1、人教B版2019高中數學選修1 專題強化練 1 空間向量的運算已知長方體 ABCDA1B1C1D1，下列向量的數量積一定不為 0 的是 A AD1B1C B BD1BC C ABAD1 D BD1AC 點 P 是棱長為 1 的正方體 ABCDA1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1 上一點，則 PAPC1 的取值范圍是 A 1,14 B 12,14 C 1,0 D 12,0 在四面體 PABC 中，下列說法正確的是 A若 AD=13AC+23AB，則 BC=3BD B若 Q 為 ABC 的重心，則 PQ=13PA+13PB+13PC C若 PABC=0，PCAB=0，則 PBAC=0 D若

2、四面體 PABC 的各棱長都為 2，M，N 分別為 PA，BC 的中點，則 MN=1 如圖，在四棱錐 SABCD 中，SA平面ABCD，底面 ABCD 為直角梯形，ADBC，BAD=90，且 AB=4，SA=3，E，F 分別為線段 BC，SB 上的一點（不包含端點），滿足 SFBF=CEBE=，則當實數 的值為 時，AFE 為直角如圖所示，M，N 分別是四面體 OABC 的棱 OA，BC 的中點，P，Q 是線段 MN 的三等分點，用向量 OA，OB，OC 表示 OP 和 OQ已知空間中的三點 A2,0,2，B1,1,2，C3,0,4，設 a=AB，b=AC(1) 若 c=3，且 cBC，求向量

3、 c；(2) 已知向量 ka+b 與 b 互相垂直，求 k 的值；(3) 求 ABC 的面積已知空間中的三點 A0,2,3，B2,1,6，C1,1,5(1) 若 a=3，且 a 分別與 AB，AC 垂直，求向量 a 的坐標；(2) 若 APBC，且 AP=214，求點 P 的坐標答案1. 【答案】B【解析】如圖，以 D 為原點，DA，DC，DD1 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系不妨設 DA=a，DC=b，DD1=c，所以 Aa,0,0，Ba,b,0，C0,b,0，D0,0,0，A1a,0,c，B1a,b,c，C10,b,c，D10,0,c，所以 AD1=a,0,c，

4、B1C=a,0,c，BD1=a,b,c，BC=a,0,0，AB=0,b,0，AC=a,b,0A中，AD1B1C=a2c2，所以當 a=c 時，AD1B1C=0，故A項不符合題意；B中，BD1BC=a20，故B項符合題意；C中，ABAD1=0，故C項不符合題意；D中，BD1AC=a2b2，所以當 a=b 時，BD1AC=0，故D項不符合題意【知識點】空間向量的坐標運算2. 【答案】D【解析】以點 D 為原點，以 DA 所在的直線為 x 軸，以 DC 所在的直線為 y 軸，以 DD1 所在的直線為 z 軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則點 A1,0,0，C10,1,1設點 P 的坐標為 x,y,

5、z，由題意可得 0 x1，0y1，z=1，所以 PA=1x,y,1，所以 PC1=x,1y,0所以 PAPC1=x1xy1y+0=x2x+y2y=x122+y12212, 所以當 x=y=12 時，PAPC1 取得最小值，為 12；當 x=0 或 1，且 y=0 或 1 時，PAPC1 取得最大值，為 0故 PAPC1 的取值范圍是 12,0故選D【知識點】空間向量的坐標運算3. 【答案】A；B；C【解析】對于A，因為 AD=13AC+23AB，所以 3AD=AC+2AB，所以 2AD2AB=ACAD，所以 2BD=DC，所以 3BD=BD+DC，即 3BD=BC，故A正確；對于B，若 Q 為

6、 ABC 的重心，則 QA+QB+QC=0，所以 3PQ+QA+QB+QC=3PQ，所以 3PQ=PA+PB+PC，即 PQ=13PA+13PB+13PC，故B正確；對于C，若 PABC=0，PCAB=0，則 PABC+PCAB=0，所以 PABC+PCAC+CB=0，所以 PABC+PCAC+PCCB=0，所以 PABC+PCACPCBC=0，所以 PAPCBC+PCAC=0，所以 CABC+PCAC=0，所以 ACCB+PCAC=0，所以 ACCB+PC=0，所以 ACPB=0，故C正確；對于D，因為 MN=PNPM=12PB+PC12PA=12PB+PCPA，所以 MN=12PAPBPC

7、因為 PAPBPC=PA2+PB2+PC22PAPB2PAPC+2PBPC=22+22+222221222212+22212=22, 所以 MN=2，故D錯誤【知識點】空間向量基本定理、空間向量的數量積運算4. 【答案】 916 【解析】因為 SA平面ABCD，BAD=90，故可建立如圖所示的空間直角坐標系 Axyz因為 AB=4，SA=3，所以 B0,4,0，S0,0,3，設 BC=m，則 Cm,4,0因為 SFBF=CEBE=，所以 SF=FB，所以 SA+AF=FA+AB，所以 AF=11+AS+1+AB，所以 F0,41+,31+，同理，Em1+,4,0所以 FE=m1+,41+,31

8、+，要使 AFE 為直角，則 AFEF，即 FEFA=0，又因為 FA=0,41+,31+，所以 m1+0+41+41+31+2=0，所以 16=9，所以 =916【知識點】空間向量的坐標運算5. 【答案】 OP=OM+MP=12OA+23MN=12OA+23ONOM=12OA+23ON12OA=16OA+2312OB+OC=16OA+13OB+13OC, OQ=OM+MQ=12OA+13MN=12OA+13ONOM=12OA+13ON12OA=13OA+1312OB+OC=13OA+16OB+16OC. 【知識點】空間向量基本定理6. 【答案】(1) BC=2,1,2，因為 cBC，所以設

9、c=2n,n,2n（n 為實數），故 c=4n2+n2+4n2=3n=3，解得 n=1，故 c=2,1,2 或 c=2,1,2(2) a=AB=1,1,0，b=AC=1,0,2， ka+b=1k,k,2，因為 ka+b 與 b 垂直，所以 1k+4=0，解得 k=5(3) 依題意知 AB=1+1+0=2，AC=1+0+4=5，BC=22+12+22=3，故由余弦定理得 cosA=2+59225=110，所以 sinA=1cos2A=31010，故三角形 ABC 的面積為 12ABACsinA=122531010=32【知識點】空間向量的坐標運算7. 【答案】(1) AB=2,1,3，AC=1,3,2設 a=x,y,z，因為 a=3，且 a 分別與 AB，AC 垂直，所以 x2+y2+z2=3,2xy+3z=0,x3y+2z=0. 解得 x=1,y=1,z=1 或 x=1,y=1,z=1. 所以 a=1,1,1 或 a=1,1,1(2) 因為 APBC，所以可設 AP=BCR因為 BC=3,2,1，所以 AP=3,2,又因為 AP=214，所以 32+22+2=214，解得 =2