1、【選擇性必修第三冊】7.4.2 超幾何分布復習回顧1. 伯努利試驗-只包含兩個可能結果的試驗. 將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.(1) 同一個伯努利試驗重復做n次; n重伯努利試驗具有如下共同特征：(2) 各次試驗的結果相互獨立.2. 二項分布一般地, 在n重伯努利試驗中, 設每次試驗中事件A發生的概率為p(0p1), 用X表示事件A發生的次數, 則X的分布列為P(X=k)= pk(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, , n). 如果隨機變量X的分布列具有上式的形式, 則稱隨機變量X服從二項分布, 記作XB(n, p).3. 二項分布的均值與方差如果

2、XB(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p).二點分布是特殊的二項分布.問題 已知100件產品中有8件次品, 分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件. 設抽取的4件產品中次品數為X, 求隨機變量X的分布列. 如果采用有放回抽樣, 則每次抽到次品的概率為0.08, 且各次抽樣的結果相互獨立, 此時X服從二項分布, 即XB(4, 0.08).則X分布列為思考:如果采用不放回抽樣, 那么抽取的4件產品中次品數X是否也服從二項分布？如果不服從, 那么X的分布列是什么？P(X=k)= 0.08k0.924-k, k=0,1,2,3,4.采用不放回抽樣,雖然每次抽到次品的概率都

3、是0.08, 但每次抽取不是同一個試驗, 而且各次抽取的結果也不獨立, 不符合n重伯努利試驗的特征, 因此X不服從二項分布. 可以根據古典概型求X的分布列. 由題意可知, X的取值為0, 1, 2, 3, 4. 從100件產品中任取4件, 樣本空間包含 個樣本點, 且每個樣本點都是等可能發生的. 其中4件產品中恰有k件次品的結果數為 . 可以根據古典概型求X的分布列. 由題意可知, X的取值為0, 1, 2, 3, 4. 從100件產品中任取4件, 樣本空間包含 個樣本點, 且每個樣本點都是等可能發生的. 其中4件產品中恰有k件次品的結果數為 .由古典概型的知識, 得X的分布列為如表所示.X0

4、1234PP(X=k) = , k=0,1, 2, 3, 4.問題 已知100件產品中有8件次品, 分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件. 設抽取的4件產品中次品數為X, 求隨機變量X的分布列. 采用不放回抽樣不考慮抽取次序,即一次性取出4件產品,次品數X的分布列為:P(X=k) =解：沒有影響. 考慮抽取次序,即逐個不放回取出4件產品,次品數X的分布列為:思考:計算結果數時, 考慮抽取的次序和不考慮抽取的次序, 對分布列的計算有影響嗎？為什么？所以,是否考慮抽取的次序,對分布列的計算沒有影響.P(X=k) = , k=0,1, 2, 3, 4.= , k=0,1, 2, 3, 4. 問題

5、 已知100件產品中有8件次品, 分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件. 設抽取的4件產品中次品數為X, 求隨機變量X的分布列. 采用不放回抽樣 一般地, 假設一批產品共有N件, 其中有M件次品. 從N件產品中隨機抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件產品中的次品數, 則X的分布列為一、超幾何分布及其分布列其中n,N,MN*,MN, nN, m =max0, n-(N-M), r=minn, M.6當N=10, M=4時, N-M=6, n=3. k的第一個值是 m=max0, 3-6=0;當N=10, M=4時, N-M=6, n=8. k的第一個值是 m=max0, 8-6=2. 如

6、果隨機變量X的分布列具有上式的形式, 那么稱隨機變量X服從超幾何分布.記為XH(N,M, n).P(X=k) = , k=m, m+1, m+2, , r.超幾何分布的三個特征：總體中含有兩類不同的個體;不放回抽樣;隨機變量是從總體中抽取的n個個體中某一類個體的數量.7例4 從50名學生中隨機選出5名學生代表,求甲被選中的概率.解: 設X表示選出的5名學生中含甲的人數(只能取0或1), 則X服從超幾何分布, 且N=50, M=1, n=5. 因此甲被選中的概率為解：設抽取的這2罐中有X罐有獎券, 則X服從超幾何分布, 且N=24, M=4, n=2.1. 一箱24罐的飲料中4罐有獎券, 每張獎

7、券獎勵飲料一罐, 從中任意抽取2罐, 求這2罐中有獎券的概率.P(X=1) =P有獎券=P(X=1)+P(X=2) 容易發現, 每個人被選中的概率都是 . 這個結論非常直觀, 這里給出了嚴格的推導.8例5 一批零件共有30個, 其中有3個不合格. 隨機抽取10個零件進行檢測, 求至少有1件不合格的概率. 0.7192.解：設抽取的10個零件中不合格品數為X, 則X服從超幾何分布, 且N=30, M=3, n=10. X的分布列為至少有1件不合格的概率為P(X1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)也可以按如下方法求解： 0.7192.(直接法)(間接法)P(X=k) = , k=0,

8、1, 2, 3.P(X1) = 1- P(X=0) = 1-92. 學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會, 已知有4名候選人來自甲班. 假設每名候選人都有相同的機會被選到. 解: 設甲班恰有X人被選到, 則X服從超幾何分布, 且N=12, M=4, n=4. P(X=2) =(1)甲班恰好有2名同學被選到的概率是(2)甲班至多有1名同學被選到的概率是P(X1)= P(X =0)+P(X=1)(1)求甲班恰好有2名同學被選到的概率;(2)求甲班至多有1名同學被選到的概率. 設隨機變量X服從超幾何分布, 則X可以解釋為從包含M件次品的N件產品中, 不放回地隨機抽取n件產品中的次品數. 因為

9、實際上, 由隨機變量均值的定義, 令m=max(0, n-N+M), r = min(n, M), 有E(X)= 探究:服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么呢？= M所以= np.E(X)=令p = , 則p是N件產品的次品率, 而 是抽取的n件產品的次品率, 我們猜想E( )=p, 即E(X)=np. 二、超幾何分布的均值E(X)若XH(N,M, n),則11p2k = P(X=k)k=0, 1, 2, , 20.例6 一個袋子中有100個大小相同的球, 其中有40個黃球、60個白球, 從中隨機地摸出20個球作為樣本. 用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球, 求X的分

10、布列; (2)分別就有放回摸球和不放回摸球, 用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例, 求誤差不超過0.1的概率.解：(1) 對于有放回地摸球, 每次摸到黃球的概率為0.4, 且各次試驗之間的結果是獨立的, 因此XB(20, 0.4), X的分布列為p1k=P(X=k) 對于不放回摸球, 各次試驗的結果不獨立, X服從超幾何分布, X的分布列為= 0.4k0.620-k, k=0, 1, 2, , 20.(2)利用統計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值(精確到0.000 01), 如表所示. 有放回摸球:P(|f20-0.4|0.1)=P(6X10) 0.7469.不放回摸球:P(|f20-

11、0.4|0.1)=P(6X10) 0.7988.故在相同誤差限制下, 采用不放回摸球估計的結果更可靠些.樣本中黃球的比例f20= 是一個隨機變量, 根據表7.4-2算得(2)分別就有放回摸球和不放回摸球, 用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例, 求誤差不超過0.1的概率.|f20-0.4|0.1 6X10 13 兩種摸球方式下, 隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布. 雖然這兩種分布有相等的均值(都是8), 但從兩種分布的概率分布圖(圖7.4-4)看, 超幾何分布更集中在均值附近. 二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產品中次品數的分布規律, 并且二者的均值相同,對于不放回抽樣, 當n遠遠小于N時, 每抽取一次后, 對N的影響很小, 此時, 超幾何分布可以用二項分布近似.二項分布超幾何分布00.050.100.150.200.2501234567891011121314151617181920XP14 一般地, 假設一批產品共有N件, 其中有M件次品. 從N件產品中隨機抽取n件(不