1、4. 6 滲流的數值計算 4.6.1 滲流的基本微分方程 4.6.2 定解條件4.6.3 泛函和變分 4.6.4 滲流有限元計算 4.6.5 關于滲流自由水位線（浸潤線）的確定 14.6.1 滲流的基本微分方程 二維各向異性各向同性2可壓縮流ss為單位貯水量： 它表示的是下降單位水頭時，由于骨架壓縮和水的膨脹所釋放出的貯存水量。分別為土顆粒的壓縮與流體（水）的膨脹系數。對于飽和土一般可以忽略。34.6.2 定解條件 1一類邊界條件 ：在這種邊界條件上，所有水頭是已知的。 2二類邊界條件：具有給定流入流量的邊界。如在不透水邊界上混和邊界條件；自由水位線（浸潤線）。3對于非穩定流，還應有初始條件

2、。4不透水層透水層圖468 堤壩的滲流5圖4 壩基的滲流6圖4 土壩的滲流7 為給水度：飽和度變化時進出的水量 圖450 非穩定流的自由水面邊界的變化84.6.3 泛函和變分 1.微分方程在復雜的邊界條件下無法直接積分得到解析解，數值計算的方法是首先建立的泛函，一定邊值問題的解就是這個泛函的極小值。這個求解過程就是變分。2.在方向x，在時間 t，單位容重的流體上在單位時間內外力所作的功的增量為：。9h*x為在x方向上的水頭差，qx為x方向的流量由于（1）代入（1）式（2）單位容重由于圖472 單位流體做的功 10（2）外力到時間t0所作的總功為：積分由于外力作功等于土體內存儲的能量單位體積外力

3、所作的功： 11某一滲流域中，忽略液體的可壓縮性，其滲流能的表達式為： 對于非穩定滲流，存在自由水面情況，邊界上能量為則上述滲流能為：單位體積外力所作的功： 12則上述滲流能為：滲流能134.6.4 滲流有限元計算 1. 滲流場的離散與插值函數 2. 單元滲流矩陣 3. 整體平衡方程 141. 滲流場的離散與插值函數圖473 有限單元網格劃分15假設單元的水頭函數值在1、2、3結點上的值分別為h1,h2,h3，在單元內部的值可用線性插值求得：式中a1,a2,a3為系數，顯然在e單元上的三個結點上有：16設： Ae三角形單元面積 解方程：得到系數：17因此e單元上水頭函數表達式為： 設單元形函數

4、：三角形單元：線形差值泛函矩陣：182. 單元滲流矩陣 對泛函I(h)變分求最小值： h為在自由水面邊界上的水頭。其中： 自由水面變化 19對于可壓縮流體，式中加入一項：其中：其中Ss 反映水頭變化對于流體和土骨架（孔隙）的體積的影響。20整體平衡方程 上式是單元的泛函的微分方程確定極小值，將所有單元泛函的微分疊加，并等于零，即可得到由節點水頭組成的方程組，即整體平衡方程： 213.整體平衡方程 22整體平衡方程自由水面可壓縮部分已知結點的部分23 這樣就可對式多元聯立方程組用不同的數學方法求解，得到各單元結點水頭； 然后可用式（4.6.15）求單元域內任一點水頭值，從而得到有限元數值分析的解

5、； 對于三維滲流計算方法是一樣的； 其它網格形式及單元形式。 244.6.5 關于滲流自由水位線（浸潤線）的確定 1.水力學法2 .流網法3.試驗法 4.有限單元法 1）變動網格法 2）固定網格法 3) 其它方法251.水力學法1）邊界條件比較簡單，滲流場為均質。2）水力學法是對上游和下游壩段及流線作一些假定，將復雜的滲流域簡化。3）對上游三角形壩段有平均流線法和矩形替代法。4）對下游三角形壩段有垂直等勢線法、圓弧形等勢線法、折線等線法和替代法等。 26圖474 土壩的滲流計算27圖475 出口拋物線的修正282 .流網法1）按一般水力學方法或經驗初步繪出壩體內的自由水面線。2）將上下游水面差

6、分為若干等分，并作水平線和自由水面相交，得一系列交點。3）以上游水面線以下的壩坡線為流網的第一條等勢線，以下游面以下的壩坡線為流網的最末一根等勢線，并根據這兩條等勢線的變化趨勢，在自由水面線和各交點處向下延伸作各條等勢線。其起點處應與自由水面線正交。4）以自由水面線為第一條流線，以不透水地基為最末一條流線，根據流線的變化趨勢，繪制中間流線。它們應滿足與各等勢線的正交要求，形成一組扭曲的正方形網格。5）檢查初步繪制的流網圖，根據正交條件，逐步調整網格，直至滿足上述條件為止。293.試驗法 電模擬試驗是在水力學試驗中應用得比較普遍方法 。滲流場中的達西（Darcy）定律和電學中的歐姆（Ohm）定律

7、具有相似的數學方程式。即301）可模擬復雜的滲流域2）模型沒有比尺效應3）試驗設備簡單，測試比較方便4）電模試驗的缺點 5）只適用于各向同性的情況6)對于滲流場內有不同的材料分區時，導電物的選取和連接比較困難7)在有自由面時，因為自由面是未知的，而電模型中沒有直接比擬重力的物理量8)下游溢出點的位置難以正確地測定9)在有水位變動時，情況更為復雜模擬試驗的優點31 4.有限單元法 1）變動網格法 方法(1)首先假定一個浸潤線，劃分網格，在給定的邊界條件下計算此假定滲流域；(2)然后根據計算結果調整浸潤線，重新劃分網格，逐步迭代求解；(3)直至滿足在浸潤線上h=z的條件，即測壓管水頭等于位置水頭。缺陷： 復雜 邊界 機時 與變形計算的網格耦合困難324.有限單元法 2）固定網格法 國內外廣泛應用固定網格法(1)剩余流量法 ：通過計算自由單元內過自由表面的流量來修改各結點的勢(2)單元傳