1、現代控制理論355)課程 5.2一. 狀態反饋的給定n階線性定常受控系統： =A+B= ， 0 = 確定狀態反饋控制 = + ，使得所導出的狀態反饋閉環系統 + ，。的極點為期望值 二. 狀態反饋極點可配置的條件定理：線性定常系統=A+B0= ， = 可通過狀態反饋 = + 任意配置全部極點的充要條件是系統完全能控。5.2證明：充分性(只單輸入單輸出系統)已知系統為完全能控，證明可任意配置極點。 = ()即通過狀態反饋必成立 = = + + + + 其中， =由于系統完全能控，故必存在非奇異變換 = ，使系統變換為能控標準I型：= =其中000101011001A = = = = 取= 5.2

2、于是000101011001001001 = 這說明在能控標準I型下，狀態反饋 已將閉環系統極點配置到期望的位置。那么 與之間的關系是什么？由于非奇異線性變換不改變系統的特征值，即 A = +()()= = ( )其中， = , 即 = ，這說明對于任意給定的期望極點 ，都可以找到狀態反饋矩陣 = 使上式成立，即可任意配置系統的閉環極點。充分性得證。5.2必要性：已知極點可配置，證明系統完全能控。反證法，已知極點可任意配置，反設系統不完全能控。由于系統不完全能控，故存在非奇異線性變換陣，對系統進行能控性分解而導出： = = 且對任一狀態反饋矩陣 =,有= A = + = + ( = += +

3、這表明狀態反饋不能改變系統不能控部分的特征值，系統不能任意配置全部極點。這與系統可任意配置極點的已知條件即系統是完全能控的，必要性得證。，故反設不成立。5.2三.單輸入單輸出系統狀態反饋極點配置的算法算法1給定線性定常系統態反饋矩陣K，實現極點配置的算法如下:1. 判斷系統的能控性，若系統完全能控則繼續下一步。= + + 1 + 02. 計算受控系統矩陣A的特征多項式，即 + 113.計算由期望極點 ， ， ，所確定的特征多項式= = + + + + 后系統的狀態反饋矩陣： 4. 計算變換為能控 =5.25.計算I型能控變換陣=6.計算狀態反饋矩陣 = 。243931例：受控系統的狀態方程如下

4、： += 1 2求狀態反饋矩陣K使系統的閉環極點為 ,解：( 1 )判斷系統的可控性3193 =, = 2系統的能控性秩判別矩陣：滿秩，系統是完全能控的，可由狀態反饋任意配置系統的閉環極點。5.2（2）原開環系統的特征多項式為： + 243 + 90 = = 2 + 11 +30（3）閉環系統的期望特征多項式為：= ( 1)( 2) = 2+ 2 + 5（4）能控變換后的反饋矩陣：= 0 1= 5 302 1125901（5）I型能控變換陣1114324= =,18（6）狀態反饋增益118114324 = = 2595.67.8=5.2給定線性定常系統 ，=A算法2B 和一組期望的閉環極點 +

5、確定狀態反饋矩陣K，實現極點配置的算法如下:1.計算由期望極點 ， ， ，所確定的特征多項式= = + + + + 2. 計算狀態反饋閉環系統的特征多項式： =03. 令狀態反饋特征多項式與期望特征多項式相等，得到狀態反饋陣。5.2243931例：受控系統的狀態方程如下： += 1 2求狀態反饋矩陣K使系統的閉環極點為 ,解：( 1 )判斷系統的可控性3193系統的能控性秩判矩陣：=, = 2滿秩，系統是完全能控的，可由狀態反饋任意配置系統的閉環極點。（2）閉環系統的期望特征多項式為：= ( 1)( 2) = 2 + 2 +5（3）設狀態反饋陣為： =，則狀態反饋控制系統的特征多項式為：243931 = 2 +11 + 31 + 2 +30 + 241 + 142= 0比較期望特征多項式：11 + 31 + 2=230 + 241 + 142=5解得： =125.67.85.2四. 輸出反饋的1. 利用非動態輸出反饋 = + ，不能任意地配置系統的全部極點。以單輸入單輸出系統為例，設受控系統的傳遞函數為()，則輸出反饋系統的傳遞函()數為: =1 + ()因此，閉環系統的根軌跡方程為: 1 + = 當從0到 變化時，就得