1、關(guān)于數(shù)值計(jì)算方法與算法第一張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 求解線(xiàn)性方程組 Ax = y，可用直接法。當(dāng) A 為稀疏矩陣時(shí)，直接法將破壞矩陣 A 的稀疏性。 我們可以對(duì)線(xiàn)性方程組進(jìn)行等價(jià)變換，構(gòu)造出等價(jià)方程組 x = Mx+g,由此構(gòu)造迭代關(guān)系式例如，分解A=N-P，則第二張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月迭代法：構(gòu)造一個(gè)向量序列 x(k) ，使其收斂到某個(gè)極限向 量 x*，即 則x*就是線(xiàn)性方程組的解。常用迭代方法： 雅可比迭代，高斯-賽德?tīng)柕沙诘取?第三張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6.1 雅可比迭代6.1.1 雅可比迭代格式迭代格式 線(xiàn)性方程組 A

2、x = y，即 第四張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若aii0, i = 1,2,n ,（6.1）可變?yōu)橛?則第五張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月寫(xiě)成矩陣形式或簡(jiǎn)記為 對(duì)任意初始向量 構(gòu)造迭代格式：(6.2)是稱(chēng)為簡(jiǎn)單迭代或雅可比迭代。第六張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 雅可比迭代矩陣 記所以 稱(chēng)為雅可比迭代矩陣， 是常數(shù)項(xiàng)向量。第七張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如果通過(guò)(6.2)構(gòu)造的迭代序列x(k)收斂，即則 x*為 Ax = y的解，即 Ax*= y。事實(shí)上，對(duì)(6.2)取極限得第八張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月迭代格式的收斂性引理

3、6.1 (線(xiàn)性代數(shù)定理) 設(shè)矩陣序列 則 （證明見(jiàn)關(guān)治和陳景良編數(shù)值計(jì)算方法P410412）定理6.1 設(shè)迭代格式為 由初始向量x(0)產(chǎn)生的向量序列x(k)收斂的充分必 要條件是證明 必要性（）設(shè) 則由（6.3）得第九張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(6.3)-(6.4)得設(shè)第k次迭代的誤差記為充分性（）設(shè)(M)1,證x(k)收斂。 如果(M)1 ，則I-M為非奇異矩陣。事實(shí)上，因?yàn)?M)1，i0稱(chēng)為松弛因子。將(6.9)變形為(6.9)或(6.10)稱(chēng)為松弛迭代法。迭代矩陣為 當(dāng)01時(shí)，稱(chēng)為低松弛迭代； 當(dāng)12時(shí)，稱(chēng)為超松弛迭代； 當(dāng)=1時(shí)， 即為高斯-塞德?tīng)柕５谌鶑垼琍

4、PT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 實(shí)際用計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)，采用(6.9)的分量形式，即雅可比迭代、高斯-塞德?tīng)柕退沙诘鶠閱尾骄€(xiàn)性迭代。第三十七張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 松弛迭代的收斂性定理 6.6 松弛迭代收斂的必要條件是02。即若松弛迭 代收斂，則必有02。證明 松弛迭代矩陣 其中，第三十八張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 如果松弛迭代收斂，由定理6.1知， 即S的所有特征值的絕對(duì)值均小于1。由特征方程的性質(zhì)得 由（1）和（2）兩式得第三十九張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理 6.7 如果系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，當(dāng)松弛因子 時(shí)，則松弛迭代收斂。 證明類(lèi)似于定理6.4。定理6.8 若A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣時(shí)，則當(dāng) 時(shí)， 松弛迭代收斂。第四十張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 松弛迭代算法 基本上與高斯-塞德?tīng)柕惴ㄏ嗤５谒氖粡垼琍PT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6.4 逆矩陣的計(jì)算1. 用初等變換2. 用伴隨矩陣3. 用逆矩陣的定義：第四十二張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月化為n個(gè)線(xiàn)性方程組：用直接法或迭代法算出：也就完成了逆矩陣 的計(jì)算。第四十三張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2005.12.9第四十四張，PPT共四十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十五張，PPT共四