1、 第二章 量子力學基礎 早期量子理論雖然能解釋黑體輻射、光電效應、康普頓效應、氫原子光譜等實驗事實，但理論發展卻遇到了困難（僅限于解釋那幾個事實）。如果沒有新的理論，要對微觀世界做深入研究已不太可能。玻爾理論只能解釋氫原子光譜，其它光譜不能解釋。原因是，早期量子理論沒能完全擺脫經典物理框架，沒有一套完整的理論體系和方法。 直到1924年，法國徳布羅意提出實物粒子具有波動性，新的微觀理論量子力學有了開端。1928年，奧地利的薛定諤、德國海森伯在實物粒子波動性基礎上建立了量子力學理論體系，以后又得到迅速發展。量子力學是建立在物質波基礎上的描述微觀粒子運動的理論。量子力學的建立使人們對物質世界的認識

2、帶來了革命性的變化。愛因斯坦（德） 1879-1955 波爾（丹麥） 1885-19621922年獲諾貝爾物理學獎1921年獲諾貝爾物理學獎 普朗克（德） 1858-19471918年獲諾貝爾物理學獎19001926年是量子力學的醞釀時期，此時的量子力學是半經典半量子的學說，稱為舊量子論。 L.V.德布羅意 電子波動性的理論研究1929諾貝爾物理學獎 整個世紀以來，在輻射理論上，比起波動的研究方法來，是過于忽視了粒子的研究方法；在實物理論上，是否發生了相反的錯誤呢？是不是我們關于粒子圖象想得太多，而過分地忽略了波的圖象呢？ 德布羅意L.V.de Broglie1892 19871926年，海森

3、堡和薛定諤從不同出發點建立了量子力學。1928年，狄拉克統一相對論和量子論的成就。 海森堡（德） 1901-19761932年獲諾貝爾物理學獎 薛定諤（奧地利） 188719611933年獲諾貝爾物理學獎 狄拉克（英） 190219841933年獲諾貝爾物理學獎 2-1 實物粒子的波動性一、徳布羅意假設 徳布羅意在愛因斯坦波粒二象性的啟發下，認為自然界在許多方面有對稱性，宇宙是由實物粒子和光構成，實物粒子也應具有波粒二象性。以往，只注意光的波動性，而沒有注意其粒子性，以至于黑體輻射、光電效應等不能解釋。相反，以往對實物粒子只強調它的粒子性，而忽視了其波動性，以至于除氫原子外的復雜原子光譜（氫原

4、子光譜的一些現象也不能完全解釋）及一些更復雜的微觀問題不能解釋。 由此，徳布羅意首先提出了實物粒子的波動性。實物粒子 稱徳布羅意假設 實物 注意：光 與實物粒子相聯系的波叫做徳布羅意波或物質波 實物的粒子性都易接受，波動性如何表現，有實驗驗證嗎？二、戴維遜-革末實驗（電子衍射） 1927年，美國戴維遜和革末用實驗證實，電子象x射線一樣能產生晶體衍射。而且滿足布拉格方程： 還有許多電子衍射實驗證實電子波動性（電子單縫、雙縫衍射等實驗），另外，中子、質子、原子波動性也有實驗驗證。5102015250I電子雙縫與多縫衍射1936年: 中子束衍射單晶的勞厄相多晶的德拜相 晶體電子衍射圖湯姆生實驗X射線

5、衍射單晶多晶單晶多晶單晶勞埃斑點多晶粉末德拜環三、物質波的統計解釋 經典：機械波、電磁波與粒子是完全不同的概念。量子力學認為，實物粒子有波動性，粒子性與波動性屬于同一客體。如何理解？ 量子力學用一種新的觀點統計觀點對同一客體既是波又是粒子給出了圓滿解釋。 首先，看光的波粒二象性理解。光的衍射強度分布已經用電磁波理論解釋，也可以用光子概念和統計觀點解釋： 光子是一個個集中的粒子，有能量、動量、質量。光子通過狹縫落在屏上哪一點是隨機的，大量光子落在屏上表現出規律性。所以，光波強度（ ）決定于光子到達屏上各點的幾率，光強分布是光子堆積曲線或落點的幾率分布曲線。光波是一種幾率波。隨機單個光子隨機大量光

6、子有規律光子落點幾率分布曲線 實物粒子波動性同樣解釋：物質波是一種幾率波 物質波在某時刻、空間某點的強度（ ） 實物粒子在該點出現的幾率。 單個粒子在空間出現的位置不確定，大量粒子呈現統計規律。統計觀點將實物粒子的波動性和粒子性緊密相聯。 電子通過單縫，隨機分布。大量電子落在屏幕上呈現有規律的衍射強度分布。 電子單縫衍射實驗 宏觀物體如子彈，有波動性嗎？ 宏觀物體動量大，徳布羅意波長太小，無法觀察波動性，粒子性為主。用經典理論（軌道）處理。四、測不準關系（不確定關系） 經典：宏觀物體波動性不明顯，遵守牛頓決定性規律，軌道描述物體運動位置，可以預知任一時刻物體的位置與動量。 微觀粒子波動性明顯。

7、按波的統計解釋，粒子的位置和動量不確定（隨機），軌道描述失效。以下用電子單縫衍射為例粗略說明這種不確定性。測不準關系 如圖，電子單縫衍射。平行電子束通過狹縫，落在屏幕上，形成衍射條紋。 通過前： 通過縫寬 狹縫，動量不確定。只考慮中央明紋考慮次極大：更嚴格證明：有時用粗估還可證明：測不準關系的理解（1）不能同時準確地確定粒子位置與動量（普遍關系，不限于單縫衍射）即粒子狀態不確定，偶然，幾率性。若位置確定，動量則非常不確定，反之亦然。 某時刻t，位置、動量偶然，能量也是偶然的。（2）實質是粒子波動性（幾率波）的深刻反映，“軌道”概念失效，牛頓決定性規律失效。 （3）關于普朗克常數 宏觀： 視為0

8、， ，動量和位置可以同時確定，軌道概念可用。如激光制導、發射火箭精確。 微觀： 不可忽略，考慮波動性，牛頓力學和軌道概念失效。如原子內電子沒有確定軌道，位置和動量不確定，用“電子云”概念描述位置幾率分布。 五、例題例題1： 證明玻爾電子軌道長度為電子徳布羅意波長整數倍。證明：例題2：計算下述徳布羅意波長（1）m=0.5kg , 子彈解：（1）（2）相當于x射線波長，顯波動性（3）相當于x射線波長，顯波動性例題3：用測不準關系估計（1）氫原子基態能量；（2）粒子束縛在 內的動能。解：（1）(2) 例題4：用測不準關系估計諧振子基態能量例題5： 氫原子基態電子速度約 ，電子位置不確定量按原子大小估

9、計即 ，估計電子速度不確定量的數量級。結果說明什么問題？解： 說明用經典軌道概念描述氫原子中電子的運動已經不適應，必須用量子物理處理。例題6：處理方法陰極射線電子經典處理考慮波動性（原子中電子）經典處理。如果原子中電子，要考慮波動性思考. 設一維運動粒子的波函數圖線如圖所示，其中確定粒子動量精確度最高的是哪一個？ 2-2 波函數 量子力學基本方程 在經典力學中， 描述粒子運動狀態。基本方程是對于微觀粒子，有波動性，牛頓定律、軌道概念失效，不可用 描述狀態。微觀粒子運動情況要用幾率波描述。某時刻系統處于何狀態，必須用統計性的波函數表征。求解波函數的基本方程就是量子力學基本方程。一、波函數 最簡單

10、的是自由粒子波函數。由于自由粒子 不變， 所以，自由粒子波是單色平面波。仿經典波函數：一般波函數 粒子在空間某點出現的幾率 波強度 可見， 即幾率密度，表示粒子在t時刻、 處單位體積內出現的幾率。 的物理意義波函數標準條件：單值粒子在某點幾率唯一有限幾率連續幾率不隨點躍變歸一化條件：注意：本質上是由微觀粒子波動性引入的物理量，它只給出粒子在空間各點的幾率信息，不給出粒子何時出現在何地。經典波是實在的振動傳播， 有意義；物質波是抽象的幾率波， 本身無意義。二、薛定諤方程量子力學基本方程1、一般形式 牛頓力學基本方程 基于微觀粒子波動性的理論體系量子力學，其基本方程如何？ 波函數是描述微觀粒子狀態

11、的基本物理量，求解波函數的基本方程薛定諤方程。 薛定諤方程一般形式： 為簡便起見，令 上述方程，本質上是實驗規律。實驗證明，方程解出的結果正確。2、定態形式 一般 ，各點 隨 變化。如果 與 無關，則稱為定態什么情況下出現定態？ 可以證明，當 與 無關時，可得定態 代入方程一般形式得：兩邊同除以能量量綱定態 2-3 一維無限深勢阱 以下用薛定諤方程處理一些簡單的量子力學問題。最簡單的是一維勢阱。一、一維勢阱 在許多情況下，如金屬中自由電子，原子中電子、核內質子、中子等都有一個共同特點：粒子被限制在一個很小空間范圍內運動，稱粒子處于束縛態。 為了分析束縛態粒子的共同特征，提出一個理想模型勢阱。進

12、一步簡化：一維無限深勢阱 可見，阱外粒子出現的幾率為0，粒子被限制在阱內運動。如金屬中自由電子。 原子中電子，就其運動被限制（束縛態）而言，與勢阱粒子有共同之處，但實際情況與勢阱差別大。 實際上，金屬中自由電子也處于原子實（離子）的周期性勢場中，只是與勢阱比較接近而已。單個鈉離子兩個靠近的鈉離子多個鈉離子(一維)抽象成勢阱再簡化是無限深勢阱 一維無限深勢阱只是抽象出來的用以討論束縛態共同特征（能量量子化）的一個簡化了的理想模型而已。二、一維無限深勢阱的薛定諤方程及其解顯然是定態阱外 阱內 （典型的簡諧振動微分方程） 現用邊界條件確定常數A、B否則 只有 駐波解三、重要結論1、能量量子化 所以，

13、粒子能量只能取分立值（不連續），稱為能量量子化。 所以，能量量子化是微觀粒子處于束縛態時的一個共同特征（盡管 具體表達式不同）。是解薛定諤方程自然得出的結果，而且基態能量不為0（與經典物理結果有別）2、粒子在勢阱中的幾率分布幾率密度極大值點： 可見，粒子在阱內出現的幾率并非均勻，而是有起伏。與經典不同（在阱內粒子出現的幾率各處相同）。 時，過渡到經典。或3、駐波解 無限深勢阱中波函數可以視為自由粒子平面波來回反射疊加形成駐波。駐波段數=波腹數=幾率極大位置數（同前） 2-4 氫原子量子力學處理 四個量子數 勢阱模型用于原子核外電子運動，顯然不行。因為核外電子在核的庫侖場中運動，勢能函數復雜。本

14、節僅討論最簡單的原子系統氫原子的量子力學處理。 前一章已經用玻爾理論求解了氫原子能級。現在用量子力學處理氫原子，不僅可以得到能級公式，而且可以得到玻爾理論得不到的其它結果。一、氫原子的量子力學處理求解定態薛定諤方程得三個關于 的常微分方程（過程略）：其中， 為常數。分別解出最后得到氫原子電子波函數的解為：具體形式復雜二、重要結論1、核外電子幾率分布 電子云同玻爾理論結果與玻爾理論結果不同（1）與玻爾理論對照 玻爾軌道是電子出現的幾率極大點的軌跡但對 ，極大點不在 處，且有多個極大點。 （2）“電子云” 核外電子無確定軌道，只有幾率分布，“電子云”描述 電子在核外不是按一定的軌道運動的，量子力學

15、不能斷言電子一定出現在核外某確切位置，而只給出電子在核外各處出現的概率，其形象描述“電子云”每瞬間氫原子核外電子照片的疊加電子出現概率小處：霧點密度小電子出現概率大處：霧點密度大但不是電子象云一樣散布在核外，而是幾率分布 2、能量量子化 由薛定諤方程可以解得：經典物理說法： 代表電子運動軌道大小 3、角動量量子化 由薛定諤方程可以解得：經典物理說法： 代表電子橢圓運動軌道不同形狀波爾理論 4、角動量空間取向量子化 角動量 的空間取向不連續， 在外磁場方向的投影： 經典物理說法： 代表同一電子橢圓運動軌道不同取向或角動量的不同取向。 共 個可能取向（某 ）例如： 3個取向 5個取向zzz0000

16、=0z空間取向量子化示意圖塞曼效應實驗證實了空間取向量子化 原子光譜在外磁場中，一條譜線分裂成 條。塞曼效應由空間取向量子化可以解釋該效應：電子軌道運動磁矩所以一條譜線分裂成 條某 能級 個不同“軌道”總之：總狀態數例如： 在塞曼效應中，仔細觀察，光譜還有更精細的結構。 原因：電子自旋磁矩引起附加能量三、電子自旋 1921年，斯特恩、蓋拉赫為了證實角動量空間取向量子化，設計了一個實驗：銀原子束非均勻磁場無磁場有磁場底片SNPPPS1S2 原子有磁矩（電子運動），在非均勻磁場中受力偏轉，磁矩空間量子化，底片上沉積分立條紋。（如果沒有空間量子化，各種取向連續，將沉積一片）。 實驗結果：分立沉積，說

17、明存在空間量子化。但卻只有上下兩條沉積線（ 空間量子化，應 條）什么原因？ 為了解釋上述實驗結果，1925年，烏侖貝克提出了電子自旋的概念。 電子除軌道運動外，還有自旋運動（好比地球繞太陽軌道運動外，還有自轉）。電子自旋有兩個可能取向： 電子自旋角動量為自旋量子數 自旋角動量在 方向投影分量：自旋磁量子數 四、四個量子數 總而言之，描述核外電子運動狀態由四個量子數決定： 1、主量子數 大體上決定原子系統的能量。 對氫原子，準確，2、角量子數 ，決定電子角動量對能量有小的影響（氫原子除外） 3、磁量子數 ，決定 空間取向（在 磁場中使能級分裂）4、自旋磁量子數 ，決定電子自旋角動量的 空間取向。

18、例如：2個可能狀態2個8個10個 2-5 原子殼層結構 氫原子只一個電子，其余元素原子核外有多個電子，電子之間有相互作用，影響電子運動狀態，薛定諤方程復雜，求解困難。用近似方法可以證明，復雜原子核外電子狀態仍然由四個量子數決定。 某 能級， 個可能狀態，電子會處于同一狀態嗎？一、泡利不相容原理 原子殼層模型 1925年，泡利指出：原子中電子狀態由 四個量子數決定，且在一個原子中不可能有兩個或兩個以上電子處于同一狀態，即不可能具有完全相同的四個量子數 泡利不相容原理 （好比“一個蘿卜一個孔”）如：可能的狀態數 用殼層模型可以形象地說明核外電子狀態：（1） 相同的電子組成一個主殼層，（2） 相同的

19、電子組成次殼層， 不同主殼層， 小，E小（能級低）；同一主殼層，一般 小，能量低（但有可能重疊）。 核外電子有許多可能的狀態，這些電子狀態如何，它們將占據什么狀態？二、能量最小原理 原子處于正常狀態時，電子優先占據最低能級。一般按 n 從小到大填充狀態。（n小，E小）能量最小原理 但能量也與 有關，有時n較小的殼層尚未填滿，n較大的殼層就有電子填充了。n=1n=2n=3n=1n=2n=3n=43d4s4916E同上2個同上6個三、原子的電子組態過渡金屬元素 2-6 一維勢壘 一維諧振子*一、一維勢壘 隧道效應IIIIIIIIIIII入射波反射波透射波沿 負方向平面波沿 正方向平面波討論：（1）

20、粒子有一定幾率穿過勢壘（盡管 ），與經典不同。（隧道效應）（2）透射系數（穿過勢壘幾率）O（3）隧道效應應用廣泛掃描隧道顯微鏡STM (Scanning tunneling microscopy)原理： 電子穿過金屬表面的勢壘形成隧道電流隧道電流I與樣品和針尖間距離a的關系樣品表面隧道電流掃描探針計算機放大器樣品探針運動控制系統顯示器掃描隧道顯微鏡示意圖48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.二、一維諧振子粒子的勢能函數薛定諤方程求解結果：討論：（1）能量量子化且最小能量為 不為0 （零點能）。絕對零度T=0，振子能量也不為0.與經典能量連續、最小能量為0的結果不同。零點能（2）

21、與 普朗克假設不同：（3）量子數n很小時，量子效應明顯；n很大時， 相對很小（微不足道），經典與量子力學一致。（4）用測不準關系估計諧振子基態能量 2-7 力學量的算符表示* 在量子力學和理論物理研究中，算符占有重要地位，有時能給運算或數學表達帶來方便。 什么是算符？算符就是一種運算符號。例如 等。對量子力學中的力學量，常用 加 在字母上表示。如 動量算符， 動能算符，等。 一、力學量算符表示 1、算符本征值和本征函數 如果某算符作用在一個函數 上，其結果=常數 該函數即則稱 為算符 的本征值， 為 的本征函數。如：對薛定諤方程，可以寫作： 通常， 含有導數，故表征方程為微分方程。求解微分方程需要邊界條件。當滿足一定邊界條件時， 只能取一些特定值（ ） 對某特定值 ，有對應的 。稱 是屬于 的本征函數。例如： 2、對應原理 現介紹量子力學中力學量算符表示 動量算符 以一維自由粒子波函數為例引進動量算符：（時間因子部分略去）顯然， 是算符 的本征值，本征函數為同理：故動量算符： 坐標算符即坐標本身 任何力學量算符其它力學量均為 的函數其對應的算符為：力學量與算符