14.3 雙參數指數移動平均14.3.1 雙參數指數平滑概念當數據沒有季節周期趨勢，但有某種線性或非線性趨勢時，可以先假設時間序列有下列線性趨勢：Yt 0 1t t（14-6）可以用此趨勢為基礎來進行平滑化，使規律性更加突出。如果假定（14-8）中參數 0 和 1 都是不隨時間變化的，此時可以用回歸分析直接得到 yt 的變化趨勢，估計截距 0 和斜率 1 時可以用等權重來對待各觀測值的。但當參數 041234567891011121

11、95392.892.492.692.792.993.393.593.793.994.093.793.6195493.993.793.693.493.793.893.993.793.593.393.493.1195593.193.193.193.193.193.293.593.393.693.693.793.5195693.493.493.593.694.094.795.395.295.495.996.096.2195796.396.796.997.297.598.098.498.698.798.799.199.1195899.799.8100.5100.6100.7100.8101.0100.

12、8100.8100.8101.0100.81959100.9100.8100.8101.0101.0101.5101.8101.7102.0102.3102.4102.31960102.2102.4102.4102.8102.9103.1103.2103.2103.3103.7103.7103.81961103.8103.9103.9103.9103.8104.0104.4104.3104.6104.6104.6104.51962104.5104.8105.0105.2105.2105.3105.5105.5106.1106.0106.0105.81963106.0106.1106.2106.

13、2106.6107.1107.1107.1107.1107.2107.4106.61964107.7107.6107.7107.8107.8108.0108.3108.2108.4108.5108.7108.81965108.9108.9109.0109.3109.6110.1110.2110.0110.2110.4110.6111.01966111.0110.6112.0112.5112.6112.9113.3113.8114.1114.5114.6114.71967114.7114.8115.0115.3115.6116.0116.5116.9117.1117.5117.8118.2196

14、8118.6119.0119.5119.9120.3120.9121.5121.9122.2122.9123.4123.71969124.1124.6125.6126.4126.8127.6128.2128.7129.3129.8130.5131.31970131.8132.5133.2134.0134.6135.2135.7136.0136.6137.4137.8138.5和 1 的值是隨時間緩慢變化時，也就是說趨勢本身并不精確地為直線趨勢時，各數據都采用等權重就不恰當了。這種情況下，可參數指數平滑分析使用“逐漸降低的指數權”這樣的不等權重來處理時間序列的觀測值并對時間序列進行就會好得多了。

15、假設在時刻t -1計算模型參數截距 0 和斜率 1 的估計為 Lt 1 和Tt 1 。另外還假設在時刻t 有一新的觀測值Yt ,希望用這個觀測值更新參數 0 和 1 的估計。雙指數平滑在每一個周期使用了一個水平（位置值）和一個趨勢（斜率值）。可以用兩個常數權重，或稱平滑參數 及 ，來更新每個周期的位置和斜率。雙指數平滑公式為：Lt Yt (1- ) Lt -1 Tt -1 （14-9）Tt Lt - Lt -1 (1- )Tt -1（14-10）Y L T（14-11）tt -1t -1其中 Lt 是時刻t 的水平位置，也是時刻t的平滑值， 是水平位置的權； Tt 是時刻t 的趨勢， 是趨勢的

16、權， Yt 是時刻t 的數據值， Yt 是時刻t的擬合值，也就是“向前一步”（t-1時刻）對t時刻的值。這里， 是水平位置的權，通常應該在0和1之間，其用途是做出的 0 的估計。對于平滑參數 及 如何確定，可以有兩種方法。一種是讓計算機自動提供一些最優權重，MINITAB 就是用 ARIMA 模型（最優綜合自回歸移動平均(Optimal ARIMA)）計算出來的。如果你對于權重有自己的見解則可以自行指定：但水平平滑參數 應取在 0 到 2 之間，趨勢 平滑參數應取在 0 到 4 2 之間。通常及 兩個平滑參數值都在 0 和 1 之間。一般地說， 及 取值較大，則導致光滑權重更快地降低，因而參加

17、滑動平均的序列越短、數據量越少，保真效果越好； 及 取值較小，則導致光滑權重更慢地降低，因而參加滑動平均的序列越長、數據量越多，光滑效果越好。14.3.2 雙參數指數移動平均的計算例 14-4（續例 14-3）商業的零售指數，數據見表 14-W2，數據文件為：TS_美國商業.MTW。希望分析零售指數的變化規律。514.4Wers 方法14.4.1 Wers 方法的原理Wers 方法是處理含有季節性的數據的平滑方法，分為乘法及加法兩種模型。下面分別加以敘述。14.4.1.1 乘法的 Wers 方法Wers 方法是一種用于解決含有季節性的數據的平滑方法。盡管這種方法不是基于以前的統計模型，但是乘法

18、 Wers 方法其主要出發點是假定了可以使用下面等式描述的時間序列的Yt (0 1t) St t（14-7）其中時間序列參數可能隨時間緩慢變化，這里 St 是個季節模式變量。注意到這里假設了一個緩慢變化的線性趨勢和一個假設表現增長的（乘法的）季節變量的緩慢變化的季節模式。Wers 方法在每個周期用一個水平，一個趨勢和一個季節。 它用三個權重，或稱為平滑參數，更新每個周期的。水平和趨勢的的初始值由時間的線性回歸得到。Wers 乘法模型平滑等式為：乘法模型：Lt (Yt / St p ) (1- ) Lt -1Tt -1 （14-13）Tt Lt - Lt -1 (1- )Tt -1（14-14）

19、St (Yt / Lt ) (1- )St p（14-15）Y (L T )S（14-16）tt -1t -1t p是時刻t 的水平, 是水平的權重；其中， Lt是時刻t 的趨勢, 是趨勢的權重；Tt是時刻t 的季節成分, 是季節成分的權重；是季節性的周期；StpYt是時刻t 的值 ；Y 是時刻t 的擬合值，或向前一時刻（t-1）的估計值。t6水平成分和趨勢成分的初始值由時間的線性回歸獲得；季節成分的初始值由去除趨勢的數據回歸獲得。乘法 Wers 模型可用于具有下面特點的數據： 數據有或沒有趨勢；有季節形式；季節形式的大小或固定或與數據成比例；只進行 短期或中期的。14.4.1.2 加法的 Wers 方法如果數據中的季節形式的大小與數據大小幾乎無關，則可以使用更簡單的 Wers 加法模型。下面給出