1、專題19.2 矩形、菱形與正方形（提高篇）專項練習一、單選題1如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EFCB，交AB于點F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長為（）A24B18C12D92下列結論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質是（ ）A內角和為360B對角線互相平分C對角線相等D對角線互相垂直3如圖，在平行四邊形中，、是上兩點，連接、，添加一個條件，使四邊形是矩形，這個條件是( )ABCD4如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，點A的坐標為(1，)，則點C的坐標為()A(，1)B(1，)C(，1)D(，1)5如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4點E在邊AB上，點F在

2、邊CD上，點G、H在對角線AC上若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（ ）A2B3C5D66 如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動點，則EP+FP的最小值為（）A1B2C3D47關于ABCD的敘述，正確的是（）A若ABBC，則ABCD是菱形B若ACBD，則ABCD是正方形C若AC=BD，則ABCD是矩形D若AB=AD，則ABCD是正方形8如圖，在正方形中，點，分別在邊，上，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（ ）A1BCD29如圖，在 ABCD中，CD=2AD，BEAD于點E，F為DC的中點，連結EF、BF，下列結論：ABC=2ABF；EF=

3、BF；S四邊形DEBC=2SEFB；CFE=3DEF,其中正確結論的個數共有（ ）.A1個B2個C3個D4個10如圖，正方形和正方形中，點在上，是的中點，那么的長是( )A2BCD二、填空題11如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AEBD，垂足為點E，若EAC=2CAD，則BAE=_度 12如圖，在RtABC中，ACB=90，點D，E分別是AB，AC的中點，點F是AD的中點若AB=8，則EF=_13如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處.若點D的坐標為(10，8），則點E的坐標為 .14如圖，在正方

4、形ABCD中，AB=3，點E，F分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于點G,若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則BCG的周長為_15如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，點P和點Q分別從點B和點D出發，按逆時針方向沿矩形ABCD的邊運動，點P和點Q的速度分別為3cm/s和2cm/s，則最快_s后，四邊形ABPQ成為矩形16對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點若，則_17如圖，在平面直角坐標系中有一個長方形ABCO，C點在x軸上，A點在y軸上，B點坐標(8，4)，將長方形沿EF折疊，使點B落到原點O處，點C落到點D

5、處，則OF的長度是_.18如圖，將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點A1， A2，An分別是正方形的中心，則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為 _19如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，且連接AE，將沿AE折疊，若點B的對應點落在矩形ABCD的邊上，則 a的值為_20如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形內部有一動點P滿足SPAB=S矩形ABCD，則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為_21如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的邊CO、OA分別在x軸、y軸上，點E在邊BC上，將該矩形沿AE折疊，點B恰好落在邊OC上的F處若OA8，CF4，則點E的坐標是_

6、22如圖，四邊形是矩形，延長到點，使，連接，點是的中點，連接，得到；點是的中點，連接，得到；點是的中點，連接，得到；按照此規律繼續進行下去，若矩形的面積等于2，則的面積為_（用含正整數的式子表示）三、解答題23如圖，在四邊形中，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的長24正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點,且EDF=45.將DAE繞點D逆時針旋轉90，得到DCM.（1）求證：EF=FM（2）當AE=1時，求EF的長25已知：如圖，四邊形ABCD中，ADBC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC（1）求證：四邊形A

7、BCD是菱形；（2）如果BE=BC，且CBE：BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形26如圖，在四邊形ABCD中，ABC=90，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN（1）求證：BM=MN；（2）BAD=60，AC平分BAD，AC=2，求BN的長27ABC中，BAC=90，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF，（1）觀察猜想如圖1，當點D在線段BC上時，BC與CF的位置關系為： BC，CD，CF之間的數量關系為： ；（將結論直接寫在橫線上）（2）數學思考如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論，

8、是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明（3）拓展延伸如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長28（1）如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45，求證：EF=BE+FD;（2）如圖2，四邊形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，點E、F分別在邊BC、CD上，則當EAF與BAD滿足什么關系時，仍有EF=BE+FD，說明理由（3）如圖3，四邊形ABCD中，BAD90，AB=AD，AC平分BCD，AEBC于E，AFCD交CD延長線于F，若BC=8，CD=3，則

9、CE= .（不需證明）參考答案1A【解析】【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解【詳解】E是AC中點，EFBC，交AB于點F，EF是ABC的中位線，BC=2EF=23=6，菱形ABCD的周長是46=24，故選A點撥本題考查了三角形中位線的性質及菱形的周長公式，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.2C【分析】矩形與菱形相比，菱形的四條邊相等、對角線互相垂直；矩形四個角是直角，對角線相等，由此結合選項即可得出答案【詳解】A、菱形、矩形的內角和都為360，故本選項錯誤；B、對角互相平分，菱形、矩形都具有，故本選項錯誤；C、對角線相等菱形不具有，而矩形具有，故本選項正確D、

10、對角線互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本選項錯誤，故選C點撥本題考查了菱形的性質及矩形的性質，熟練掌握矩形的性質與菱形的性質是解題的關鍵.3A【分析】由平行四邊形的性質可知：，再證明即可證明四邊形是平行四邊形【詳解】四邊形是平行四邊形，對角線上的兩點、滿足，即，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形故選A點撥本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題4A【解析】試題分析：作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點如圖：過點A作ADx軸于D，過點C作CEx軸于E，根據同角的余角相等求出OAD=COE，再利用“角角邊”證明AOD和OCE全等，根據全等三

11、角形對應邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據點C在第二象限寫出坐標即可點C的坐標為（-，1）故選A考點：1、全等三角形的判定和性質；2、坐標和圖形性質；3、正方形的性質5C【詳解】試題分析：連接EF交AC于點M，由四邊形EGFH為菱形可得FM=EM，EFAC；利用”AAS或ASA”易證FMCEMA，根據全等三角形的性質可得AM=MC；在RtABC中，由勾股定理求得AC=，且tanBAC=；在RtAME中，AM=AC= ，tanBAC=可得EM=；在RtAME中，由勾股定理求得AE=5故答案選C考點：菱形的性質；矩形的性質；勾股定理；銳角三角函數6C【詳解】試題分析：作F點關于BD的對稱點

12、F，則PF=PF，連接EF交BD于點PEP+FP=EP+FP由兩點之間線段最短可知：當E、P、F在一條直線上時，EP+FP的值最小，此時EP+FP=EP+FP=EF四邊形ABCD為菱形，周長為12，AB=BC=CD=DA=3，ABCD，AF=2，AE=1，DF=AE=1，四邊形AEFD是平行四邊形，EF=AD=3EP+FP的最小值為3故選C考點：菱形的性質；軸對稱-最短路線問題7C【詳解】選項C中，滿足矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，所以選C.8D【分析】由CDAB得到EFD=FEB=60，由折疊得到FEB=FEB=60，進而得到AEB=60，然后在RtAEB中由30所對直角邊等

13、于斜邊一半即可求解【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，CDAB，EFD=FEB=60，由折疊前后對應角相等可知：FEB=FEB=60，AEB=180-FEB-FEB=60，ABE=30，設AE=x,則BE=BE=2x，AB=AE+BE=3x=3，x=1，BE=2x=2，故選：D點撥本題借助正方形考查了折疊問題，30角所對直角邊等于斜邊的一半等知識點，折疊問題的性質包括折疊前后對應邊相等，對應角相等，折疊產生角平分線，由此即可解題9D【解析】分析：如圖延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點H連接FH證明DFEFCG 得EF=FG，BEBG，四邊形BCFH是菱形即可解決問題；詳解：如圖延長EF交

14、BC的延長線于G，取AB的中點H連接FHCD=2AD，DF=FC，CF=CB，CFB=CBF，CDAB，CFB=FBH，CBF=FBH，ABC=2ABF故正確，DECG，D=FCG，DF=FC，DFE=CFG，DFEFCG，FE=FG，BEAD，AEB=90，ADBC，AEB=EBG=90，BF=EF=FG，故正確，SDFE=SCFG，S四邊形DEBC=SEBG=2SBEF，故正確，AH=HB，DF=CF，AB=CD，CF=BH，CFBH，四邊形BCFH是平行四邊形，CF=BC，四邊形BCFH是菱形，BFC=BFH，FE=FB，FHAD，BEAD，FHBE，BFH=EFH=DEF，EFC=3D

15、EF，故正確，故選D點睛：本題考查平行四邊形的性質和判定、菱形的判定和性質、直角三角形斜邊中線的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題10D【分析】連接AC、CF，根據正方形性質求出AC、CF，ACD=GCF=45，再求出ACF=90，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可【詳解】如圖，連接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=，CF=，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，H是AF的中點，CH=AF=.故選D點撥本題考查了直角三

16、角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，正方形的性質，勾股定理，熟記各性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵1122.5【詳解】四邊形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OBOC，OAD=ODA，OAB=OBA，AOE=OAD+ODA=2OAD，EAC=2CAD，EAO=AOE，AEBD，AEO=90，AOE=45，OAB=OBA=67.5，即BAE=OABOAE=22.5考點：矩形的性質；等腰三角形的性質122【詳解】解：在RtABC中，AD=BD=4，CD=AB=4，AF=DF，AE=EC，EF=CD=2，故答案為2.13（10，3）【分析】根據折疊的性質得到AF=

17、AD，所以在直角AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后設EC=x，則EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根據勾股定理列方程求出EC可得點E的坐標【詳解】四邊形AOCD為矩形,D的坐標為(10,8),AD=BC=10，DC=AB=8，矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，AD=AF=10，DE=EF，在RtAOF中,OF= =6，FC=106=4，設EC=x，則DE=EF=8x，在RtCEF中,EF2=EC2+FC2，即(8x)2=x2+42，解得x=3，即EC的長為3.點E的坐標為(10,3).14+3【解析】分析：根據面積之比得出BGC的面積等于正方形面積的，進而依據BCG的面積以及

18、勾股定理，得出BG+CG的長，進而得出其周長詳解：陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，陰影部分的面積為9=6，空白部分的面積為9-6=3，由CE=DF，BC=CD，BCE=CDF=90，可得BCECDF，BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為3=，設BG=a，CG=b，則ab=，又a2+b2=32，a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，a+b=，即BG+CG=，BCG的周長=+3，故答案為+3點睛：此題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質以及三角形面積問題解題時注意數形結合思想與方程思想的應用154【分析】設最快x秒，當BP=AQ時，四邊形ABPQ成

19、為矩形，設最快x秒，則4x=202x解方程可得.【詳解】設最快x秒，四邊形ABPQ成為矩形，由BP=AQ得3x=202x解得x=4故答案為4點撥本題考核知識點：平行四邊形性質,矩形判定.解題關鍵點：熟記平行四邊形性質,矩形判定.1620【分析】由垂美四邊形的定義可得ACBD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，從而求解.【詳解】四邊形ABCD是垂美四邊形，ACBD，AOD=AOB=BOC=COD=90，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AB2+CD2，AD=2，BC=4，AD2+BC2=2

20、2+42=20，故答案為：20.點撥本題主要考查四邊形的應用，解題的關鍵是理解新定義，并熟練運用勾股定理.175【分析】連接，設，根據翻折原理可得，然后根據勾股定理即可求解.【詳解】連接，如圖所示：設根據翻折原理可得：B點坐標(8，4)長方形ABCO解得：，即OF的長度是故填：5.點撥本題主要考查勾股定理、矩形的性質、翻折問題，根據勾股定理列出式子是關鍵.18【解析】試題分析：根據題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的，已知兩個正方形可得到一個陰影部分，則n個這樣的正方形重疊部分即為n-1陰影部分的和試題解析：由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的，即是，5個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）

21、的面積和為4，n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為（n-1）=cm2考點：正方形的性質19或【分析】分兩種情況：點落在AD邊上，根據矩形與折疊的性質易得，即可求出a的值；點落在CD邊上，證明，根據相似三角形對應邊成比例即可求出a的值【詳解】解：分兩種情況：當點落在AD邊上時，如圖1四邊形ABCD是矩形，將沿AE折疊，點B的對應點落在AD邊上，；當點落在CD邊上時，如圖2四邊形ABCD是矩形，將沿AE折疊，點B的對應點落在CD邊上，在與中，即，解得，（舍去）綜上，所求a的值為或故答案為或點撥本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，

22、對應邊和對應角相等也考查了矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質進行分類討論與數形結合是解題的關鍵204【解析】分析：首先由SPAB=S矩形ABCD，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值詳解：設ABP中AB邊上的高是hSPAB=S矩形ABCD，ABh=ABAD，h=AD=2，動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離在RtABE中，AB=4，AE

23、=2+2=4，BE=，即PA+PB的最小值為4故答案為4點睛：本題考查了軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質，勾股定理，兩點之間線段最短的性質得出動點P所在的位置是解題的關鍵21(-10，3)【詳解】試題分析：根據題意可知CEFOFA，可根據相似三角形的性質對應邊成比例，可求得OF=2CE，設CE=x，則BE=8-x，然后根據折疊的性質，可得EF=8-x，根據勾股定理可得，解得x=3，則OF=6，所以OC=10，由此可得點E的坐標為（-10，3）.故答案為：（-10，3）22【分析】先計算出、的面積，然后再根據其面積的表達式找出其一般規律進而求解【詳解】解：，面積是矩形ABCD面積的

24、一半，梯形BCDE的面積為，點是的中點，點是的中點，由中線平分所在三角形的面積可知，且，同理可以計算出：，且，故、的面積分別為：，觀察規律，其分母分別為2,4,8，符合，分子規律為，的面積為故答案為：點撥本題考查了三角形的中線的性質，三角形面積公式，矩形的性質等，本題的關鍵是能求出前面三個三角形的面積表達式，進而找出規律求解23（1）證明見解析；（2）2.【解析】分析：（1）根據一組對邊相等的平行四邊形是菱形進行判定即可.（2）根據菱形的性質和勾股定理求出根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.詳解：（1）證明：，平分，又又，四邊形是平行四邊形又是菱形（2）解：四邊形是菱形，對角線、交

25、于點，在中，在中，為中點點睛：本題考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定與性質，直角三角形的性質，勾股定理等，熟練掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.24(1)見解析；（2） .【分析】（1）由折疊可得DE=DM，EDM為直角，可得出EDF+MDF=90，由EDF=45，得到MDF為45，可得出EDF=MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；（2）由第一問的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM

26、-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長【詳解】(1)DAE逆時針旋轉90得到DCMDE=DM EDM=90EDF + FDM=90EDF=45FDM =EDM=45 DF= DFDEFDMF EF=MF （2） 設EF=x AE=CM=1 BF=BM-MF=BM-EF=4-x EB=2在RtEBF中，由勾股定理得即解之，得25（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）首先證得ADECDE，由全等三角形的性質可得ADE=CDE，由ADBC可得ADE=CBD，易得CDB=CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利

27、用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；（2）由BE=BC可得BEC為等腰三角形，可得BCE=BEC，利用三角形的內角和定理可得CBE=180 =45，易得ABE=45，可得ABC=90，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形【詳解】（1）在ADE與CDE中，ADECDE，ADE=CDE，ADBC，ADE=CBD，CDE=CBD，BC=CD，AD=CD，BC=AD，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=CD，四邊形ABCD是菱形；（2）BE=BC，BCE=BEC，CBE：BCE=2：3，CBE=180 =45，四邊形ABCD是菱形，ABE=45

28、，ABC=90，四邊形ABCD是正方形26（1）證明見解析；（2）【分析】（1）在CAD中，由中位線定理得到MNAD，且MN=AD，在RtABC中，因為M是AC的中點，故BM=AC，即可得到結論；（2）由BAD=60且AC平分BAD，得到BAC=DAC=30，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到BMC =60由平行線性質得到NMC=DAC=30，故BMN=90，得到，再由MN=BM=1，得到BN的長【詳解】（1）在CAD中，M、N分別是AC、CD的中點，MNAD，且MN=AD，在RtABC中，M是AC的中點，BM=AC，又AC=AD，MN=BM；（2）BAD=60且AC平分BAD，BAC=

29、DAC=30，由（1）知，BM=AC=AM=MC，BMC=BAM+ABM=2BAM=60MNAD，NMC=DAC=30，BMN=BMC+NMC=90，而由（1）知，MN=BM=AC=2=1，BN=考點：三角形的中位線定理，勾股定理27（1）CFBD，BC=CF+CD；（2）成立，證明詳見解析；（3）.【詳解】試題分析：（1）根據正方形的性質得到BAC=DAF=90，推出DABFAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；由正方形ADEF的性質可推出DABFAC，根據全等三角形的性質得到CF=BD，ACF=ABD，根據余角的性質即可得到結論；（2）根據正方形的性質得到BAC=DAF=90，推出DAB

30、FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論（3）根據等腰直角三角形的性質得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據正方形的性質得到AD=DE，ADE=90，根據矩形的性質得到NE=CM，EM=CN，由角的性質得到ADH=DEM，根據全等三角形的性質得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據等腰直角三角形的性質得到CG=BC=4，根據勾股定理即可得到結論試題解析：解：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB與FAC中，DABFAC，B=ACF，ACB+ACF=90，即CFBD；DABFAC，CF=BD，BC=BD+CD，BC=CF+CD；（2）成立，正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB與FAC中，DABFAC，B=ACF，CF=BDACB+ACF=90，即CFBD；BC=BD+CD，BC=CF+CD；（3）解：過A作