1、連續系統的頻域分析和模擬舉例信號的正交分解與傅里葉級數 信號的頻譜傅里葉變換的性質線性非時變系統的頻域分析傅里葉變換計算機模擬舉例4.1 信號的正交分解與傅里葉級數 4.1.1 信號的正交分解 數學上給定條件下的函數可展開為由某種基本函數形式所構成的一組多項式,例如函數的泰勒級數展開式。信號是隨時間變化的函數,在一定條件下也可展開成這樣一組多項式。這就是信號的分解,用式（41）描述:(i,n為整數) （41）當上述函數集中任意兩個函數i(t),j(t)之間,在區間 例如,三角函數集 1,cost,cos2t,cosmt,sint,sin2t,sinnt,在區間（t0,t0+）(式中T=2/)組

2、成正交函數集,而且是完備的正交函數集。這是因為（ki為與之有關的常量） (42)(43) 即三角函數集滿足正交性式（42）,因而是正交函數集。其完備性這里不去討論。 對于調幅信號（=5） f(t)=A(1+Bcos)cos (44) 利用三角公式2coscos=cos(-)+cos(+)可寫為 f(t)=Acost+ ABcos(-)t+ ABcos(+)t(45) 式(45)即是信號f(t)在三角函數集上的正交分解。圖中繪出了有關信號的波形。圖4.1 調幅信號及其頻譜 4.1.2 傅里葉級數 19世紀初葉,法國數學家吉傅里葉證明:任何正常的周期為T的函數f(t)都可分解為無限個正弦和余弦函數

3、的代數和。即 通常稱（46）式為傅里葉級數。如果已知f(t),則可通過式(47)、(48)和(49)分別求出an,bn,c的值。(46) (47) (48) (49) 根據三角函數的運算法則,式(46)還可寫成式(410)。(410) (411) (413) (412) 式(46)還可寫為如下形式 式中,An=A-n,n=-n。最后,由歐拉公式,上式可寫為(414) (415) 對于式（410）,(414),同式(46)一樣,也是傅里葉級數,只是形式不同而已。式(46)和(410)稱為三角函數式傅里葉級數,式（414）稱為復指數形式的傅里葉級數。由于式（414）的數學表示更為簡潔,故在后續章節

4、中,這一式子用得更多。 4.1.3 信號的傅里葉級數正交分解 由于傅里葉級數具有正交性及完備性,故任何周期信號均可正交分解成傅里葉級數。這種分解,在對信號進行分析時將會表現出很大的優勢。 例41 試將圖所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數。圖4.2 方波信號的傅里葉級數 解 我們將信號按式(46)分解成傅里葉級數,并按式(4 7)、(48)、(49)分別計算an,bn及c。 4.2 信號的頻譜 4.2.1 信號頻譜 上一節我們指出,信號可分解為傅里葉級數,即信號可由系列復數指數函數加權之和構成。一般我們稱這里的復數指數函數ejnt為n次諧波,在該函數上所加的權為諧波的振幅,n為諧波的角頻率,

5、可以說所有的信號均是由系列角頻率不同的諧波疊加而成的(角頻率可簡稱為頻率）。 4.2.2 周期信號的頻譜 以周期性矩形脈沖為例,說明周期信號頻譜的特點。 設有一幅度為1,脈沖寬度為的周期性矩形脈沖,其周期為T,如圖所示。根據式（46）,可求得其傅里葉系數 圖4.3 矩形脈沖 考慮到=2/T,上式也可以寫為 根據式（416）可寫出該周期性矩形脈沖的指數形式傅里葉級數展開式為 圖畫出了T=4的周期性矩形脈沖的頻譜。由于Fn為實數,相位n=0,故而沒有單獨畫出其相位頻譜。圖4.4 周期矩形脈沖的頻譜（T=4） 1. 頻譜的物理意義 前面講過,任何信號均由多次諧波疊加而成,我們通過儀器觀察諧波時,只有

6、由三角函數所描述的諧波Akcos(kt+k)才能被觀察到,而復指數諧波ckejkt是通過數學方法由前者構造而成,它不能直接被觀察得到。兩者的關系為即有 (418) 2. 頻帶寬度 從周期矩形脈沖頻譜可以看出,譜線有無限多條。矩 形脈沖信號的頻帶寬度或稱信號的帶寬,用符號f表示,即 3. 周期信號的功率 了解周期信號功率在各次諧波中的分布情況,是信號頻譜的一個重要應用。分析信號的功率關系,一般都將信號f(t)看作電壓或電流,而考察其在1電阻上所消耗的平均功率,即 （419） (420) 將f(t)表示成傅里葉級數并代入上式可得(420) （ 4 21） 4.2.3 非周期信號的頻譜 非周期信號可

7、視為周期足夠長的周期信號來處理。因此,我們可以從周期信號的頻譜分析來推測非周期信號的頻譜。重寫周期信號的頻譜函數如下: (422) (423) (424) (425) 現將信號f(t)的傅里葉級數展開式重寫如下 將式(425)代入式(426)中,同時將求和號改為積分號,n改為,則有(426) (427) 式(424)和(427)是非常重要的一對式子,重寫如下,并稱前式為f(t)的傅里葉變換,后式為函數F()的傅里葉逆變換,F()稱為f(t)的頻譜函數,f(t)稱為F()的原函數。(428) (429) 式(428)和(429)可簡記為(431) (432)4.2.4 常見信號的頻譜分析舉例 例

8、42求沖激信號(t)的頻譜。 解 由頻譜函數的定義式（428）有(434) (435) 圖4.5 沖激信號及其頻譜 例43 求矩形脈沖信號g(t)的頻譜。 圖4.6 矩形脈沖信號及其頻譜 解 矩形脈沖信號g(t)是一個如圖（a）所示的門函數。其定義為(436) g(t)的傅里葉變換為 (437)(438)(439) 例44 求單邊指數信號的頻譜。 解 單邊指數信號是指 (441) (440) 圖4.7 單邊指數信號及其頻譜 例45 求雙邊指數信號的頻譜。 解雙邊指數信號是指 (442)從頻譜函數的定義式出發(443) 圖4.8 雙邊指數信號及其頻譜 例46 求單位直流信號的頻譜。 解 幅度為1

9、的單位直流信號可表示為 f(t)=1,-t0)(4-51)4.3 傅里葉變換的性質 為了方便起見,我們將傅里葉變換式重寫如下(4-52)(4-53)(4-54) 4.3.1 線性 某一域內函數的值作線性變換時與之對應的另一域中的象函數的值也作等比例的線性變換。 例48 求單位階躍函數u(t)的頻譜函數。 解單位階躍函數u(t)可看作是幅度為1/2的直流信號與幅度為1/2的符號函數sgn(t)之和,即 4.3.2 奇偶虛實性 實際存在的信號都是實信號,虛信號是我們為了數學運算上的方便而引入的。現在研究時間函數f(t)與其頻譜F()之間的奇偶虛實關系。先來看f(t)為實函數的情況。此時傅里葉變換可

10、寫為（460） 式中,頻譜函數的實部和虛部分別為(461) (462) 頻譜函數的模和相角分別為(463)(464) 由此可看出,此時F()是虛函數且是的奇函數。對于f(t)為虛函數的情況,分析方法同上,結論相反。 上述討論的結果如下: 例49利用奇偶虛實性求圖單邊指數信號f(t)=2e-t u(t)的頻譜。 圖4.11 單邊指數信號及其頻譜 解 從波形圖（a）上可見,單邊指數信號f(t)是非偶非奇函數,但可分解為如圖（b）,（c）所示的偶函數和奇函數兩部分,見下式。 f(t)=2e-t u(t)=fe(t)+fo(t) 其中4.3.3 對稱性 傅立葉變換可用（4-52）表示圖4.12 抽樣函

11、數Sa()及其頻譜尺度變換 將時間函數f(t)中的t換成at(a為常量),考察與之對應的頻譜函數。現在來求時間函數f(t)尺度變換后的頻譜函數。設f(at)=f(t),則有 （4-72） 例411 已知 求g(2t)的頻譜函數。 解 根據傅里葉變換的尺度變換性質,g(2t)的頻譜函數為 圖4.13 尺度變換 4.3.5 時移特性 在時間函數f(t)中,當時間t變為t+t0時,就會引起相應的頻譜函數的變換,稱為時移特性。這里t0為實常量。 設f(t+t0)=f1(t), ,時移特性可作如下推導: 因此,時移特性可表示如下。 若 且t0為常數,則(474) 例412求移位沖激函數(t-t0)的頻譜

12、函數。 解 由于已知沖激函數(t)的頻譜函數為1,求移位沖激函數(t-t0)的頻譜函數，此時可利用傅里葉變換的時移特性式(474)。 (475) 4.3.6 頻移特性 頻移特性與時移特性對稱,此時所考慮的是頻譜函數F()中,頻率變為+0,相應的時間函數怎樣隨之而變。這里0為實常量。 因此,時移特性可簡寫如下 且0為實常數,則 例413 求高頻脈沖信號 p(t)=g(t)cos0t (477) 的頻譜函數。 解 由于(476)故有 根據頻移特性有 圖4.14 頻移特性 4.3.7 卷積定理 現在我們討論卷積在傅里葉變換中的規律。 1.時域卷積性質 設有兩個時間函數f1(t)和f2(t),它們分別

13、對應的頻譜函數為F1()和F2()。兩個函數卷積的傅里葉變換為(4-78)(4-79)這就是時域卷積定律，可簡記為（4-80） 2. 頻域卷積性質 同時域卷積定律一樣，我們也可以證明頻域卷積定律。在這里略去證明，只寫出結論。(4-81)(4-82) 例414 求圖所示梯形脈沖的傅里葉變換。 圖4.15 梯形脈沖的傅里葉變換 解 梯形脈沖可看作是兩個不同寬度的矩形脈沖 f1(t)與f2(t)的卷積，如圖所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脈沖的傅里葉變換已在例43中求出,具體來說 圖4.16 半波正弦脈沖圖4.17 三角形脈沖及其一、二街導的波形表42 傅里葉變換的性質 4.4 線性

14、非時變系統的頻域分析 4.4.1 頻域分析 在第二章線性非時變系統的時域分析中,我們已經指出線性非時變系統的零狀態響應yf(t)是激勵f(t)與沖擊響應h(t)的卷積積分。即(4112) (4113) 現在我們設h(t)、f(t)和yf(t)各自對應的傅里葉變換式為H()、F()和Yf(),即(4114) (4115) (4117) (4116) 圖4.18 頻域分析示意圖 接下來我們討論一下H()。很顯然在前面的討論中,H()已有了兩個方面的含義:一是前面我們在式（4114）中定義的H()是與沖激響應h(t)對應的頻譜函數;二是通過式（4117）所表達的H()的含義是零狀態響應頻譜函數Yf(

15、)與激勵函數F()的比值,即(4118) 另外,考慮到式（4115）在看式（4-116）和（4-117）（4-119）（4-200） 例420如圖所示,試分析單位階躍信號u(t)通過RC高通網絡傳輸后的波形。 圖 4.19 解 顯然,當輸入信號uS(t)為復指數信號e jt時,如圖有則按H()的定義有對于單位階躍信號u(t)而言,此時 最后一步考慮了沖激函數的取樣性質。因此 4.4.2 無失真傳輸系統的頻域分析 無失真傳輸系統是指這樣一個系統,它的輸出信號與輸入信號相比只有幅度的大小和出現時間的先后不同,而沒有波形上的變化。系統的數學模型具有如下的形式: yf(t)=Kf(t+td) (412

16、1) 設輸入信號f(t)的譜頻函數為F(),輸出信號yf(t)的譜頻函數為Yf()。根據傅里葉變換的時移特性對上式進行傅里葉變換后可得輸出信號頻譜和輸入頻譜之間的關系: Y()=Ke jt F() (4122) 由上式可見,為使信號傳輸無失真,系統頻率函數應為 H()=Ke-jtd 從中可看出系統頻率函數的模和相位為(4123) 圖4.20 無失真傳輸系統的幅頻和相頻特性 其實，此時的系統輸出信號yf(t)既是系統的沖激響應h(t),既有（2-124）（4-125） 4.4.3 理想低通濾波器的頻域分析 理想低通濾波器是指頻率特性為式(4126)所限制的系統，即 由圖中可看出H()可看作是在頻

17、域中寬度為2C,幅度為1的門函數,可寫為(4126) (4127) 圖4.21 理想低通濾波器的頻率特性 圖4.22 理想低通濾波器對單位沖激信號的響應波形 則輸出信號的頻譜為由此可求出理想底通濾波器對單位階躍信號的影響（4-128）圖4.23 理想低通濾波器對單位階躍信號的響應波 以上討論了理想低通濾波器對單位沖激信號和單位階躍信號的響應,這里我們還需要注意以下幾點: (1)由響應的波形圖可見,響應的時間比激勵滯后,延遲時間為td。 (2)階躍信號的響應不像階躍信號那樣陡直,而是傾斜的，這說明輸出信號的建立需要一定的時間。一般以階躍響應中幅度由0到1作為計算建立時間的標準。查Six正弦函數積

18、分表可知響應建立時間為 (3)由響應的波形圖可見,輸出信號在輸入信號建立之前和后都有,向延伸且振蕩。由此,早在t=0時刻以前在無信號輸入的情況下就已有信號輸出,這顯然違背了自然界的因果律。這是因為理想低通濾波器是根據式（4127）設計的,過于理想化,現實中不可能實現。 4.5 傅里葉變換計算機模擬舉例 運用計算機對傅里葉變換進行模擬的主要任務就是在設定系統頻率函數的基礎上根據不同的激勵信號來模擬與之相應的響應。整個過程一般分為以下幾個步驟: （1）輸入系統頻率函數; （2）輸入激勵信號; （3）按一定的算法完成激勵信號的傅里葉變換得到激勵信號頻譜; （4）根據系統頻率函數和激勵信號頻譜按一定的算法計算系統的響應頻譜; （5）按一定的算法完成頻率響應的傅里葉逆變換得到系統響應; （6）輸出系統響應及其頻譜。 (4129) (4130) (4131) 我們在每個分區內用梯