1、自然界的多種群模型分析小組成員：楊宏志09053055曾云霖09053057趙恒宇09053060目錄摘要關(guān)鍵詞問題重述符號說明基本假設(shè)問題分析正文總結(jié)與思考參考文獻(xiàn)第3頁第3頁第3頁第4頁第4頁第4頁第5頁第12頁第13頁（注：正文中包括對模型的建立，模型的具體檢驗，模型的改進(jìn)，改進(jìn)模型的檢驗以及問題的擴(kuò)展深化。自然界的多種群模型分析摘要：在我們生活的大自然中，有著太多太多的秩序和規(guī)則。種群之間的你爭我斗，弱肉強食也是非常激烈。種群，顧名思義就是指同一種生物的一個集合。不同種群之間的關(guān)系大致分為四種：捕食與被捕食關(guān)系，互利共生關(guān)系，相互競爭關(guān)系和寄生與寄主關(guān)系。我們這次的建模就是圍繞著種群之

2、間的關(guān)系來展開的，下面我將從這幾個方面來進(jìn)行分類討論，由于寄生與寄主的關(guān)系不是很常見，關(guān)系也比較簡單，在此便不再贅述。捕食與被捕食關(guān)系：這種關(guān)系很簡單，大家也能很容易地理解，通俗地解釋，就是指一種生物以另一種生物為食，舉個例子大家也許會更容易地理解。比如說狼和羊的關(guān)系，狼是捕食者，羊是被捕食者，狼以羊為食，是羊的天敵。互利共生關(guān)系：指兩種生物共同生活在一個區(qū)域有助于提高另一種生物的種群密度，假如其中一種生物的數(shù)量減少，也會影響另一種生物的數(shù)量，使其數(shù)量減少。比如草地和森林優(yōu)勢植物的根多與真菌共生形成菌根，多數(shù)有花植物依賴?yán)ハx傳粉，大部分動物的消化道也包含著微生物群落，最典型的就是大豆與根瘤菌。

3、大豆給根瘤菌提供養(yǎng)分，根瘤菌給大豆提供氮元素。相互競爭關(guān)系：有種內(nèi)和種間兩種競爭方式。這里是指兩種共居一起，為爭奪有限的營養(yǎng)、空間和其他共同需要而發(fā)生斗爭的種間關(guān)系。競爭的結(jié)果，或?qū)Ω偁庪p方都有抑制作用，大多數(shù)的情況是對一方有利，另一方被淘汰，一方替代另一方。舉個例子，牛和羊生活在共同的一片草地上，因為這兩種生物都以草為食，它們之間不存在其他關(guān)系，所以它們之間是競爭關(guān)系。以上就是三種種群之間的關(guān)系，下面我們就從這三個方面對物種種群密度的變化進(jìn)行分析。在以下的討論中我們將建立微分方程的數(shù)學(xué)模型，對生物多種群之間各種關(guān)系進(jìn)行關(guān)鍵詞：生物種群，數(shù)量，關(guān)系，互相作用，競爭問題重述：生物學(xué)的研究對維持地

4、球生態(tài)平衡有著不可替代的作用，是可持續(xù)發(fā)展的重要組成部分！地球上的物種一直只在減少，現(xiàn)在也有很多物種瀕臨滅絕，因此對生物學(xué)的研究是十分迫切的，也是意義重大的！我們可以通過建立數(shù)學(xué)模型來來研究生物種群的數(shù)量變化規(guī)律!多種群模型研究在同一環(huán)境中兩種或兩種以上的生物種群數(shù)量的變化規(guī)律。在自然界中，各種生物根據(jù)其生理特點、食物來源等分成了不同的層次，各層次之間及同一層次上的種群有著各種各樣的聯(lián)系。而且在同一自然環(huán)境中，經(jīng)常有多種生物共存，對相互影響非常大的生物種群，我們無法割裂開來單獨討論，故必須弄清楚它們之間的相互關(guān)系，一起進(jìn)行研究，這就導(dǎo)出了多種群的模型！在多種群模型中兩種群是比較簡單但也十分重要

5、的！本論文將通過建立數(shù)學(xué)模型來研究兩物種之間的競爭、互利共生、捕食這三種關(guān)系！從而來解釋為什么在戰(zhàn)爭期間捕魚的總數(shù)減少而掠肉魚的比例卻會上升這一現(xiàn)象！最后將推廣到三種群的模型，研究更復(fù)雜的問題！符號說明：t:時間x:甲物種種群數(shù)量y：乙物種種群數(shù)量f1(x)：甲種群的發(fā)展規(guī)律所導(dǎo)出的自身的相對增長率g2(y)：乙種群的發(fā)展規(guī)律所導(dǎo)出的自身的相對增長率g1(y)：表示乙種群對甲種群的影響f2(x)：表示甲種群對乙種群的影響a2：乙種群的內(nèi)稟增長率a1：甲種群的內(nèi)稟增長率c1：乙種群對甲種群的影響c2：甲種群對乙種群的影響基本假設(shè)：因為種群的基數(shù)很大，所以一個種群的數(shù)量變化可以視為時間t的連續(xù)變換

6、，而非離散的；其中一個任一種群，在單獨，不受其他種群影響的條件下是滿足logistic模型的；外界環(huán)境是很美好的，各研究對象除受彼此影響外，是不受自然環(huán)境約束的；假設(shè)種群關(guān)于種內(nèi)和種間關(guān)系的函數(shù)是線性的，這是伏特拉模型的基礎(chǔ)；在競爭關(guān)系中，甲種群消耗同種自然資源會對乙種群有阻滯作用；在捕食關(guān)系中，捕食者只以被捕食者為食，被捕食者滅絕后，捕食者將無法單獨存活；問題分析：在自然界中，種群之間的競爭是必不可少的，那么種群之間的關(guān)系是怎樣的呢？現(xiàn)在就來分析一下。對于捕食與被捕食關(guān)系，當(dāng)然是捕食者會不停地捕食被捕食者，直到將被捕食者全部捕食完。但是，被捕食者一旦滅絕，捕食者也會因為沒有食物來源而滅絕。對

7、于競爭關(guān)系，因為這兩個種群的食物來源是相同的，它們會競爭同一種食物或是生存條件。當(dāng)然，弱的一方也就會因為失去生存的條件而滅絕，而生存F來的一方不但不會因為一方的滅絕而滅絕，其種群數(shù)量還會越來越多對于互利共生關(guān)系，兩種群生活在一起，可以互相為之提供必需的生存資源，所以其二者的種群數(shù)量會一直保持在一個穩(wěn)定的狀態(tài)，不會迅猛的增長，也不會突然地滅絕。模型建立：多種群模型是研究在同一環(huán)境中兩種或兩種以上的生物種群數(shù)量的變化規(guī)律的模型。在同一自然環(huán)境中，多種生物之間是有密切的關(guān)系的。大致可分為這幾種關(guān)系：捕食與被捕食關(guān)系，互利共生關(guān)系，相互競爭關(guān)系，當(dāng)然我們在摘要中也曾提到過。我們小組首先兩種群模型進(jìn)行建

8、模，再以此為基礎(chǔ)對多種群模型進(jìn)行更加深入的探討。設(shè)t時刻，甲乙兩種群的數(shù)量為x(t),y(t)。甲乙兩種群相對于自身的增長率為工位和工電xdtydt由于之前已經(jīng)假設(shè)單個種群的增長只與另一個種群有關(guān)，不存在任何的客觀環(huán)境條件來阻礙該種群的數(shù)量增長。下面我們給出甲乙兩種群的增長模型：1dxx出1dyydtfi(x)gi(y)f2(x)g2(y)其中fi(x)和g2(y)分別表示甲乙兩種群各自的發(fā)展規(guī)律所導(dǎo)出的自身的相對增長率；gi(y)和f2(x)分別表示另一種群對這一種群的影響，這四個函數(shù)需要根據(jù)具體對象和環(huán)境確定。假設(shè)：fi(x)=aigi(y)=Gyf2(x)=a2xg2(y)=a2(aic

9、iy)x(a2C2x)ydxdtdydt這是根據(jù)假設(shè)建立的兩種群關(guān)系的微分方程模型，其中ai,a2是甲乙種群的內(nèi)稟增長率，由食物來源決定；G,C2反映的是兩種群的相互作用。下面我們將根據(jù)所建立的模型討論捕食關(guān)系的兩種群。捕食關(guān)系的兩種群：設(shè)：甲種群為兔子x(t),乙種群為狼y。根據(jù)假設(shè)，狼只以兔子為食，兔子滅絕后，狼將無法生存。所以有：a10因為狼對兔子的增長有抑制作用：c10a20兔子對狼的增長有促進(jìn)作用：c20我們令：a11,a20.5,c10.1,c20.02所以模型變?yōu)椋篸xx(10.1y)dtdyy(0.50.02x)dt下面我們編寫程序，檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性。子程序：functiond

10、x=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.6+0.01*x(1)主程序:ts=0:0.1:20;x0=25,2;t,x=ode45(shierplot(t,x),grid,gtext(,ts,x0);t,x,x(t),gtext(y(t),結(jié)果顯示:!八I11I1!n*L.一.vV則：i;riL_1,/IIi7：!r-/iVLJjL1TL-7i200150100500245810141616200結(jié)果分析:由顯示的圖形結(jié)果可知：兔子和狼的數(shù)量是周期性的震蕩模型，一方面，兔子數(shù)量的增長促進(jìn)了下一時間狼的數(shù)量的增

11、長，而狼的增長反過來又使得下一時間段的兔子數(shù)量減少。呈現(xiàn)出周期的震蕩，這與捕食關(guān)系的特點是大致符合的。但是現(xiàn)實生活中，兔子和狼的數(shù)量并不會一直是震蕩的，它們最后都將趨于一個穩(wěn)定的狀態(tài)所以這個模型有待改進(jìn)!模型的改進(jìn)：在上述的模型中，我們只討論了自稟增長和種群間的影響。卻忽略了種群自身競爭關(guān)系的影響。現(xiàn)實生活中，一個種群的發(fā)展也是會受到自身數(shù)量的影響的，主要表現(xiàn)為種內(nèi)競爭。以兔子為例，兔子的數(shù)量越多，內(nèi)部競爭往往更激烈，然后會對兔子的數(shù)量增長起反作用。綜合以上討論，我們在前面的模型中加入了bb2y項。模型變換為：dxx(a1b1xc(y)dtdyy(a2b2yc2x)dt然后對改進(jìn)的模型進(jìn)行檢驗

12、：我們令ai1島0.5,G0.1,C20.017bi0.03,b20.02子程序functionxdot=sh(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.017;t=0.03;h=0.02;xdot=(r-t*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d-h*x(2)+b*x(1).*x(2);主程序：ts=0:0.1:50;x0=25,2;t,x=ode45(sh,ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid結(jié)果顯示如下:252015IC50(1rLL一LI卜一kxI二/1IV一

13、J-II)5101520253035404550改進(jìn)后的模型結(jié)果顯示：兔子和狼的增長先是大幅的震蕩，但是隨著時間的推移，兩種群最終將趨于小幅度的平緩震蕩，這與實際是吻合比改進(jìn)前的模型要好，更加貼近于實際。由兩種群的捕食模型，我們知道，捕食關(guān)系的兩個種群是平緩的震蕩的關(guān)系競爭關(guān)系模型：我們假設(shè)，甲種群是老鼠x(t),乙種群是兔子y(t)根據(jù)先前的假設(shè)：老鼠和兔子是競爭關(guān)系的兩種群，其中一種群的增長必定會阻礙另一種群數(shù)量的增長所以有:兔子對老鼠的增長有抑制作用，所以c10a2老鼠對兔子的生長有抑制作用，所以c20b10b2競爭關(guān)系的模型是:dxdtdydtx(a1bixGy)b2yC2X)a11,

14、a20.9,C|0.1,c202bl0.03,b20.01編寫程序:子程序：functionxdot=s(t,x)r=1;d=0.9;a=0.1;b=0.2;t=0.03;h=0.01xdot=Kr-t*x(1)-a*x(2).*x(1);(d-h*x(2)-b*x(1).*x(2);主程序ts=0:0.1:15;x0=25,30;t,x=ode45(s,ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid演示結(jié)果:結(jié)果分析：模型結(jié)果顯示，具有競爭關(guān)系的兩物種（如老鼠和兔子），在資源有限的條件

15、下,一種物種（老鼠）的興盛，必定會使得與其競爭的另一物種（兔子）的衰弱，時間較長后，競爭力弱的種群必定走向滅亡，如圖示的一條曲線最后趨于00這與實際也是很吻合的，所以該模型也很好的解釋了競爭關(guān)系的兩種群關(guān)系。互利共生關(guān)系模型：具有互利共生關(guān)系的兩種群會相互促進(jìn)彼此的數(shù)量的增長我們假設(shè)：甲種群為大豆x（t）,乙種群為根瘤菌y。所以有：ai0大豆為根瘤菌提供養(yǎng)料，促進(jìn)增長ci0a20根瘤菌為大豆提供氮素，促進(jìn)增長c20bi0b0模型為：dxx(abixGy)dtdy丫b2yC2X)dt模型的檢驗，編寫程序：令初值系數(shù)為：a11,a209cl0.1,c202bl0.03,b20.02程序如下：子程序

16、functionxdot=shi(t,x)r=1;d=0.9;a=0.1;b=0.2;t=0.03;h=0.02xdot=(r-t*x(1)+a*x(2).*x(1);(d-h*x(2)+b*x(1).*x(2);主程序ts=0:0.1:5;x0=25,20;t,x=ode45(shi,ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid模型演示結(jié)果:120010008006004002000(11r丁.一:i/)/i*t/1/一r二I二一二/730.060.10.150.2026030.35

17、結(jié)果分析：如圖形結(jié)果所示，大豆和根瘤菌起到了彼此相互促進(jìn)的作用，大豆的增長促進(jìn)了根瘤菌數(shù)量的增長，而根瘤菌的增長也反過來促進(jìn)了大豆數(shù)量的增加。這與實際的互利共生的兩物種的情況也很吻合，所以該模型是試用于具有互利共生關(guān)系兩種群的。模型的推廣：三個種群間相互作用規(guī)律的研究：以植物、食草動物、食肉動物為例。設(shè)植物、食草動物、食肉動物的數(shù)量分別為不考慮自然資源對植物的限制。dxdtdx(2)dtdxdt得三種群數(shù)量變化率的微分方程為:x(1)(a1b1x(1)c1x(2)x(2)(a2b2x(1)c2x(2)d2x(3)x(3)(a3c3x(2)d3x(3)其中各系數(shù)為：al1,a203a30.4;b

18、l0.03,b20.05,b30;cl0.1,c20.02,c30.06;di0,d20.02,d30.01.該微分方程沒有解析解，可用Matlab求微分方程的數(shù)值解。編輯程序如下:functiondx=hc(t,x)dx=zeros(3,1);dx(1)=x(1)*(1-0.03*x(1)-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.3-0.02*x(2)+0.05*x(1)-0.02*x(3);dx(3)=x(3)*(-0.4-0.01*x(3)+0.06*x(2);t,x=ode45(hc,015,25102);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),

19、+)運行后得到的圖形為：這是三種群的捕食關(guān)系圖，有結(jié)果可以看出：甲種群的增長會使乙種群大量增長，具體體現(xiàn)在圖中綠色曲線的上升，乙種群的增長也為丙種群的增長提供了契機，使得捕食乙物種的丙快速增長。但是隨著時間的推移，最后三個種群必將處于平衡狀態(tài)，即由圖形顯示的三條曲線最后基本上變成了平行線。這個結(jié)果與實際是完全吻合的，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)模型在假設(shè)的前提下的準(zhǔn)確性。由以上情況我們可以得出結(jié)論：我們改進(jìn)的模型是正確的，并對實際有準(zhǔn)確的反映和預(yù)測能力由此，我們可以推出N種群的具體模型如下:dx1dtXi(aibiXiGX2diX3nXn)dx2/不X2(a2b2X2c2X1d2%n2Xn)dX3X3(a3

20、dtb3X3C3X1d3X2hXn)dXndtXn(anbnXnCnXidnX2HnXn1)模型的應(yīng)用：生物種群的數(shù)學(xué)模型是很有實際意義的，例如生物入侵是現(xiàn)今困擾全世界的難題，生物入侵者會給原生態(tài)系統(tǒng)的本土生物帶來嚴(yán)重威脅，造成生態(tài)系統(tǒng)的不平衡。種群的數(shù)學(xué)模型可以指導(dǎo)我們?nèi)绾螒?yīng)對這些問題，例如從生物的捕食關(guān)系模型中，我們知道可以引進(jìn)入侵生物的天敵來進(jìn)行生物防治。生物種群模型還可以指導(dǎo)我們進(jìn)行最高效的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，例如如何在有限的草場里實現(xiàn)最大的農(nóng)業(yè)產(chǎn)量總結(jié)與思考：不足之處：由于我們接觸數(shù)學(xué)建模時間不是很長，對于論文寫作的了解還不是很深入，所以難免有疏漏之處，不能做的很完善。而且我們這次做的是生物種群的