1、誤差分析和數據處理電話：，祝大家學習愉快，天天進步！物理化學實驗講座2022/8/91 1.3 誤差分析和數據處理 1 緒論 1.3 誤差分析和數據處理 2022/8/9 1.3 誤差分析和數據處理 物理化學實驗是研究物質的物理性質以及這些物理性質與其化學反應間關系的一門實驗科學。在實驗研究工作中，一方面要擬定實驗的方案，選擇一定精度的儀器和適當的方法進行測量；另一方面必須將測得的數據加以整理歸納、科學地分析，并尋求被研究體系變量間的關系規律。但由于儀器和感覺器官的限制，實驗測得的數據只能達到一定程度的準確性。因此，在著手實驗之前了解測量所能達到的準確度，以及在實驗以后合理地進行數據處理，都必

2、須具有正確的誤差2022/8/9 1.3 .有關數據處理的基本概念 概念。在此基礎上通過誤差分析，尋找適當的實驗方法，選用最適合的儀器及量程，得出測量的有利條件。1.3.1 有關數據處理的基本概念 1.3.1.1 測量值、真值和平均值通過儀器測量某種物理量，儀器所示值即為測量值，在一定條件下，被測物理量客觀存在的值成為真實值（真值）。真值在不同場合下有不同的含義。包括理論真值、規定真值和相對真值。2022/8/9 1.3 .有關數據處理的基本概念 對于被測物理量，真值通常是個未知量，由于誤差的客觀存在，真值一般是無法測得的。 測量次數無限多時，根據正負誤差出現的概率相等的誤差分布定律，在不存在

3、系統誤差的情況下，它們的平均值極為接近真值。故在實驗科學中真值的定義為無限多次觀測值的平均值。 但實際測定的次數總是有限的，由有限次數求出的平均值，只能近似地接近于真值，可稱此平均值為最佳值（或可靠值）。 2022/8/9 1.3 .有關數據處理的基本概念常用的平均值有下面幾種：設x1、x2、 、xn為各次的測量值，n 代表測量次數。（1）算術平均值 這種平均值最常用。（1-1）2022/8/9 1.3 .有關數據處理的基本概念（2）均方根平均值（1-2）2022/8/9 1.3 .有關數據處理的基本概念（3）幾何平均值（1-3）2022/8/9 1.3 .有關數據處理的基本概念（4）加權平均

4、值（1-4）2022/8/91.3 . 1. 誤差的產生1.3.2 誤差的產生 測量值與真值之間的差值稱為測量誤差（簡稱誤差），誤差的產生來自于以下幾個方面：（1）系統誤差 系統誤差是由某些固定不變的因素引起的，這些因素影響的結果永遠朝一個方向偏移，其大小及符號在同一組實驗測量中完全相同。實驗條件一經確定，系統誤差就是一個客觀上的恒定值，多次測量的平均值也不能減弱它的影響。誤差隨實驗條件的改變按一定規律變化。2022/8/91.3 . 1. 誤差的產生 系統誤差主要是因為實驗方法本身的限制，使用的儀器不夠精確以及實驗者個人的習慣所引起的主觀誤差等因素所造成的，通過改進儀器和實驗裝置，以及提高測

5、試技能等方法可以減小系統誤差。（2）隨機誤差 它是由某些不能預料的因素所造成的。 在相同條件下做多次測量，其誤差數值是不確定的，時大時小，時正時負，沒有確定的規律，這類誤差稱為隨機誤差或偶然誤差。這類誤差產生原因不明，因而無法控制和補償。 2022/8/91.3 . 1. 誤差的產生若對某一量值進行足夠多次的等精度測量，就會發現隨機誤差服從統計規律，這種規律可用正態分布曲線表示。如圖1-2所示。 隨著測量次數的增加，隨機誤差的算術平均值趨近于零，所以多次測量結果的算術平均值將更接近于真值。 圖1-2 誤差的正態分布曲線2022/8/91.3 . 1. 誤差的產生（3）過失誤差 過失誤差是一種與

6、實際事實明顯不符的誤差，過失誤差明顯地歪曲試驗結果。誤差值可能很大，且無一定的規律。 它主要是由于實驗人員粗心大意、操作不當造成的，如讀錯數據，記錯或計算錯誤操作失誤等。在測量或實驗時，只要認真負責是可以避免這類誤差的。存在過失誤差的觀測值在實驗數據整理時應該剔除。 2022/8/91.3.1.3 精密度和準確度1.3.1.3 精密度和準確度 測量的質量和水平可以用誤差概念來描述，也可以用準確度來描述。為了指明誤差來源和性質，可分為精密度和準確度。精密度：在測量中所測得的數值重現性的程度。它可以反映隨機誤差的影響程度，隨機誤差小，則精密度高。準確度：測量值與真值之間的符合程度。它是測量中所有系

7、統誤差和隨機誤差的綜合影響結果。2022/8/91.3.1.3 精密度和準確度根據誤差表示方法的不同，有絕對誤差和相對誤差。 （1）絕對誤差絕對誤差是指測量值與真值之差：絕對誤差=測量值-真值對于多次測量的結果，使用平均誤差的概念： （1-5）2022/8/91.3.1.3 精密度和準確度絕對誤差能表示測量的數值是偏大還是偏小以及偏離程度,但不能確切地表示測量所達到的準確程度。準確程度可以用相對誤差來表示。(2)相對誤差相對誤差是指絕對誤差與被測真值的比值：相對誤差=絕對誤差/真值X100%同樣對于多次測量，相對平均偏差： （1-6）2022/8/91.3.1.3 精密度和準確度 用數理統計方

8、法處理實驗數據時，常用標準誤差（均方根誤差）來衡量精密度。標準誤差： （1-7）2022/8/91.3.2 誤差分析 一切物理量的測定，可分為直接測量和間接測量兩種。直接表示所求結果的測量稱為直接測量，如用天平稱量物質的質量，用量筒測量液體的體積等。若所求結果為數個測量值以某種公式計算而得，則這種測量稱為間接測量。在間接測量中，每個直接測量值的準確度都會影響最后結果的準確性。 通過誤差分析，我們可以查明直接測量的誤差對結果的影響情況，從而找出誤差的主要來源，以便于選擇適當的實驗方法，合理配置儀器；尋求測量的有利條件。2022/8/91.3.2.1 儀器的精密度1.3.2.1儀器的精確度 誤差分

9、析限于對結果的最大可能誤差的估計，因而對各直接測量的量只要預先知道其最大誤差范圍就夠了。當系統誤差已經校正，而操作控制又足夠精密時，通?？梢杂脙x器讀數精密度來表示測量誤差范圍。 如果沒有精度表示，對于大多數儀器來說，最小刻度的1/5可以看作其精密度，如玻璃溫度計、液柱式壓力（壓差）計等。 2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞1.3.2.2 誤差傳遞(1) 平均誤差與相對平均誤差的傳遞設有物理量N，由直接測量值u1,u2,.un決定： N=f(u1,u2,.un)直接測量值的平均誤差為：u1, u2,. un，那么N可求得。 （1-8）2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞 用各自變量的平

10、均誤差ui代替dui,并考慮最不利的情況下，直接測量的誤差不能抵消，從而引起誤差的累積，故取絕對值。上式變為：（1-9）上式兩邊同除以N得：（1-10）2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞運用上式可以討論直接測量值與結果的不同函數關系時，誤差的傳遞的計算。加、減法：N=u1u2u3.（1-11）乘、除法：N=u1.u2或N=u1/u2（1-12）2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞乘方、開方：N=un（1-13）(2) 間接測量結果的標準誤差估計設函數為u=f(,.),式中,的標準誤差分別是，.，則u的標準誤差應為： 2022/8/91.3.2.1 誤差傳遞（）2022/8/91.3.

11、3.1 實驗數據的記數法和有效數字1.3.3.1 實驗數據的記數法和有效數字 實驗測量中所使用的儀器儀表只能達到一定的精度，因此測量或運算的結果不可能也不應該超越儀器儀表所允許的精度范圍。 通常稱所有確定的數字（不包括表示小數點位置的“”）和最后不確定的數字一起為有效數字。有效數字只能具有一位可疑值。2022/8/91.3.3.1 實驗數據的記數法和有效數字例如：用最小分度為cm的標尺測量兩點間的距離，得到：9140 mm、914.0 cm、9.140 m、0.009140 km，其精確度相同，但由于使用的測量單位不同，小數點的位置就不同。有效數字的表示應注意非零數字前面和后面的零。0.009

12、140km前面的三個零不是有效數字，它與所用的單位有關。非零數字后面的零是否為有效數字，取決于最后的零是否用于定位。 2022/8/91.3.3.1 實驗數據的記數法和有效數字有效數字的運算規則：1）加、減法運算有效數字進行加、減法運算時，各數字小數點后所取的位數位數與其中位數最小的相同。2）乘、除法運算兩個量相乘（相除）的積（商），其有效數字位數與各因子中有效數字位數最少的相同。3）乘方、開方運算2022/8/91.3.3.1 實驗數據的記數法和有效數字其結果可比原數多保留一位有效數字。4）對數運算對數的有效數字的位數應與其真數相同。 在所有計算式中，常數,e的數值的有效數字位數，認為是無限

13、制，需要幾位就取幾位。表示精度時，一般取一位有效數字，最多取兩位有效數字。2022/8/91.3.3.1 實驗數據的記數法和有效數字數值取舍規則（有時稱之為“四舍六入五留雙”），常用的“四舍五人”的方法對數值進行取舍，得到的均值偏大。而用上述的規則，進舍的狀況具有平衡性，變大的可能性與變小的可能性是一樣的。 2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法實驗數據中各變量的關系的表示可為列表法，圖示法和經驗公式法。 列表法：將實驗數據制成表格。它顯示了各變量間的對應關系，反映出變量之間的變化規律。它是進一步處理數據的基礎。 圖示法：將實驗數據繪制成曲線，它直觀地反映出變量之間的關系，而且為整理

14、成數學模型（方程式）提供了必要的函數形式的直觀表達。 經驗公式法：借助于數學方法將實驗數據按一定函數形式整理成方程，即數學模型。 2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法(1)列表法在科學試驗中一系列測量數據都是首先列成表格，然后再進行其他的處理。表格法簡單方便，但要進行深入的分析，表格就不能勝任了。首先，盡管測量次數相當多，但它不能給出所有的函數關系；其次，從表格中不易看出自變量變化時函數的變化規律，而只能大致估計出函數是遞增的、遞減的或是周期性變化的等。列成表格是為了表示出測量結果，或是為了以后的計算方便，同時也是圖示法和經驗公式法的基礎。2022/8/91.3.3.2 實驗數據處

15、理方法列表法的基本要求：a.應有簡明完備的名稱、數量單位和因次；b.數據排列整齊（小數點），注意有效數字的位數；c.選擇的自變量如時間，溫度、濃度等，應按遞增排列；d.如需要，將自變量處理為均勻遞增的形式，這需找出數據之間的關系，用擬合的方法處理。2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法(2)圖示法圖示式的最大優點是一目了然，即從圖形中可非常直觀地看出函數的變化規律，如遞增性或遞減性，是否具有周期性變化規律等，也可從圖上獲得如：最大值、最小值，作出切線，求出曲線下包圍的面積等。但是，從圖形上只能得到函數變化關系而不能進行數學分析。圖解的基本要點為：a.在直角坐標系中繪制測量數據的圖形時

16、，應以橫坐標為自變量，縱坐標為對應的函數量。2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法b.坐標紙的大小與分度的選擇應與測量數據的精度相適應。分度過粗時，影響原始數據的有效數字，繪圖精度將低于試驗中參數測量的精度；分度過細時會高于原始數據的精度。坐標分度值不一定自零起，可用低于試驗數據的某一數值作起點和高于試驗數據的某一數值作終點，曲線以基本占滿全幅坐標紙為宜，直線應盡可能與坐標軸成450角。橫坐標與縱坐標的實際長度應基本相等。c.坐標軸應注明分度值的有效數字和名稱、單位，必要時還應標明試驗條件，坐標的文字書寫方向應與該2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法坐標軸平行，在同一圖上

17、表示不同數據時應該用不同的符號加以區別。d.實驗點的標示可用各種形式，如點、圓、矩形、叉等，但其大小應與其誤差相對應。e.曲線平滑方法。由于每一個測點總存在誤差，按帶有誤差的各數據所描的點不一定是真實值的正確位置。根據足夠多的測量數據，完全有可能作出一光滑曲線。決定曲線的走向應考慮曲線應盡可能通過或接近所有的點，顧及到所繪制的曲線與實測值之間的誤差的平方和最小，此時曲線兩邊的點數接近于相等。2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法作圖完成后，可以通過圖形進行進一步的分析和處理了。 (3)經驗公式法測量數據不僅可用圖形表示出數據之間的關系，而且可用與圖形對應的一個公式（解析式）來表示所有

18、的測量數據，當然這個公式不可能完全準確地表達全部數據。因此，常把與曲線對應的公式稱為經驗公式，在回歸分析中則稱之為回歸方程。2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法把全部測量數據用一個公式來代替，不僅有緊湊扼要的優點，而且可以對公式進行必要的數學運算，以研究各自變量與函數之間的關系。建立公式的步驟大致可歸納如下：a.描繪曲線。用圖示法把數據點描繪成曲線。 b. 對所描繪的曲線進行分析，確定公式的基本形式。 c.曲線化直。如果測量數據描繪的曲線被確定為某種類型的曲線，盡可能地將該曲線方程變換為直線方程2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法，然后按一元線性回歸方法處理。d.確定公

19、式中的常量。代表測量數據的直線方程或經曲線化直后的直線方程表達式為y=a+bx，可根據一系列測量數據用各種方法確定方程中的常量a和b。e.檢驗所確定的公式的準確性，即用測量數據中自變量值代人公式計算出函數值，看它與實際測量值是否一致，如果差別很大，說明所確定的公式基本形式可能有錯誤，則應建立另外形式的公式。如果測量曲線很難判斷屬何種類型，則可按多項式回歸處理。2022/8/91.3.3.2 實驗數據處理方法(4)回歸分析的基本原理和方法 若兩個變量x和y之間存在一定的關系，并通過試驗獲得x和y的一系列數據，用數學處理的方法得出這兩個變量之間的關系式，這就是回歸分析，也稱擬合。所得關系式稱為經驗公式，或稱回歸方程、擬合方程。 如果兩變量x和y之間的關系是線性關系，就稱為一元線性回歸或稱直線擬合。如果兩變量之間的關系是非線性關系，則稱為一元非線性回歸或稱曲線擬合。 這里只介紹一元線性回歸的原理和方法，對于非線性擬合的方法在“Matlab處理實驗數據”中介紹