1、1數值計算方法課程簡介數值計算方法研究并解決數學問題近似解的方法，是在計算機上使用的解數學問題的方法。計算對象在理論上有解而難于或無法用手工完成計算的數學問題。應用領域廣泛用于科學研究和工程技術，如地質勘探、汽車制造、橋梁設計、天氣預報、漢字字樣設計、數碼成像技術等等。課程特點既有嚴密的理論性，又具很強的實踐性，所構造的方法要由計算機來實現。先行課程高等數學、線性代數、高級語言21、建立數學模型：表現形式多種多樣：函數關系式、方程組、積分計算式、微分計算式等2、選擇數值計算方法：為數學模型選擇合適的數值計算方法以用于編程和計算，要考慮：方法能否達到要求的精度、計算量是否太大、程序能否實現、對數

2、據的微小擾動其反應是否敏感。數值計算的內容、方法與算法33、編寫程序：（采用各種高級語言或工具軟件）4、上機運行：根據計算結果檢查所選計算方法是否合理或編程考慮是否不周，甚至檢查數學模型的合理性。數值計算方法研究數值計算問題，即對已有數學模型探討面向計算機的各種方法及其使用條件和理論依據，并給出相應的算法，由計算機得到具體問題的數值近似解。4研究數值計算方法的必要性：很多數學問題在理論上嚴密、有精確解，但實際計算時或者沒有計算公式，或者套用計算公式無法完成計算，或者根本無法得到其精確解。例如：問題1 求非線性方程cosx-x=0的根（無求根公式）；問題2 求解一個20階線性方程組（克萊姆法則?

3、）；問題3 求解下面的定積分（找不到原函數）：5數值計算方法：把對數學問題的解法歸結為有限次數加減乘除等基本運算并有確定運算順序的完整、準確、有效的描述，稱為數值計算方法。算法：研究數值計算方法的軟件實現的問題。即用流程圖、數學語言或自然語言、計算機語言（計算機程序）對數學問題的數值計算方法作出準確的描述。671、遞推法：由給定初始數據逐步遞推出待求結果數據。例如，求解下面的n次多項式：方法之一：直接按表達式計算。考慮原始數據a0,an及x,xn分別存儲，則共需2n+1個存儲單元；計算量：主要考慮乘除法次數，為2n-1次。8方法之二：秦九韶法（霍納法），將P(x)寫成如下形式：采用遞推法計算，

4、用遞推公式表示計算過程：bn=an，bi=ai+bi+1x，i=n-1,1,0所需存儲單元：n+2個；乘法次數為n。9秦九韶遞推算法表示如下：INPUTn ，n+1 個系數a (i)，（i =0,1,2, n, ），x的值OUTPUT多項式的值p (x)。Step1b = a (n)Step2For i =n-1 DownTo 0 b=a (i) +bxEnd For iStep3OUTPUT （ p (x)= , b）STOP2、迭代法：迭代法也稱為逐次逼近法。迭代法的使用是為了逐次改進前面的計算結果，使之按給定的精度逼近于問題的準確解。10例如求非線性方程f(x)=0的根，可將方程改寫為等

5、價形式 x=g(x)，以形成迭代格式：xk+1=g(xk)3、以直代曲（將復雜的曲線問題轉化為直線問題求解）例如：牛頓迭代法求非線性方程的根。所求根本來是曲線f(x)=與x軸的交點，但可近似處理為曲線的切線（直線）與x軸的交點來求解。給定初始值x0，計算x1=g(x0) , x2=g(x1) ，直到|xk+1-xk|（給定精度控制量），xk+1即為近似根。11yy=f(x)o牛頓迭代法 x* x3 x2 x1 x0 x牛頓迭代公式為：幾何意義：從初值x0出發，過點(xk,f(xk)作曲線f(x)的切線，得到與x軸的交點xk+1,以逐步逼近根x*。124、以差商代微商（導數）：如果無法按常規方法

6、求導函數精確值，則可根據導數定義取差商近似替代135、化整為零（將連續問題離散化）：如定積分的計算，當被積函數的原函數無法求得或被積函數為表格函數（無解析表達式）時，就應做離散處理。xyoy=f(x)abxi xi+1可將a , b等分成n 個小區間 xi , xi+1，其中xi =a+ih，x0=a， xn=b，i=0,1,n-1，h=(ba)/n ，在每個小區間上以直代曲。146、外推法（Richardson外推思想的應用）（在數值微積分中詳述）注意：以上6種思想方法并非萬能，均有其使用條件和局限性，不能盲目套用，否則會出現謬誤。例如遞推法：必須考慮誤差的積累和傳播是否加??；迭代法：必須考

7、慮迭代格式是否收斂于所求解；直代曲：必須考慮是否會使有解變為無解；離散化：必須綜合考慮精確度、計算量和舍入誤差。15準確值與近似值之差誤差數值計算的精確度分析誤差來源主要有四個方面：1、模型誤差（描述誤差）為數學建模階段所產生的誤差，不屬于數值計算方法要處理和可以解決的問題； 2、觀測誤差（數據誤差）采集原始數據時因儀器精度或其它客觀因素造成，也不屬于數值計算方法所能解決的問題；163、舍入誤差（計算誤差） 因計算機的數系不全、在接收和運算數據的舍入處理中產生的誤差，它是數值計算方法必須關注的問題。要理解計算機的舍入誤差，請思考：（1）實數集是有限還是無限？是稠密還是離散？（2）計算機所能表示

8、的數（稱為計算機的數系）是有限還是無限？是稠密還是離散？（3）如果數據不屬于計算機的數系，那么計算機如何接收和處理這一數據？17浮點運算是計算機最重要的數值運算。設機器字長為32位，浮點數（如C中的float型）在計算機中如何存儲：011111110111111111111111111111117位階碼23位尾數階碼符號位尾數符號位例如，上圖表示的二進制數據為：相當于十進制數：18也就是按此種方式所能表示的最大浮點數。故對十進制浮點數而言，小數點后最多能保留7位。如：x1=0.12345674和x2=0.12345675均不屬計算機數系，則計算機按如下形式接收：X1=0.1234567，X2=

9、0.1234568所產生的誤差即為舍入誤差。4、截斷誤差（方法誤差）對數學公式做簡化處理后所產生的誤差，如計算函數ex在某點的值，由于ex的展開式： 19用其展開式中的前n+1項近似代替無窮項來計算所產生的誤差就是截斷誤差。是數值計算方法必須關注的誤差。1、絕對誤差與誤差限設x*為準確值，x為其近似值，則稱x=x*-x為近似值x的絕對誤差，簡稱誤差。準確值通常未知，故誤差x一般也不可知，為此引入誤差限來對誤差進行估計。稱滿足| x |=|x*-x| 的正數 為近似值的誤差限。誤差限 給出了準確值x*的所在范圍x- x* x+，顯然，誤差限 越小，近似值越精確。202、準確位數與有效數字先討論長

10、度測量問題。設直尺刻度為m，長度為l。1m2m3m近似值 l =2.4m則絕對誤差 | l |=| l*-l| = 0.5m 。同理，在不同刻度下長度近似值有如下誤差限：刻度為dm： | l |=| l*-l| = 0.05m =0.510-1m刻度為cm: | l |=| l*-l| = 0.005m =0.510-2m刻度為mm: | l |=| l*-l| = 0.0005m =0.510-3m設現有mm刻度尺測得長度近似值 l=12.3456m，則該近似值只能準確到小數點后第3位，其有效數字為12.345共5位。21定義1.1（有效數字與絕對誤差限）如果近似值 x 的誤差限表示為0.5

11、10-n，（n為自然數），即有則 x 稱準確到小數點后第 n 位；并稱從 x 的第一個非零數字到這一位的全部數字為 x* 的有效數字；記有效數字的個數為N，并稱 x 具有N位有效數字。推論：設有近似數x=10k0.a1a2an 或 x=10k0.a1a2這里a10，ai0,1,9，k為整數，若|x|=|x*-x|0.510k-n則稱 x 為 x* 的具有 n 位有效數字的近似值，簡稱 x 具有 n 位有效數字。223、相對誤差及其誤差限 設某個量的準確值為 x*=1000，其近似值 x=999；另一個量的準確值為 y*=10，近似值 y=9，二者的絕對誤差均為1。請問 x 與 y 何者近似程度

12、更好？記為近似數 x 的相對誤差。如前述 x 和 y ，其相對誤差分別為(x)=0.001,(y)= 0.1。因為|(x)|= 4，所以至少應取 4 位有效數字。27原始數據的誤差勢必對結果數據的準確性產生影響，復雜運算在計算機總歸結為加、減、乘、除四則運算，誤差在不同運算中有其傳播規律。準確數 x* 與其近似數 x 通常很接近，其差可認為是一較小增量，即微分，由此可得誤差與微分的近似關系：故有誤差在四則運算中的傳播規律：（1）加減法：28（2）乘法：（3）除法：（3）開方運算：例1-3考查 y=xn 的相對誤差關系。解：因 lny=nlnx，故 dlny=ndlnx，即 n 個數相乘后，其結果是自變量的相對誤差擴大 n 倍。291、要使用數值穩定的算法例1.4用遞推公式求含參定積分當n = 0,1,20的值分析原因發現對算法（1）有誤差遞推公式而對算法（2）有誤差遞推公式（1）的誤差絕對值以 5n 倍增加，而（2）的誤差絕對值卻以 1/ 5n